Полиномы Роджерса

Не путать с полиномами Роджерса – Сеге .

В математике полиномы Роджерса , также называемые полиномами Роджерса-Аски-Исмаила и непрерывными q-ультрасферическими полиномами , представляют собой семейство ортогональных полиномов, введенных Роджерсом ( 1892 , 1893 , 1894 ) в ходе его работы над тождествами Роджерса-Рамануджана. . Они являются q -аналогами ультрасферических полиномов и являются полиномами Макдональда для частного случая ( _A1 аффинной корневой системы Macdonald 2003 , стр.156).

Аски и Исмаил (1983) , а также Гаспер и Рахман (2004 , 7.4) подробно обсуждают свойства полиномов Роджерса.

Определение

Полиномы Роджерса можно определить в терминах символа q -Похгаммера и основного гипергеометрического ряда следующим образом:

$C_{n}(x;\beta |q)={\frac {(\beta ;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}e^{in\theta }{}_{2}\phi _{1}(q^{-n},\beta ;\beta ^{-1}q^{1-n};q,q\beta ^{-1}e^{-2i\theta })$

где х = соз( θ ).

Ссылки

• Аски, Ричард; Исмаил, Мурад Э.Х. (1983), «Обобщение ультрасферических полиномов» , в Эрдеш, Пол (редактор), Исследования по чистой математике. Памяти Поля Турана. , Базель, Бостон, Берлин: Birkhäuser, стр. 55–78, ISBN.  978-3-7643-1288-6 , МР   0820210
• Гаспер, Джордж; Рахман, Мизан (2004), Основные гипергеометрические серии , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 96 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-83357-8 , МР   2128719
• Макдональд, И.Г. (2003), Аффинные алгебры Гекке и ортогональные многочлены , Кембриджские трактаты по математике, том. 157, Издательство Кембриджского университета , номер документа : 10.1017/CBO9780511542824 , ISBN.  978-0-521-82472-9 , г-н   : 1976581
• Роджерс, LJ (1892), «О расширении некоторых бесконечных произведений» , Proc. Лондонская математика. Соц. , 24 (1): 337–352, doi : 10.1112/plms/s1-24.1.337 , JFM   25.0432.01
• Роджерс, LJ (1893), «Вторые мемуары о расширении некоторых бесконечных продуктов» , Proc. Лондонская математика. Соц. , 25 (1): 318–343, doi : 10.1112/plms/s1-25.1.318
• Роджерс, LJ (1894), «Третий мемуар о расширении некоторых бесконечных продуктов» , Proc. Лондонская математика. Соц. , 26 (1): 15–32, doi : 10.1112/plms/s1-26.1.15