Аффинная корневая система

Аффинная корневая система типа G ₂ .

В математике аффинная корневая система — это корневая система аффинно -линейных функций в евклидовом пространстве . Они используются при классификации аффинных алгебр и супералгебр Ли, а также полупростых p -адических алгебраических групп и соответствуют семействам полиномов Макдональда . Приведенные аффинные корневые системы использовались Кацем и Муди в их работах над алгебрами Каца – Муди . Возможно, нередуцированные аффинные корневые системы были введены и классифицированы Макдональдом (1972) и Брюа и Титсом (1972) (за исключением того, что в обеих этих статьях случайно опущена диаграмма Дынкина). ).

Определение

Пусть E — аффинное пространство , а V — векторное пространство его трансляций.Напомним, что V действует точно и транзитивно на E .В частности, если $u,v\in E$, то корректно определен элемент из V, обозначаемый как $u-v$ который является единственным элементом w таким, что $v+w=u$.

Теперь предположим, что у нас есть скалярное произведение $(\cdot ,\cdot )$ на В. ​Это определяет метрику на E как $d(u,v)=\vert (u-v,u-v)\vert$.

Рассмотрим векторное пространство F аффинно -линейных функций $f\colon E\longrightarrow \mathbb {R}$.Зафиксировав $x_{0}\in E$, каждый элемент из F можно записать как $f(x)=Df(x-x_{0})+f(x_{0})$ с $Df$ линейная функция от V , не зависящая от выбора $x_{0}$.

Теперь двойственный к V может быть отождествлен с V благодаря выбранному скалярному произведению, и мы можем определить произведение на F как $(f,g)=(Df,Dg)$.Набор $f^{\vee }={\frac {2f}{(f,f)}}$ и $v^{\vee }={\frac {2v}{(v,v)}}$ для любого $f\in F$ и $v\in V$ соответственно.Идентификация позволяет нам определить отражение $w_{f}$ над E следующим образом:

$w_{f}(x)=x-f^{\vee }(x)Df$

Путем транспозиции $w_{f}$ действует также на F как

$w_{f}(g)=g-(f^{\vee },g)f$

Аффинная корневая система является разновидностью $S\in F$ такой, что:

1. S охватывает F , и его элементы непостоянны.
2. $w_{a}(S)=S$ для каждого $a\in S$.
3. $(a,b^{\vee })\in \mathbb {Z}$ для каждого $a,b\in S$.

Элементы S называются аффинными корнями .Обозначим через $w(S)$ группа, созданная $w_{a}$ с $a\in S$.Мы также спрашиваем

4. $w(S)$ как дискретная группа правильно действует на E .

Это означает, что для любых двух компактов $K,H\subseteq E$ элементы $w(S)$ такой, что $w(K)\cap H\neq \varnothing$ являются конечным числом.

Классификация

Системы аффинных корней A ₁ = B ₁ = B ^∨
₁ = С ₁ = С ^∨
₁ одинаковы, как и пары B ₂ = C ₂ , B ^∨
₂ = С ^∨
₂ и А ₃ = D ₃

Число орбит, указанное в таблице, — это количество орбит простых корней под группой Вейля.В диаграммах Дынкина нередуцированные простые корни α (с корнем 2α) окрашены в зеленый цвет. Первая диаграмма Дынкина в серии иногда не подчиняется тому же правилу, что и другие.

Аффинная корневая система	Количество витков	Диаграмма Дынкина
А н ( п ≥ 1)	2, если n =1, 1, если n ≥2	, , , , ...
Бн ≥ ( n 3)	2	, , , ...
Б ∨ п ( п ≥ 3)	2	, , , ...
Сп ( ≥ n 2)	3	, , , ...
С ∨ п ( п ≥ 2)	3	, , , ...
БК n ( n ≥ 1)	2, если n =1, 3, если n ≥ 2	, , , , ...
Д н ( п ≥ 4)	1	, , , ...
EЕ6	1
E 7	1
E8	1
FF4	2
Ф ∨ 4	2
Г 2	2
Г ∨ 2	2
( BC n , C n ) ( n ≥ 1)	3, если n =1, 4, если n ≥2	, , , , ...
( С ∨ п , до н.э. н ) ( п ≥ 1)	3, если n =1, 4, если n ≥2	, , , , ...
( Бн , Б ∨ п ) ( п ≥ 2)	4, если n =2, 3, если n ≥3	, , , , ...
( С ∨ п , C п ) ( п ≥ 1)	4, если n =1, 5, если n ≥2	, , , , ...

Неприводимые аффинные корневые системы по рангу

Ранг 1 : A ₁ , BC ₁ , ( BC ₁ , C ₁ ), ( C ^∨
₁ , ВС ₁ ), ( С ^∨
₁ , С ₁ ).

Ранг 2 : A ₂ , C ₂ , C ^∨
₂ , БК ₂ , ( БК ₂ , С ₂ ), ( С ^∨
₂ , БК ₂ ), ( Б ₂ , Б ^∨
₂ ), ( С ^∨
₂ , С ₂ ), Г ₂ , Г ^∨
₂ .

Ранг 3 : А ₃ , Б ₃ , Б ^∨
₃ , С3 , С ^∨
₃ , БК ₃ , ( БК ₃ , С ₃ ), ( С ^∨
₃ , БК ₃ ), ( Б ₃ , Б ^∨
₃ ), ( С ^∨
₃ , С ₃ ).

Rank 4 : A ₄ , B ₄ , B ^∨
₄ , С ₄ , С ^∨
₄ , БК ₄ , ( БК ₄ , С ₄ ), ( С ^∨
₄ , БК ₄ ), ( Б ₄ , Б ^∨
₄ ), ( С ^∨
₄ , С ₄ ), Д ₄ , Ж ₄ , Ф ^∨
₄ .

Ранг 5 : А ₅ , Б ₅ , Б ^∨
₅ , С ₅ , С ^∨
₅ , БК ₅ , ( БК ₅ , С ₅ ), ( С ^∨
₅ , БК ₅ ), ( Б ₅ , Б ^∨
₅ ), ( С ^∨
₅ , С ₅ ), Д ₅ .

Ранг 6 : А ₆ , Б ₆ , Б ^∨
₆ , С ₆ , С ^∨
₆ , БК ₆ , ( БК ₆ , С ₆ ), ( С ^∨
₆ , БК ₆ ), ( Б ₆ , Б ^∨
₆ ), ( С ^∨
₆ , С ₆ ), Д ₆ , Е ₆ ,

Ранг 7 : А ₇ , Б ₇ , Б ^∨
₇ , С ₇ , С ^∨
₇ , БК ₇ , ( БК ₇ , С ₇ ), ( С ^∨
₇ , БК ₇ ), ( Б ₇ , Б ^∨
₇ ), ( С ^∨
₇ , С ₇ ), Д ₇ , Е ₇ ,

Ранг 8 : А ₈ , Б ₈ , Б ^∨
₈ , С ₈ , С ^∨
₈ , БК ₈ , ( БК ₈ , С ₈ ), ( С ^∨
₈ , БК ₈ ), ( Б ₈ , Б ^∨
₈ ), ( С ^∨
₈ , С ₈ ), Д ₈ , Е ₈ ,

Ранг n ( n >8) : A _n , B _n , B ^∨
_п , С _н , С ^∨
_n , BC _n , ( BC _n , C _n ), ( C ^∨
_n , BC _n ), ( B _n , B ^∨
_п ), ( С ^∨
_п , C _n ), D _n .

Приложения

• Макдональд (1972) показал, что аффинные корневые системы индексируют тождества Макдональда.
• Брюа и Титс (1972) использовали аффинные системы корней для изучения p -адических алгебраических групп.
• Приведенные аффинные корневые системы классифицируют аффинные алгебры Каца–Муди , а нередуцированные аффинные корневые системы соответствуют аффинным супералгебрам Ли .
• Макдональд (2003) показал, что системы аффинных корней индексируют семейства полиномов Макдональда .

Ссылки

• Брюа, Ф.; Титс, Жак (1972), «Редуктивные группы на локальном теле» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 41 : 5–251, doi : 10.1007/bf02715544 , ISSN   1618-1913 , MR   0327923 , S2CID   125864274
• Макдональд, И.Г. (1972), «Аффинные корневые системы и η-функция Дедекинда», Inventiones Mathematicae , 15 (2): 91–143, Bibcode : 1971InMat..15...91M , doi : 10.1007/BF01418931 , ISSN   0020- 9910 , МР   0357528 , С2КИД   122115111
• Макдональд, И.Г. (2003), Аффинные алгебры Гекке и ортогональные многочлены , Кембриджские трактаты по математике, том. 157, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. x+175, ISBN  978-0-521-82472-9 , МР   : 1976581