Личности Роджерса-Рамануджана

В математике тождества Роджерса -Рамануджана — это два тождества, связанные с основными гипергеометрическими рядами и целочисленными разбиениями . Эти тождества были впервые обнаружены и доказаны Леонардом Джеймсом Роджерсом ( 1894 г. ), а впоследствии были заново открыты (без доказательства) Шринивасой Рамануджаном незадолго до 1913 года. У Рамануджана не было доказательств, но он заново открыл статью Роджерса в 1917 году, и затем они опубликовали совместную работу. новое доказательство ( Роджерс и Рамануджан, 1919 ). Иссай Шур ( 1917 ) независимо заново открыл и доказал эти личности.

Определение

Тождества Роджерса-Рамануджана

$G(q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q;q^{5})_{\infty }(q^{4};q^{5})_{\infty }}}=1+q+q^{2}+q^{3}+2q^{4}+2q^{5}+3q^{6}+\cdots$ (последовательность A003114 в OEIS )

и

$H(q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}+n}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q^{2};q^{5})_{\infty }(q^{3};q^{5})_{\infty }}}=1+q^{2}+q^{3}+q^{4}+q^{5}+2q^{6}+\cdots$ (последовательность A003106 в OEIS ).

Здесь, $(a;q)_{n}$ обозначает символ q-Похгаммера .

Комбинаторная интерпретация

Учтите следующее:

• ${\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}}}$ – производящая функция для разбиений ровно с $n$ части такие, что соседние части имеют разницу не менее 2.
• ${\frac {1}{(q;q^{5})_{\infty }(q^{4};q^{5})_{\infty }}}$ — это производящая функция для разбиений, каждая часть которых конгруэнтна либо 1, либо 4 по модулю 5.
• ${\frac {q^{n^{2}+n}}{(q;q)_{n}}}$ – производящая функция для разбиений ровно с $n$ части такие, что соседние части имеют разность не менее 2, а наименьшая часть равна не менее 2.
• ${\frac {1}{(q^{2};q^{5})_{\infty }(q^{3};q^{5})_{\infty }}}$ является производящей функцией для разбиений, каждая часть которых равна либо 2, либо 3 по модулю 5.

Тождества Роджерса-Рамануджана теперь можно интерпретировать следующим образом. Позволять $n$ быть неотрицательным целым числом.

1. Количество разделов $n$ такое, что соседние части различаются хотя бы на 2, равно числу разделов $n$ так что каждая часть равна либо 1, либо 4 по модулю 5.
2. Количество разделов $n$ такое, что соседние части отличаются по крайней мере на 2 и что наименьшая часть равна по крайней мере 2, равно числу разделов $n$ так, что каждая часть равна либо 2, либо 3 по модулю 5.

Альтернативно,

1. Количество разделов $n$ такой, что с $k$ части, наименьшая часть - это как минимум $k$ совпадает с количеством разделов $n$ так что каждая часть равна либо 1, либо 4 по модулю 5.
2. Количество разделов $n$ такой, что с $k$ части, наименьшая часть - это как минимум $k+1$ совпадает с количеством разделов $n$ так, что каждая часть равна либо 2, либо 3 по модулю 5.

Применение к разделам

Поскольку члены, входящие в тождество, являются производящими функциями определенных разбиений , тождества делают утверждения о разбиениях (разложениях) натуральных чисел. Числовые последовательности, полученные из коэффициентов ряда Маклорена функций Роджерса-Рамануджана G и H, представляют собой специальные числовые последовательности разбиения уровня 5:

$G(x)={\frac {1}{(x;x^{5})_{\infty }(x^{4};x^{5})_{\infty }}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }P_{G}(n)x^{n}$

$H(x)={\frac {1}{(x^{2};x^{5})_{\infty }(x^{3};x^{5})_{\infty }}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }P_{H}(n)x^{n}$

Числовая последовательность $P_{G}(n)$ (Код OEIS: A003114 ) представляет количество возможностей для затронутого натурального числа n разложить это число на слагаемые шаблонов 5a + 1 или 5a + 4 с a ∈ $\mathbb {N} _{0}$. Таким образом $P_{G}(n)$ дает количество распадов целого числа n, в которых соседние части разбиения отличаются как минимум на 2, что равно количеству распадов, в которых каждая часть равна 1 или 4 по модулю 5.

И числовая последовательность $P_{H}(n)$ (Код OEIS: A003106 ) аналогично представляет количество возможностей затронутого натурального числа n разложить это число на слагаемые шаблонов 5a + 2 или 5a + 3 с a ∈ $\mathbb {N} _{0}$. Таким образом $P_{H}(n)$ дает количество распадов целого числа n, в которых соседние части разбиения отличаются как минимум на 2 и в которых наименьшая часть больше или равна 2, равно количеству распадов, части которых равны 2 или 3 по модулю 5 Это будет проиллюстрировано на примерах в следующих двух таблицах:

Последовательность номеров разделов $P_{G}(n)$

Натуральное число n	$P_{G}(n)$	Представления сумм с описанными критериями
1	1	1
2	1	1+1
3	1	1+1+1
4	2	4, 1+1+1+1
5	2	4+1, 1+1+1+1+1
6	3	6, 4+1+1, 1+1+1+1+1+1
7	3	6+1, 4+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1
8	4	6+1+1, 4+4, 4+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1+1
9	5	9, 6+1+1+1, 4+4+1, 4+1+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1+1+1
10	6	9+1, 6+4, 6+1+1+1+1, 4+4+1+1, 4+1+1+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
11	7	11, 9+1+1, 6+4+1, 6+1+1+1+1+1, 4+4+1+1+1, 4+1+1+1+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
12	9	11+1, 9+1+1+1, 6+6, 6+4+1+1, 6+1+1+1+1+1+1, 4+4+4, 4+4+1+1+1+1, 4+1+1+1+1+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
13	10	11+1+1, 9+4, 9+1+1+1+1, 6+6+1, 6+4+1+1+1, 6+1+1+1+1+1+1+1, 4+4+4+1, 4+4+1+1+1+1+1, 4+1+1+1+1+1+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
14	12	14, 11+1+1+1, 9+4+1, 9+1+1+1+1+1, 6+6+1+1, 6+4+4, 6+4+1+1+1+1, 6+1+1+1+1+1+1+1+1, 4+4+4+1+1, 4+4+1+1+1+1+1+1, 4+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
15	14	14+1, 11+4, 11+1+1+1+1, 9+6, 9+4+1+1, 9+1+1+1+1+1+1, 6+6+1+1+1, 6+4+4+1, 6+4+1+1+1+1+1, 6+1+1+1+1+1+1+1+1+1, 4+4+4+1+1+1, 4+4+1+1+1+1+1+1+1, 4+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
16	17	16, 14+1+1, 11+4+1, 11+1+1+1+1+1, 9+6+1, 9+4+1+1+1, 9+1+1+1+1+1+1+1, 6+6+4, 6+6+1+1+1+1, 6+4+4+1+1, 6+4+1+1+1+1+1+1, 6+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1, 4+4+4+4, 4+4+4+1+1+1+1, 4+4+1+1+1+1+1+1+1+1, 4+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

Последовательность номеров разделов $P_{H}(n)$

Натуральное число n	$P_{H}(n)$	Представления сумм с описанными критериями
1	0	никто
2	1	2
3	1	3
4	1	2+2
5	1	3+2
6	2	3+3, 2+2+2
7	2	7, 3+2+2
8	3	8, 3+3+2, 2+2+2+2
9	3	7+2, 3+3+3, 3+2+2+2
10	4	8+2, 7+3, 3+3+2+2, 2+2+2+2+2

Роджерс-Рамануджан продолжил дроби R и S

Определение цепных дробей

раскраски домена Представление сходящейся $A_{400}(q)/B_{400}(q)$ функции $q^{-1/5}R(q)$, где $R(q)$ — это цепная дробь Роджерса-Рамануджана.

Представление аппроксимации $q^{1/5}A_{400}(q)/B_{400}(q)$ продолжающейся фракции Роджерса-Рамануджана.

Следующая непрерывная дробь $R(q)$ называется непрерывной дробью Роджерса-Рамануджана . Непрерывная дробь $S(q)$ называется чередующейся непрерывной дробью Роджерса-Рамануджана!

Стандартизированная непрерывная дробь	Чередующаяся непрерывная дробь
$R(q)=q^{1/5}\left[1+{\frac {q}{1+{\frac {q^{2}}{1+{\frac {q^{3}}{1+\cdots }}}}}}\right]$	$S(q)=q^{1/5}\left[1-{\frac {q}{1+{\frac {q^{2}}{1-{\frac {q^{3}}{1+\cdots }}}}}}\right]$

Фактор $q^{\frac {1}{5}}$ создает частное модульных функций, а также делает показанные непрерывные дроби модульными:

Это определение применимо для упомянутой непрерывной дроби:

$R(q)=q^{1/5}{\frac {(q;q^{5})_{\infty }(q^{4};q^{5})_{\infty }}{(q^{2};q^{5})_{\infty }(q^{3};q^{5})_{\infty }}}$

$R(q)=q^{1/5}\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {(1-q^{5k+1})(1-q^{5k+4})}{(1-q^{5k+2})(1-q^{5k+3})}}=q^{1/5}{\frac {H(q)}{G(q)}}$

Вот определение тета-функции Рамануджана :

$f(a,b)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a^{\frac {k(k+1)}{2}}b^{\frac {k(k-1)}{2}}$

С помощью этой функции непрерывную дробь R можно создать следующим образом:

$R(q)=q^{1/5}{\frac {f(-q,-q^{4})}{f(-q^{2},-q^{3})}}$.

Связь между цепной дробью и функциями Роджерса-Рамануджана была найдена уже Роджерсом в 1894 году (а позже независимо Рамануджаном).

Цепную дробь также можно выразить с помощью эта-функции Дедекинда :

$R(q)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {\eta _{W}(q^{1/5})}{2\eta _{W}(q^{5})}}+{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}$

Попеременная непрерывная дробь $S(q)$ имеет следующие тождества с остальными функциями Роджерса-Рамануджана и тэта-функцией Рамануджана, описанной выше:

$S(q)=q^{1/5}{\frac {H(-q)}{G(-q)}}$

$S(q)=q^{1/5}{\frac {f(q,-q^{4})}{f(-q^{2},q^{3})}}$

$S(q)={\frac {R(q^{4})}{R(q)R(q^{2})}}$

$S(q)=q^{1/5}{\frac {G(q)G(q^{2})H(q^{4})}{H(q)H(q^{2})G(q^{4})}}$

Тождества с тета-функциями Якоби

Следующие определения действительны для функций Якоби «Тета-Нульверт» :

$\vartheta _{00}(x)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }x^{\Box (n)}$

$\vartheta _{01}(x)=1-2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}x^{\Box (n)}$

$\vartheta _{10}(x)=2x^{1/4}+2x^{1/4}\sum _{n=1}^{\infty }x^{2\bigtriangleup (n)}$

Следующие определения продуктов идентичны всем упомянутым определениям:

$\vartheta _{00}(x)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1+x^{2n-1})^{2}$

$\vartheta _{01}(x)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1-x^{2n-1})^{2}$

$\vartheta _{10}(x)=2x^{1/4}\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n})(1+x^{2n})^{2}$

Эти три так называемые функции тета-нулевого значения связаны друг с другом с помощью тождества Якобиана :

$\vartheta _{10}(x)={\sqrt[{4}]{\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}}}$

Математики Эдмунд Тейлор Уиттакер и Джордж Невилл Уотсон. обнаружил эти дефиниционные тождества.

Функции непрерывных дробей Роджерса-Рамануджана. $R(x)$ и $S(x)$ имеют следующие отношения с тета-функциями Нулверта:

$R(x)=\tan {\biggl \langle }{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl \{}{\frac {\vartheta _{01}(x^{1/5})[5\,\vartheta _{01}(x^{5})^{2}-\vartheta _{01}(x)^{2}]}{2\,\vartheta _{01}(x^{5})[\vartheta _{01}(x)^{2}-\vartheta _{01}(x^{1/5})^{2}]}}+{\frac {1}{2}}{\biggr \}}{\biggr \rangle }$

$S(x)=\tan {\biggl \langle }{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl \{}{\frac {\vartheta _{00}(x^{1/5})[5\,\vartheta _{00}(x^{5})^{2}-\vartheta _{00}(x)^{2}]}{2\,\vartheta _{00}(x^{5})[\vartheta _{00}(x^{1/5})^{2}-\vartheta _{00}(x)^{2}]}}-{\frac {1}{2}}{\biggr \}}{\biggr \rangle }$

Элемент корня пятой степени также можно удалить из эллиптического нома тэта-функции и перенести во внешнюю касательную функцию. Таким образом, можно создать формулу, которая требует только одной из трех основных тета-функций:

$R(x)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(x)^{2}}{2\vartheta _{01}(x^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\vartheta _{01}(x)^{2}}{2\vartheta _{01}(x^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}$

$S(x)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{2}}{2\vartheta _{00}(x^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{2}}{2\vartheta _{00}(x^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}$

Модульные модифицированные функции G и H

Определение модулярной формы G и H

Эллиптическая функция является модулярной функцией, если эта функция в зависимости от эллиптического нома как функции внутренней переменной приводит к функции, которая также является алгебраической комбинацией эллиптического модуля Лежандра и его полных эллиптических интегралов первого рода в K и К'-форма. Эллиптический модуль Лежандра представляет собой числовой эксцентриситет соответствующего эллипса.

Если вы установите $q=e^{2\pi i\tau }$ (где мнимая часть $\tau \in \mathbb {C}$ положительно), следующие две функции: Модульные функции !

$G_{M}(q)=q^{\frac {-1}{60}}G(q)$

$H_{M}(q)=q^{\frac {11}{60}}H(q)$

Если q = е ^{2 ямы} , тогда q ^−1/60 г ( д ) и д ^11/60 H ( q ) — модулярные функции от τ.

Для цепной дроби Роджерса-Рамануджана R(q) эта формула справедлива на основе описанных модульных модификаций G и H:

$R(q)={\frac {H_{M}(q)}{G_{M}(q)}}$

Особые значения

Эти функции имеют следующие значения обратной величины константы Гельфонда и квадрата этой обратной величины:

${\begin{aligned}G_{M}{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}&=2^{-1/2}5^{-1/4}({\sqrt {5}}-1)^{1/4}({\sqrt[{4}]{5}}+1)^{1/2}R{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}^{-1/2}=\\[4pt]&=2^{1/4}\,5^{-1/8}\,\Phi ^{1/2}\,{\color {blue}\cos {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arctan(2)+{\tfrac {1}{2}}\arcsin(\Phi ^{-2}){\bigr ]}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}H_{M}{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}&=2^{-1/2}5^{-1/4}({\sqrt {5}}-1)^{1/4}({\sqrt[{4}]{5}}+1)^{1/2}R{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}^{1/2}=\\[4pt]&=2^{1/4}\,5^{-1/8}\,\Phi ^{1/2}\,{\color {blue}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arctan(2)+{\tfrac {1}{2}}\arcsin(\Phi ^{-2}){\bigr ]}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}G_{M}{\bigl [}\exp(-2\pi ){\bigr ]}&=10^{-1/4}({\sqrt {5}}-1)^{1/4}R{\bigl [}\exp(-2\pi ){\bigr ]}^{-1/2}=\\[4pt]&=2^{1/2}\,5^{-1/8}\,{\color {blue}\cos {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arctan(2){\bigr ]}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}H_{M}{\bigl [}\exp(-2\pi ){\bigr ]}&=10^{-1/4}({\sqrt {5}}-1)^{1/4}R{\bigl [}\exp(-2\pi ){\bigr ]}^{1/2}=\\[4pt]&=2^{1/2}\,5^{-1/8}\,{\color {blue}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arctan(2){\bigr ]}}\end{aligned}}$

Непрерывная дробь Роджерса-Рамануджана принимает следующие значения ординат для этих значений абсцисс:

${\begin{aligned}R[\exp(-\pi )]{}&={\tfrac {1}{4}}({\sqrt {5}}+1)({\sqrt {5}}-{\sqrt {{\sqrt {5}}+2}})({\sqrt {{\sqrt {5}}+2}}+{\sqrt[{4}]{5}})=\\[4pt]&{}=\Phi ^{3/2}\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{5}}\varpi )^{-3/2}\operatorname {cl} ({\tfrac {2}{5}}\varpi )^{3/2}\operatorname {cl} ({\tfrac {1}{10}}\varpi )^{2}\operatorname {cl} ({\tfrac {3}{10}}\varpi )\operatorname {slh} ({\tfrac {2}{5}}{\sqrt {2}}\,\varpi )=\\[4pt]&{}={\color {blue}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arctan(2)+{\tfrac {1}{2}}\arcsin(\Phi ^{-2}){\bigr ]}}\\[4pt]\end{aligned}}$

${\begin{aligned}R[\exp(-2\pi )]{}&=4\sin({\tfrac {1}{20}}\pi )\sin({\tfrac {3}{20}}\pi )=\\[4pt]&{}={\color {blue}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arctan(2){\bigr ]}}\end{aligned}}$

Тождества эта-функции Дедекинда

Вывод по среднему геометрическому

Приведены упомянутые определения $G_{M}$ и $H_{M}$ уже упомянутым способом:

$G_{M}(q)=q^{\frac {-1}{60}}{\frac {1}{(q;q^{5})_{\infty }(q^{4};q^{5})_{\infty }}}$

$H_{M}(q)=q^{\frac {11}{60}}{\frac {1}{(q^{2};q^{5})_{\infty }(q^{3};q^{5})_{\infty }}}$

Тождества эта-функции Дедекинда для функций G и H получаются в результате объединения только следующих двух цепочек уравнений:

Частное представляет собой непрерывную дробь Роджерса Рамануджана:

$H_{M}(q)\div G_{M}(q)=R(q)$

Но продукт приводит к упрощенной комбинации операторов Поххаммера:

$H_{M}(q)\,G_{M}(q)=q^{1/6}{\frac {1}{(q;q^{5})_{\infty }(q^{4};q^{5})_{\infty }(q^{2};q^{5})_{\infty }(q^{3};q^{5})_{\infty }}}=$

$=q^{1/6}{\frac {(q^{5};q^{5})_{\infty }}{(q;q)_{\infty }}}={\frac {\eta _{W}(q^{5})}{\eta _{W}(q)}}$

Среднее геометрическое этих двух цепочек уравнений непосредственно приводит к следующим выражениям в зависимости от эта-функции Дедекинда в их форме Вебера:

$G_{M}(q)=\eta _{W}(q^{5})^{1/2}\eta _{W}(q)^{-1/2}R(q)^{-1/2}$

$H_{M}(q)=\eta _{W}(q^{5})^{1/2}\eta _{W}(q)^{-1/2}R(q)^{1/2}$

Таким образом, модулированные функции $G_{M}$ и $H_{M}$ представлены напрямую с использованием только цепной дроби R и фактора эта-функции Дедекинда!

Если использовать только произведения Поххаммера, то к немодулированным функциям G и H применяется следующее тождество:

$G(q)=(q;q^{5})_{\infty }^{-1}(q^{4};q^{5})_{\infty }^{-1}=(q^{5};q^{5})_{\infty }^{1/2}(q;q)_{\infty }^{-1/2}{\biggl [}{\frac {H(q)}{G(q)}}{\biggr ]}^{-1/2}$

$H(q)=(q^{2};q^{5})_{\infty }^{-1}(q^{3};q^{5})_{\infty }^{-1}=(q^{5};q^{5})_{\infty }^{1/2}(q;q)_{\infty }^{-1/2}{\biggl [}{\frac {H(q)}{G(q)}}{\biggr ]}^{1/2}$

Теорема о пятиугольных числах

Для эта-функции Дедекинда по определению Вебера применяются следующие формулы:

$\eta _{W}(x)=2^{-1/6}\vartheta _{10}(x)^{1/6}\vartheta _{00}(x)^{1/6}\vartheta _{01}(x)^{2/3}$

$\eta _{W}(x)=2^{-1/3}\vartheta _{10}(x^{1/2})^{1/3}\vartheta _{00}(x^{1/2})^{1/3}\vartheta _{01}(x^{1/2})^{1/3}$

$\eta _{W}(x)=x^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})=x^{1/24}(x;x)_{\infty }$

$\eta _{W}(x)=x^{1/24}{\biggl \{}1+\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl [}-x^{{\text{Fn}}(2n-1)}-x^{{\text{Kr}}(2n-1)}+x^{{\text{Fn}}(2n)}+x^{{\text{Kr}}(2n)}{\bigr ]}{\biggr \}}$

$\eta _{W}(x)=x^{1/24}{\biggl \{}1+\sum _{n=1}^{\infty }\mathrm {P} (n)\,x^{n}{\biggr \}}^{-1}$

Четвертая формула описывает теорему о пятиугольных числах. из-за экспонентов!

Эти основные определения применимы к пятиугольным числам и номерам карточных домиков :

${\text{Fn}}(z)={\tfrac {1}{2}}z(3z-1)$

${\text{Kr}}(z)={\tfrac {1}{2}}z(3z+1)$

Пятая формула содержит номера обычных разделов в качестве коэффициентов.

Обычная последовательность номеров разделов $\mathrm {P} (n)$ само по себе указывает количество способов, которыми положительное целое число $n$ можно разбить на положительные целые слагаемые. Для чисел $n=1$ к $n=5$, соответствующие номера разделов $P$ со всеми связанными номерными разделами перечислены в следующей таблице:

Примеры значений P(n) и связанных с ними числовых разделов

н	П (п)	Соответствующие разделы
1	1	(1)
2	2	(1+1), (2)
3	3	(1+1+1), (1+2), (3)
4	5	(1+1+1+1), (1+1+2), (2+2), (1+3), (4)
5	7	(1+1+1+1+1), (1+1+1+2), (1+2+2), (1+1+3), (2+3), (1+4), (5)
6	11	(1+1+1+1+1+1), (1+1+1+1+2), (1+1+2+2), (2+2+2), (1+1+1+3), (1+2+3), (3+3), (1+1+4), (2+4), (1+5), (6)

Дальнейшие эта-тождества Дедекинда

Следующее дальнейшее упрощение модулированных функций $G_{M}$ и $H_{M}$ можно предпринять. Эта связь особенно применима к эта-функции Дедекинда из пятой степени эллиптического нома:

${\frac {\eta _{W}(q^{5})}{\eta _{W}(q)}}={\frac {\eta _{W}(q^{2})^{4}}{\eta _{W}(q)^{4}}}\,{\frac {\vartheta _{01}(q^{5})}{\vartheta _{01}(q)}}{\biggl [}{\frac {5\,\vartheta _{01}(q^{5})^{2}}{4\,\vartheta _{01}(q)^{2}}}-{\frac {1}{4}}{\biggr ]}^{-1}$

Эти два тождества относительно непрерывной дроби Роджерса-Рамануджана были даны для модулированных функций $G_{M}$ и $H_{M}$:

$G_{M}(q)=\eta _{W}(q^{5})^{1/2}\eta _{W}(q)^{-1/2}R(q)^{-1/2}$

$H_{M}(q)=\eta _{W}(q^{5})^{1/2}\eta _{W}(q)^{-1/2}R(q)^{1/2}$

Комбинация последних трех упомянутых формул приводит к следующей паре формул:

$G_{M}(q)={\frac {\eta _{W}(q^{2})^{2}}{\eta _{W}(q)^{2}}}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{01}(q^{5})}{\vartheta _{01}(q)}}{\biggr ]}^{1/2}{\biggl [}{\frac {5\,\vartheta _{01}(q^{5})^{2}}{4\,\vartheta _{01}(q)^{2}}}-{\frac {1}{4}}{\biggr ]}^{-1/2}R(q)^{-1/2}$

$H_{M}(q)={\frac {\eta _{W}(q^{2})^{2}}{\eta _{W}(q)^{2}}}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{01}(q^{5})}{\vartheta _{01}(q)}}{\biggr ]}^{1/2}{\biggl [}{\frac {5\,\vartheta _{01}(q^{5})^{2}}{4\,\vartheta _{01}(q)^{2}}}-{\frac {1}{4}}{\biggr ]}^{-1/2}R(q)^{1/2}$

Уменьшенная модульная функция Вебера

Модульные функции Вебера в их сокращенной форме являются эффективным способом вычисления значений функций Роджерса-Рамануджана:

Прежде всего мы представляем приведенные модульные функции Вебера в этом шаблоне:

$w_{Rn}(\varepsilon )={\frac {2^{(n-1)/4}[q(\varepsilon )^{n};q(\varepsilon )^{2n}]_{\infty }}{[q(\varepsilon );q(\varepsilon )^{2}]_{\infty }^{n}}}$

$w_{R5}(\varepsilon )={\frac {2[q(\varepsilon )^{5};q(\varepsilon )^{10}]_{\infty }}{[q(\varepsilon );q(\varepsilon )^{2}]_{\infty }^{5}}}$

Эта функция удовлетворяет следующему уравнению шестой степени:

$w_{R5}(\varepsilon )^{6}-2\,w_{R5}(\varepsilon )^{5}=\tan {\bigl [}2\arctan(\varepsilon ){\bigr ]}^{2}{\bigl [}2\,w_{R5}(\varepsilon )+1{\bigr ]}$

Поэтому это $w_{R5}$ функция действительно является алгебраической функцией.

Но наряду с теоремой Абеля-Руффини эту функцию относительно эксцентриситета невозможно представить элементарными выражениями.

Однако существует множество ценностей, которые на самом деле можно выразить элементарно.

Для этого следует привести четыре примера:

Первый пример:

$w_{R5}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{6}-2\,w_{R5}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{5}=16\,w_{R5}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})+8$

$w_{R5}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})={\sqrt[{4}]{5}}+1$

Второй пример:

$w_{R5}({\sqrt {2}}-1)^{6}-2\,w_{R5}({\sqrt {2}}-1)^{5}=2\,w_{R5}({\sqrt {2}}-1)+1$

$w_{R5}({\sqrt {2}}-1)={\tfrac {1}{2}}{\bigl \{}{\tfrac {4}{3}}{\sqrt {2}}\cos({\tfrac {1}{10}}\pi )\cosh[{\tfrac {1}{3}}\operatorname {artanh} ({\tfrac {3}{8}}{\sqrt {6}})]+{\tfrac {1}{3}}\tan({\tfrac {1}{5}}\pi ){\bigr \}}^{2}-{\tfrac {1}{2}}=$ $=\Phi ^{-1}\cot {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\pi -\arctan {\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}+4{\sqrt {5}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}-4{\sqrt {5}}}}\,{\bigr )}{\bigr ]}=$

Третий пример:

$w_{R5}{\bigl [}(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}^{6}-2\,w_{R5}{\bigl [}(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}^{5}=({\sqrt {2}}-1)^{4}{\bigl \{}2\,w_{R5}[(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}+1{\bigr \}}$

$w_{R5}[(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}=\cot {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\pi -{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arccsc}({\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10}}+{\tfrac {1}{4}}){\bigr ]}$

Четвертый пример:

$w_{R5}{\bigl [}(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}^{6}-2\,w_{R5}{\bigl [}(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}^{5}=({\sqrt {2}}+1)^{4}{\bigl \{}2\,w_{R5}[(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}+1{\bigr \}}$

$w_{R5}[(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}=\cot {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arccsc}({\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10}}+{\tfrac {1}{4}}){\bigr ]}$

Для этой функции справедливо следующее выражение:

$w_{R5}(\varepsilon )={\frac {5\,\vartheta _{01}[q(k)^{5}]^{2}}{2\,\vartheta _{01}[q(k)]^{2}}}-{\frac {1}{2}}$

Точное тождество эксцентриситета функций G и H

Таким образом можно получить точные формулы, зависящие от эксцентриситета для функций G и H:

Следующий фактор эта-функции Дедекинда имеет следующую зависимость от эксцентриситета:

${\frac {\eta _{W}[q(\varepsilon )^{2}]}{\eta _{W}[q(\varepsilon )]}}=2^{-1/4}\tan {\bigl [}2\arctan(\varepsilon ){\bigr ]}^{1/12}$

Это формула, зависящая от эксцентриситета для цепной дроби R:

$R[q(\varepsilon )]=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {w_{R5}(\varepsilon )-2}{2\,w_{R5}(\varepsilon )+1}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {w_{R5}(\varepsilon )-2}{2\,w_{R5}(\varepsilon )+1}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}$

Последние три упомянутые теперь формулы будут вставлены в окончательные формулы, упомянутые в разделе выше:

$G_{M}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}={\frac {\tan {\bigl [}2\arctan(\varepsilon ){\bigr ]}^{1/6}{\bigl [}2\,w_{R5}(\varepsilon )+1{\bigr ]}^{1/4}}{5^{1/4}w_{R5}(\varepsilon )^{1/2}}}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {w_{R5}(\varepsilon )-2}{2\,w_{R5}(\varepsilon )+1}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{-1/10}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {w_{R5}(\varepsilon )-2}{2\,w_{R5}(\varepsilon )+1}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{-1/5}$

$H_{M}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}={\frac {\tan {\bigl [}2\arctan(\varepsilon ){\bigr ]}^{1/6}{\bigl [}2\,w_{R5}(\varepsilon )+1{\bigr ]}^{1/4}}{5^{1/4}w_{R5}(\varepsilon )^{1/2}}}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {w_{R5}(\varepsilon )-2}{2\,w_{R5}(\varepsilon )+1}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/10}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {w_{R5}(\varepsilon )-2}{2\,w_{R5}(\varepsilon )+1}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}$

В левой части весов расположены функции $G_{M}(q)$ и $H_{M}(q)$ по отношению к эллиптической функции нома $q(\varepsilon )$ записываются напрямую.

А в правой части алгебраическая комбинация эксцентриситета $\varepsilon$ сформулировано.

Поэтому эти функции $G_{M}(q)=q^{-1/60}G(q)$ и $H_{M}(q)=q^{11/60}H(q)$ действительно модульные функции!

Приложение к уравнениям пятой степени

Открытие соответствующего модуля Чарльзом Эрмитом.

Общий случай уравнений пятой степени в форме Бринга-Джеррарда имеет неэлементарное решение, основанное на теореме Абеля-Руффини , и теперь будет объяснен с использованием эллиптического имени соответствующего модуля, описываемого лемнискатическими эллиптическими функциями упрощенно .

$x^{5}+5\,x=4\,c$

Реальное решение для всех реальных ценностей $c\in \mathbb {R}$ можно определить следующим образом:

${\begin{aligned}x={}&{\frac {S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}-R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }}{S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}}}\times \\[4pt]&{}\times {\frac {1-R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }\,S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}{\bigr \rangle }}{R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }^{2}}}\times \\[4pt]&{}\times {\frac {\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}^{1/5}{\bigr \rangle }^{2}-5\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }^{3}}{4\,\vartheta _{10}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{01}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}{\bigr \rangle }}}\end{aligned}}$

Альтернативно то же решение можно представить следующим образом:

${\begin{aligned}x={}&{\frac {5\,\vartheta _{00}(Q^{5})^{3}-\vartheta _{00}(Q^{5})\,\vartheta _{00}(Q)^{2}}{4\,\vartheta _{10}(Q)\,\vartheta _{01}(Q)\,\vartheta _{00}(Q)}}\times {\frac {S(Q)^{2}+R(Q^{2})}{S(Q)}}\times {\bigl [}R(Q^{2})S(Q)+R(Q^{2})+S(Q)-1{\bigr ]}\\[4pt]&\mathrm {with} \,\,Q=q{\bigl \{}\mathrm {ctlh} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}\end{aligned}}$

Математик Чарльз Эрмит определил значение эллиптического модуля k по отношению к коэффициенту абсолютного члена формы Бринга-Джеррарда. В своем эссе «Sur la resolution de l'Equation du cinquiéme degré Comptes rendus» он описал метод расчета эллиптического модуля в терминах абсолютного члена. Итальянская версия его эссе «Sulla risoluzione delle equazioni del quinto grado» ровно на странице 258 содержит верхнюю формулу уравнения Бринга-Джеррарда, которую можно решить непосредственно с помощью функций, основанных на соответствующем эллиптическом модуле. Этот соответствующий эллиптический модуль можно определить, используя квадрат котангенса гиперболической лемнискаты. Для получения этого вывода см. статью Википедии «Лемнискатные эллиптические функции» !

Эллиптическое название соответствующего модуля представлено здесь буквой Q:

$Q=q{\bigl \{}\mathrm {ctlh} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}=$

$=q{\bigl [}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {c^{4}+1}}+1}}+c{\bigr )}{\bigl (}2c^{2}+2+2{\sqrt {c^{4}+1}}\,{\bigr )}^{-1/2}{\bigr ]}$

Аббревиатура ctlh обозначает гиперболический котангенс лемнискаты , а аббревиатура aclh представляет собой гиперболический ареакосинус лемнискаты !

Примеры расчета

Теперь упомянуты два примера этого алгоритма решения:

Первый пример расчета:

Квинтическое уравнение Бринга-Джеррарда: $x^{5}+5\,x=8$ Формула решения: ${\begin{aligned}x={}&{\frac {S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}-R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }}{S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}}}\times \\[4pt]&{}\times {\frac {1-R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }\,S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}{\bigr \rangle }}{R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }^{2}}}\times \\[4pt]&{}\times {\frac {\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}^{1/5}{\bigr \rangle }^{2}-5\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }^{3}}{4\,\vartheta _{10}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{01}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}{\bigr \rangle }}}\end{aligned}}$ Десятичные разряды имени: $q{\bigl \{}\mathrm {ctlh} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}=q{\bigl [}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {17}}+1}}+2{\bigr )}{\bigl (}10+2{\sqrt {17}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigr ]}=$ $=0{,}3063466544466074265361088194021326272090461143559097382981847144\ldots$ Десятичные знаки решения: $x=1{,}1670361837016430473110194319963961012975521104880199105205748723\ldots$

Второй пример расчета:

Квинтическое уравнение Бринга-Джеррарда: $x^{5}+5\,x=12$ Решение: ${\begin{aligned}x={}&{\frac {S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}-R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }}{S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}}}\times \\[4pt]&{}\times {\frac {1-R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }\,S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}{\bigr \rangle }}{R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }^{2}}}\times \\[4pt]&{}\times {\frac {\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}^{1/5}{\bigr \rangle }^{2}-5\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }^{3}}{4\,\vartheta _{10}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{01}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}{\bigr \rangle }}}\end{aligned}}$ Десятичные разряды имени: $q{\bigl \{}\mathrm {ctlh} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}=q{\bigl [}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {82}}+1}}+3{\bigr )}{\bigl (}20+2{\sqrt {82}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigr ]}=$ $=0{,}3706649511520240756244325221775686571518680899597473957509743879\ldots$ Десятичные знаки решения: $x=1{,}3840917958231463592477551262671354748859350601806764501691889116\ldots$

Приложения в физике

Тождества Роджерса-Рамануджана появились в решении Бакстером модели жесткого шестиугольника в статистической механике.

Демодуляризованная стандартная форма цепной дроби Рамануджана, не привязанная к модульной форме, выглядит следующим образом:

${\frac {H(q)}{G(q)}}=\left[1+{\frac {q}{1+{\frac {q^{2}}{1+{\frac {q^{3}}{1+\cdots }}}}}}\right]$

Отношения с аффинными алгебрами Ли и алгебрами вершинных операторов

Джеймс Леповски и Роберт Ли Уилсон были первыми, кто доказал тождества Роджерса-Рамануджана, используя полностью теоретико-представительные методы. Они доказали эти тождества, используя модули уровня 3 для аффинной алгебры Ли. ${\widehat {{\mathfrak {sl}}_{2}}}$. В ходе этого доказательства они изобрели и использовали то, что они назвали $Z$-алгебры. Подход Леповского и Уилсона универсален, поскольку он позволяет рассматривать все аффинные алгебры Ли на всех уровнях. Его можно использовать для поиска (и подтверждения) новых идентификаторов разделов. Первым таким примером является личность Каппарелли, обнаруженная Стефано Каппарелли с использованием модулей уровня 3 для аффинная алгебра Ли $A_{2}^{(2)}$.

См. также

• Полиномы Роджерса
• Непрерывные q-полиномы Эрмита

Ссылки

• Роджерс, LJ; Рамануджан, Шриниваса (1919), «Доказательство некоторых тождеств в комбинаторном анализе», Cambr. Фил. Соц. Учеб. , 19 : 211–216, перепечатано как документ 26 в собрании статей Рамануджана.
• Роджерс, LJ (1892), «О расширении некоторых бесконечных произведений» , Proc. Лондонская математика. Соц. , 24 (1): 337–352, doi : 10.1112/plms/s1-24.1.337 , JFM   25.0432.01
• Роджерс, LJ (1893), «Вторые мемуары о расширении некоторых бесконечных продуктов» , Proc. Лондонская математика. Соц. , 25 (1): 318–343, doi : 10.1112/plms/s1-25.1.318
• Роджерс, LJ (1894), «Третий мемуар о расширении некоторых бесконечных продуктов» , Proc. Лондонская математика. Соц. , 26 (1): 15–32, doi : 10.1112/plms/s1-26.1.15
• Шур, Иссаи (1917), «Вклад в аддитивную теорию чисел и теорию цепных дробей», труды Берлинской академии : 302–321.
• У. Н. Бейли , Обобщенная гипергеометрическая серия , (1935) Кембриджские трактаты по математике и математической физике, № 32, издательство Кембриджского университета, Кембридж.
• Джордж Гаспер и Мизан Рахман, Базовая гипергеометрическая серия, 2-е издание , (2004), Энциклопедия математики и ее приложений, 96 , Cambridge University Press, Кембридж. ISBN   0-521-83357-4 .
• Брюс С. Берндт , Хенг Хуат Чан, Сен-Шань Хуан, Сун-И Кан, Джебом Сон, Сын Хван Сон, Продолжительная дробь Роджерса-Рамануджана , J. ​​Comput. Прил. Математика. 105 (1999), стр. 9–24.
• Силанн Буле, Игорь Пак , Комбинаторное доказательство тождеств Роджерса-Рамануджана и Шура , Журнал комбинаторной теории, сер. А, том. 113 (2006), 1019–1030.
• Слейтер, LJ (1952), «Дальнейшие тождества типа Роджерса-Рамануджана», Труды Лондонского математического общества , серия 2, 54 (2): 147–167, doi : 10.1112/plms/s2-54.2.147 , ISSN   0024-6115 , МР   0049225
• Джеймс Леповски и Роберт Л. Уилсон, Построение аффинной алгебры Ли $A_{1}^{(1)}$, Комм. Математика. Физ. 62 (1978) 43-53.
• Джеймс Леповски и Роберт Л. Уилсон, Новое семейство алгебр, лежащее в основе тождеств Роджерса-Рамануджана , Proc. Натл. акад. наук. США 78 (1981), 7254-7258.
• Джеймс Леповски и Роберт Л. Уилсон, Структура стандартных модулей, I: Универсальные алгебры и тождества Роджерса-Рамануджана , Инвент. Математика. 77 (1984), 199-290.
• Джеймс Леповски и Роберт Л. Уилсон, Структура стандартных модулей, II: Случай $A_{1}^{(1)}$, основная градация , Инвент. Математика. 79 (1985), 417-442.
• Стефано Каппарелли, Вершинно-операторные отношения для аффинных алгебр и комбинаторных тождеств , Диссертация (доктор философии) – Рутгерс, Государственный университет Нью-Джерси - Нью-Брансуик. 1988. 107 с.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Идентичность Роджерса-Рамануджана» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Продолжительная дробь Роджерса-Рамануджана» . Математический мир .