Полиномы Рака

В математике полиномы Рака являются ортогональными полиномами, названными в честь Джулио Рака , поскольку их отношения ортогональности эквивалентны его отношениям ортогональности для коэффициентов Рака .

Полиномы Рака были впервые определены Уилсоном (1978) и имеют вид

$p_{n}(x(x+\gamma +\delta +1))={}_{4}F_{3}\left[{\begin{matrix}-n&n+\alpha +\beta +1&-x&x+\gamma +\delta +1\\\alpha +1&\gamma +1&\beta +\delta +1\\\end{matrix}};1\right].$

Ортогональность

$\sum _{y=0}^{N}\operatorname {R} _{n}(x;\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )\operatorname {R} _{m}(x;\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ){\frac {\gamma +\delta +1+2y}{\gamma +\delta +1+y}}\omega _{y}=h_{n}\operatorname {\delta } _{n,m},$

когда $\alpha +1=-N$,

где $\operatorname {R}$ – полином Рака,

$x=y(y+\gamma +\delta +1),$

$\operatorname {\delta } _{n,m}$ – дельта-функция Кронекера , а весовые функции –

$\omega _{y}={\frac {(\alpha +1)_{y}(\beta +\delta +1)_{y}(\gamma +1)_{y}(\gamma +\delta +2)_{y}}{(-\alpha +\gamma +\delta +1)_{y}(-\beta +\gamma +1)_{y}(\delta +1)_{y}y!}},$

и

$h_{n}={\frac {(-\beta )_{N}(\gamma +\delta +1)_{N}}{(-\beta +\gamma +1)_{N}(\delta +1)_{N}}}{\frac {(n+\alpha +\beta +1)_{n}n!}{(\alpha +\beta +2)_{2n}}}{\frac {(\alpha +\delta -\gamma +1)_{n}(\alpha -\delta +1)_{n}(\beta +1)_{n}}{(\alpha +1)_{n}(\beta +\delta +1)_{n}(\gamma +1)_{n}}},$

$(\cdot )_{n}$ является символом Поххаммера .

Формула типа Родригеса

$\omega (x;\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )\operatorname {R} _{n}(\lambda (x);\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )=(\gamma +\delta +1)_{n}{\frac {\nabla ^{n}}{\nabla \lambda (x)^{n}}}\omega (x;\alpha +n,\beta +n,\gamma +n,\delta ),$

где $\nabla$ — оператор обратной разности ,

$\lambda (x)=x(x+\gamma +\delta +1).$

Генерирующие функции

Есть три производящие функции для $x\in \{0,1,2,...,N\}$

когда $\beta +\delta +1=-N\quad$или $\quad \gamma +1=-N,$

${}_{2}F_{1}(-x,-x+\alpha -\gamma -\delta ;\alpha +1;t){}_{2}F_{1}(x+\beta +\delta +1,x+\gamma +1;\beta +1;t)$

$\quad =\sum _{n=0}^{N}{\frac {(\beta +\delta +1)_{n}(\gamma +1)_{n}}{(\beta +1)_{n}n!}}\operatorname {R} _{n}(\lambda (x);\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )t^{n},$

когда $\alpha +1=-N\quad$или $\quad \gamma +1=-N,$

${}_{2}F_{1}(-x,-x+\beta -\gamma ;\beta +\delta +1;t){}_{2}F_{1}(x+\alpha +1,x+\gamma +1;\alpha -\delta +1;t)$

$\quad =\sum _{n=0}^{N}{\frac {(\alpha +1)_{n}(\gamma +1)_{n}}{(\alpha -\delta +1)_{n}n!}}\operatorname {R} _{n}(\lambda (x);\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )t^{n},$

когда $\alpha +1=-N\quad$или $\quad \beta +\delta +1=-N,$

${}_{2}F_{1}(-x,-x-\delta ;\gamma +1;t){}_{2}F_{1}(x+\alpha +1;x+\beta +\gamma +1;\alpha +\beta -\gamma +1;t)$

$\quad =\sum _{n=0}^{N}{\frac {(\alpha +1)_{n}(\beta +\delta +1)_{n}}{(\alpha +\beta -\gamma +1)_{n}n!}}\operatorname {R} _{n}(\lambda (x);\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )t^{n}.$

Формула связи полиномов Вильсона

Когда $\alpha =a+b-1,\beta =c+d-1,\gamma =a+d-1,\delta =a-d,x\rightarrow -a+ix,$

$\operatorname {R} _{n}(\lambda (-a+ix);a+b-1,c+d-1,a+d-1,a-d)={\frac {\operatorname {W} _{n}(x^{2};a,b,c,d)}{(a+b)_{n}(a+c)_{n}(a+d)_{n}}},$

где $\operatorname {W}$ являются полиномами Вильсона.

q-аналоговый

Аски и Уилсон (1979) представили полиномы q -Рака, определенные в терминах основных гипергеометрических функций следующим образом:

$p_{n}(q^{-x}+q^{x+1}cd;a,b,c,d;q)={}_{4}\phi _{3}\left[{\begin{matrix}q^{-n}&abq^{n+1}&q^{-x}&q^{x+1}cd\\aq&bdq&cq\\\end{matrix}};q;q\right].$

Иногда они задаются с заменами переменных как

$W_{n}(x;a,b,c,N;q)={}_{4}\phi _{3}\left[{\begin{matrix}q^{-n}&abq^{n+1}&q^{-x}&cq^{x-n}\\aq&bcq&q^{-N}\\\end{matrix}};q;q\right].$

Ссылки

• Аски, Ричард; Уилсон, Джеймс (1979), «Набор ортогональных полиномов, которые обобщают коэффициенты Рака или символы 6-j» (PDF) , SIAM Journal on Mathematical Analysis , 10 (5): 1008–1016, doi : 10.1137/0510092 , ISSN   0036-1410 , MR   0541097 , заархивировано из оригинала 25 сентября 2017 года.
• Уилсон, Дж. (1978), Рекуррентные соотношения гипергеометрических рядов и некоторые новые ортогональные функции , доктор философии. диссертация, унив. Висконсин, Мэдисон