Базовый гипергеометрический ряд

В математике и , основные гипергеометрические ряды , или q -гипергеометрические ряды , являются q -аналоговыми обобщениями обобщенных гипергеометрических рядов в свою очередь, обобщаются эллиптическими гипергеометрическими рядами . Ряд x _n называется гипергеометрическим, если отношение последовательных членов x _{n +1} / x _n является рациональной функцией от n . Если отношение последовательных членов является рациональной функцией от q ^н , то ряд называется основным гипергеометрическим рядом. Число q называется основанием.

Основной гипергеометрический ряд ${}_{2}\phi _{1}(q^{\alpha },q^{\beta };q^{\gamma };q,x)$ впервые был рассмотрен Эдуардом Гейне ( 1846 ). Это становится гипергеометрическим рядом $F(\alpha ,\beta ;\gamma ;x)$ в пределе, когда база $q=1$.

Определение

Существует две формы основных гипергеометрических серий: односторонняя основная гипергеометрическая серия φ и более общая двусторонняя основная гипергеометрическая серия ψ. Односторонний основной гипергеометрический ряд определяется как

$\;_{j}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{j};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k},q;q)_{n}}}\left((-1)^{n}q^{n \choose 2}\right)^{1+k-j}z^{n}$

где

$(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}$

и

$(a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1})$

— q -сдвинутый факториал . Наиболее важным частным случаем является случай j = k + 1, когда становится

$\;_{k+1}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{k}&a_{k+1}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k+1};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k},q;q)_{n}}}z^{n}.$

Этот ряд называется сбалансированным , если a ₁ ... a _{k + 1} = b ₁ ... b _k q . Этот ряд называется хорошо сбалансированным , если a ₁ q = a ₂ b ₁ = ... = a _{k + 1} b _k , и очень хорошо сбалансированным , если при этом a ₂ = − a ₃ = qa ₁ ^1/2 . Односторонний основной гипергеометрический ряд является q-аналогом гипергеометрического ряда, поскольку

$\lim _{q\to 1}\;_{j}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}q^{a_{1}}&q^{a_{2}}&\ldots &q^{a_{j}}\\q^{b_{1}}&q^{b_{2}}&\ldots &q^{b_{k}}\end{matrix}};q,(q-1)^{1+k-j}z\right]=\;_{j}F_{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};z\right]$

имеет место ( Koekoek & Swarttouw (1996) ).
Двусторонний основной гипергеометрический ряд , соответствующий двустороннему гипергеометрическому ряду , определяется как

$\;_{j}\psi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{j};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k};q)_{n}}}\left((-1)^{n}q^{n \choose 2}\right)^{k-j}z^{n}.$

Самый важный частный случай — это когда j = k , когда он становится

$\;_{k}\psi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{k}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k};q)_{n}}}z^{n}.$

Односторонний ряд можно получить как частный случай двустороннего, установив одну из переменных b равной q , по крайней мере, когда ни одна из переменных a не является степенью q , поскольку тогда все члены с n <0 исчезают.

Простая серия

Некоторые простые выражения рядов включают в себя

${\frac {z}{1-q}}\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;q\\q^{2}\end{matrix}}\;;q,z\right]={\frac {z}{1-q}}+{\frac {z^{2}}{1-q^{2}}}+{\frac {z^{3}}{1-q^{3}}}+\ldots$

и

${\frac {z}{1-q^{1/2}}}\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;q^{1/2}\\q^{3/2}\end{matrix}}\;;q,z\right]={\frac {z}{1-q^{1/2}}}+{\frac {z^{2}}{1-q^{3/2}}}+{\frac {z^{3}}{1-q^{5/2}}}+\ldots$

и

$\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;-1\\-q\end{matrix}}\;;q,z\right]=1+{\frac {2z}{1+q}}+{\frac {2z^{2}}{1+q^{2}}}+{\frac {2z^{3}}{1+q^{3}}}+\ldots .$

теорема q -биномиальная

Теорема о q -биноме (впервые опубликована в 1811 году Генрихом Августом Роте ) заявляет, что

$\;_{1}\phi _{0}(a;q,z)={\frac {(az;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}=\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-aq^{n}z}{1-q^{n}z}}$

что следует путем многократного применения тождества

$\;_{1}\phi _{0}(a;q,z)={\frac {1-az}{1-z}}\;_{1}\phi _{0}(a;q,qz).$

Частный случай a = 0 тесно связан с q-экспонентой .

Биномиальная теорема Коши

Биномиальная теорема Коши является частным случаем q-биномиальной теоремы.

$\sum _{n=0}^{N}y^{n}q^{n(n+1)/2}{\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}}_{q}=\prod _{k=1}^{N}\left(1+yq^{k}\right)\qquad (|q|<1)$

Личность Рамануджана

Шриниваса Рамануджан назвал личность

$\;_{1}\psi _{1}\left[{\begin{matrix}a\\b\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}={\frac {(b/a,q,q/az,az;q)_{\infty }}{(b,b/az,q/a,z;q)_{\infty }}}$

действителен для | д | < 1 и | б / а | < | г | < 1. Подобные тождества для $\;_{6}\psi _{6}$ были даны Бейли. Такие тождества можно понимать как обобщения теоремы Якоби о тройном произведении , которую можно записать с использованием q-рядов как

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n(n+1)/2}z^{n}=(q;q)_{\infty }\;(-1/z;q)_{\infty }\;(-zq;q)_{\infty }.$

Кен Оно приводит соответствующий формальный степенной ряд.

$A(z;q){\stackrel {\rm {def}}{=}}{\frac {1}{1+z}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(z;q)_{n}}{(-zq;q)_{n}}}z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}z^{2n}q^{n^{2}}.$

Контурный интеграл Ватсона

В качестве аналога интеграла Барнса для гипергеометрического ряда Уотсон показал, что

${}_{2}\phi _{1}(a,b;c;q,z)={\frac {-1}{2\pi i}}{\frac {(a,b;q)_{\infty }}{(q,c;q)_{\infty }}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {(qq^{s},cq^{s};q)_{\infty }}{(aq^{s},bq^{s};q)_{\infty }}}{\frac {\pi (-z)^{s}}{\sin \pi s}}ds$

где полюса $(aq^{s},bq^{s};q)_{\infty }$ лежат слева от контура, а остальные полюса — справа. Аналогичный контурный интеграл существует для _{r +1} φ _r . Этот контурный интеграл дает аналитическое продолжение основной гипергеометрической функции по z .

Матричная версия

Базовую гипергеометрическую матричную функцию можно определить следующим образом:

${}_{2}\phi _{1}(A,B;C;q,z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(A;q)_{n}(B;q)_{n}}{(C;q)_{n}(q;q)_{n}}}z^{n},\quad (A;q)_{0}:=1,\quad (A;q)_{n}:=\prod _{k=0}^{n-1}(1-Aq^{k}).$

Тест отношения показывает, что эта матричная функция абсолютно сходится.

См. также

• Личность Диксона
• Личности Роджерса-Рамануджана

Ссылки

• Эндрюс, GE (2010), «q-гипергеометрические и родственные функции» , в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5 , МР   2723248 .
• У. Н. Бэйли, Обобщенная гипергеометрическая серия , (1935) Кембриджские трактаты по математике и математической физике, № 32, издательство Кембриджского университета, Кембридж.
• Уильям Ю.К. Чен и Эми Фу, Полуконечные формы двусторонних базовых гипергеометрических рядов (2004)
• Экстон , Х. (1983), q-гипергеометрические функции и приложения , Нью-Йорк: Halstead Press, Чичестер: Эллис Хорвуд, ISBN   0853124914 , ISBN   0470274530 , ISBN   978-0470274538
• Сильви Кортил и Джереми Лавджой, Разделения Фробениуса и комбинаторика Рамануджана. $\,_{1}\psi _{1}$ Суммирование
• Файн, Натан Дж. (1988), Основные гипергеометрические ряды и приложения , Математические обзоры и монографии, том. 27, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-1524-3 , МР   0956465
• Гаспер, Джордж; Рахман, Мизан (2004), Основные гипергеометрические серии , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 96 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-83357-8 , МР   2128719
• Гейне, Эдуард (1846), "О сериале $1+{\frac {(q^{\alpha }-1)(q^{\beta }-1)}{(q-1)(q^{\gamma }-1)}}x+{\frac {(q^{\alpha }-1)(q^{\alpha +1}-1)(q^{\beta }-1)(q^{\beta +1}-1)}{(q-1)(q^{2}-1)(q^{\gamma }-1)(q^{\gamma +1}-1)}}x^{2}+\cdots$" , Журнал чистой и прикладной математики , 32 : 210–212.
• Виктор Кац , Покман Чунг, Квантовое исчисление , Universitext, Springer-Verlag, 2002. ISBN   0-387-95341-8
• Кукук, Рулоф; Свартау, Рене Ф. (1996). Схема Аски ортогональных полиномов и ее q-аналоги (Доклад). Технический университет Делфта. нет. 98-17. . Раздел 0.2
• Эндрюс Дж. Э., Аски Р. и Рой Р. (1999). Специальные функции, Энциклопедия математики и ее приложений, том 71, Cambridge University Press .
• Эдуард Гейне , Теория сферических функций , (1878) 1 , стр. 97–125.
• Эдуард Гейне, Справочник по сферическим функциям. Теория и применение (1898) Шпрингер, Берлин.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «q-гипергеометрическая функция» . Математический мир .