Супералгебра Ли

В математике супералгебра Ли — это обобщение алгебры Ли, включающее в себя $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ - градация . Супералгебры Ли играют важную роль в теоретической физике , где они используются для описания математики суперсимметрии .

Понятие $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ используемая здесь оценка отличается от второй $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ градуировки, имеющие когомологическое происхождение. Градуированная алгебра Ли (скажем, градуированная по $\mathbb {Z}$ или $\mathbb {N}$ ), который антикоммутативен и имеет градуированное тождество Якоби, также имеет $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ градация; это «свертывание» алгебры на нечетные и четные части. Такое свертывание обычно не называют «супер». Таким образом, суперградуированные супералгебры Ли пару несут $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ ‑градации: одна из которых суперсимметричная, а другая классическая. Пьер Делинь называет суперсимметричную суперградацией , а классическую — когомологической градацией . Эти две градации должны быть совместимыми, и часто возникают разногласия относительно того, как их следует рассматривать. ^[1]

Определение

Формально супералгебра Ли — это неассоциативная Z ₂ - градуированная алгебра или супералгебра над коммутативным кольцом (обычно R или C ), чей продукт [·, ·], называемый суперскобкой Ли или суперкоммутатором , удовлетворяет двум условиям (аналогам обычные алгебры Ли аксиомы с градуировкой):

Супер кососимметрия:

[x,y]=-(-1)^{|x||y|}[y,x].\

Личность Супер Якоби: ^[2]

(-1)^{|x||z|}[x,[y,z]]+(-1)^{|y||x|}[y,[z,x]]+(-1)^{|z||y|}[z,[x,y]]=0,

где x , y и z являются чистыми в Z ₂ -градуации. Здесь, | х | обозначает степень x (0 или 1). Степень [x,y] — это сумма степеней x и y по модулю 2.

Иногда добавляют также аксиомы $[x,x]=0$ для | х | = 0 (если 2 обратимо, это следует автоматически) и $[[x,x],x]=0$ для | х | = 1 (если 3 обратимо, это следует автоматически). Когда основное кольцо представляет собой целые числа или супералгебра Ли является свободным модулем, эти условия эквивалентны условию выполнения теоремы Пуанкаре – Биркгофа – Витта (и, вообще говоря, они являются необходимыми условиями для выполнения теоремы).

Как и в случае с алгебрами Ли, универсальной обертывающей алгебре супералгебры Ли можно придать структуру алгебры Хопфа .

Супералгебры Ли проявляются в физике по-разному. В традиционной суперсимметрии четные — элементы супералгебры соответствуют бозонам , а нечетные элементы фермионам . Это соответствует скобке с нулевой оценкой:

|[a,b]|=|a|+|b|

Это не всегда так; например, в BRST-суперсимметрии и в формализме Баталина – Вилковиского все наоборот, что соответствует скобке наличия градуировки -1:

|[a,b]|=|a|+|b|-1

Это различие становится особенно актуальным, когда алгебра имеет не одно, а два градуированных ассоциативных произведения . Помимо скобки Ли, может существовать и «обычное» произведение, что дает начало супералгебре Пуассона и алгебре Герстенхабера . Подобные градуировки наблюдаются и в теории деформаций .

Характеристики

Позволять ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$ быть супералгеброй Ли. Изучив тождество Якоби, можно увидеть, что существует восемь случаев в зависимости от того, являются ли аргументы четными или нечетными. Они делятся на четыре класса, индексированные по количеству нечетных элементов: ^[3]

Никаких лишних элементов. Заявление именно такое ${\mathfrak {g}}_{0}$ является обычной алгеброй Ли.
Один странный элемент. Затем ${\mathfrak {g}}_{1}$ это ${\mathfrak {g}}_{0}$ -модуль для действий $\mathrm {ad} _{a}:b\rightarrow [a,b],\quad a\in {\mathfrak {g}}_{0},\quad b,[a,b]\in {\mathfrak {g}}_{1}$ .
Два странных элемента. Тождество Якоби утверждает, что скобка ${\mathfrak {g}}_{1}\otimes {\mathfrak {g}}_{1}\rightarrow {\mathfrak {g}}_{0}$ представляет собой симметричный ${\mathfrak {g}}_{1}$ -карта.
Три странных элемента. Для всех $b\in {\mathfrak {g}}_{1}$ , $[b,[b,b]]=0$ .

Таким образом, четная подалгебра ${\mathfrak {g}}_{0}$ супералгебры Ли образует (нормальную) алгебру Ли, поскольку все знаки исчезают, а суперскобка становится нормальной скобкой Ли, а ${\mathfrak {g}}_{1}$ является линейным представлением ${\mathfrak {g}}_{0}$ , и существует симметричный ${\mathfrak {g}}_{0}$ - эквивариантное линейное отображение $\{\cdot ,\cdot \}:{\mathfrak {g}}_{1}\otimes {\mathfrak {g}}_{1}\rightarrow {\mathfrak {g}}_{0}$ такой, что,

[\left\{x,y\right\},z]+[\left\{y,z\right\},x]+[\left\{z,x\right\},y]=0,\quad x,y,z\in {\mathfrak {g}}_{1}.

Условия (1)–(3) линейны и все их можно понять в терминах обычных алгебр Ли. Условие (4) нелинейно и его труднее всего проверить при построении супералгебры Ли, исходя из обычной алгебры Ли ( ${\mathfrak {g}}_{0}$ ) и представление ( ${\mathfrak {g}}_{1}$ ).

Инволюция

А ^∗ Супералгебра Ли — это комплексная супералгебра Ли, оснащенная инволютивным антилинейным отображением из себя в себя, которое соблюдает градуировку Z ₂ и удовлетворяет условиям[ х , у ] ^* = [ и ^*, х ^*] для всех x и y в супералгебре Ли. (Некоторые авторы предпочитают соглашение [ x , y ] ^* = (−1) ^{| х || и |}[ и ^*, х ^*]; замена * на −* переключает между двумя соглашениями.) Его универсальная обертывающая алгебра была бы обычной ^*-алгебра .

Примеры

Учитывая любую ассоциативную супералгебру $A$ можно определить суперкоммутатор на однородных элементах формулой

[x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx\

а затем распространяется по линейности на все элементы. Алгебра $A$ вместе с суперкоммутатором становится супералгеброй Ли. Самый простой пример этой процедуры, возможно, когда $A$ — пространство всех линейных функций $\mathbf {End} (V)$ супервекторного пространства $V$ самому себе. Когда $V=\mathbb {K} ^{p|q}$ , это пространство обозначается $M^{p|q}$ или $M(p|q)$ . ^[4] С помощью скобки Ли, указанной выше, пространство обозначается ${\mathfrak {gl}}(p|q)$ . ^[5]

Алгебра Пуассона — это ассоциативная алгебра вместе со скобкой Ли. Если алгебре задана Z ₂ -градуировка, такая, что скобка Ли становится суперскобкой Ли, то получается супералгебра Пуассона . Если, кроме того, ассоциативное произведение сделать суперкоммутативным , то получится суперкоммутативная супералгебра Пуассона.

Произведение Уайтхеда на гомотопических группах дает множество примеров супералгебр Ли над целыми числами.

Супер -Алгебра Пуанкаре порождает изометрии плоского суперпространства .

Классификация

Простые комплексные конечномерные супералгебры Ли были классифицированы Виктором Кацем .

Это (исключая алгебры Ли): ^[6]

Специальная линейная супералгебра Ли ${\mathfrak {sl}}(m|n)$ .

Супералгебра лжи ${\mathfrak {sl}}(m|n)$ является подалгеброй ${\mathfrak {gl}}(m|n)$ состоящая из матриц с нулевым суперследом. Это просто, когда $m\not =n$ . Если $m=n$ , то единичная матрица $I_{2m}$ порождает идеал. Факторирование этого идеала приводит к ${\mathfrak {sl}}(m|m)/\langle I_{2m}\rangle$ что просто для $m\geq 2$ .

Ортосимплектическая супералгебра Ли ${\mathfrak {osp}}(m|2n)$ .

Рассмотрим четную невырожденную суперсимметричную билинейную форму $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ на $\mathbb {C} ^{m|2n}$ . Тогда ортосимплектическая супералгебра Ли является подалгеброй ${\mathfrak {gl}}(m|2n)$ состоящая из матриц, оставляющих эту форму неизменной: ${\mathfrak {osp}}(m|2n)=\{X\in {\mathfrak {gl}}(m|2n)\mid \langle Xu,v\rangle +(-1)^{|X||u|}\langle u,Xv\rangle =0{\text{ for all }}u,v\in \mathbb {C} ^{m|2n}\}.$ Его четная часть определяется выражением ${\mathfrak {so}}(m)\oplus {\mathfrak {sp}}(2n)$ .

Исключительная супералгебра Ли $D(2,1;\alpha )$ .

Существует семейство (9∣8)-мерных супералгебр Ли, зависящих от параметра $\alpha$ . Это деформации $D(2,1)={\mathfrak {osp}}(4|2)$ . Если $\alpha \not =0$ и $\alpha \not =-1$ , то D(2,1,α) проста. Более того $D(2,1;\alpha )\cong D(2,1;\beta )$ если $\alpha$ и $\beta$ находятся на одной орбите по картам $\alpha \mapsto \alpha ^{-1}$ и $\alpha \mapsto -1-\alpha$ .

Исключительная супералгебра Ли $F(4)$ .

Он имеет размерность (24|16). Его четная часть определяется выражением ${\mathfrak {sl}}(2)\oplus {\mathfrak {so}}(7)$ .

Исключительная супералгебра Ли $G(3)$ .

Он имеет размерность (17|14). Его четная часть определяется выражением ${\mathfrak {sl}}(2)\oplus G_{2}$ .

Есть еще две так называемые странные серии под названием ${\mathfrak {pe}}(n)$ и ${\mathfrak {q}}(n)$ .

Картана Типы . Их можно разделить на четыре семейства: $W(n)$ , $S(n)$ , ${\widetilde {S}}(2n)$ и $H(n)$ . Для простых супералгебр Ли типа Картана нечетная часть уже не полностью приводима под действием четной части.

Классификация бесконечномерных простых линейно компактных супералгебр Ли

Классификация состоит из 10 серий W ( m , n ), S ( m , n ) ((m,n) ≠ (1,1)), H(2m,n) , K ( 2m + 1, n ) , НО(м, м) ( м ≥ 2), ШО ( м , м ) ( м ≥ 3), КО ( м , м + 1), СКО(м, м + 1; β) ( м ≥ 2), ШО ~ (2 т , 2 т ), СКО ~ (2 т + 1, 2 т + 3) и пять исключительных алгебр:

Е(1, 6) , Е(5, 10) , Е(4, 4) , Е(3, 6) , Е(3, 8)

они имеют стандартную модельную калибровочную группу SU (3) × SU (2) × U Последние два особенно интересны (по мнению Каца), поскольку в качестве алгебры нулевого уровня (1). Бесконечномерные (аффинные) супералгебры Ли являются важными симметриями в теории суперструн . В частности, алгебры Вирасоро с ${\mathcal {N}}$ суперсимметрии $K(1,{\mathcal {N}})$ которые имеют только центральные расширения до ${\mathcal {N}}=4$ . ^[7]

Теоретико-категорное определение

В теории категорий можно супералгебру Ли определить как неассоциативную супералгебру, произведение которой удовлетворяет условию

$[\cdot ,\cdot ]\circ ({\operatorname {id} }+\tau _{A,A})=0$
$[\cdot ,\cdot ]\circ ([\cdot ,\cdot ]\otimes {\operatorname {id} }\circ ({\operatorname {id} }+\sigma +\sigma ^{2})=0$

где σ — циклическое перестановочное переплетение $({\operatorname {id} }\otimes \tau _{A,A})\circ (\tau _{A,A}\otimes {\operatorname {id} })$ . В схематическом виде:

См. также

Примечания

^ См Делинем . . обсуждение этой трудности
^ Друг 1983 , с. 8
^ Варадараджан 2004 , с. 89
^ Варадараджан 2004 , с. 87
^ Варадараджан 2004 , с. 90
^ Ченг С.-Дж. ;Ван В. (2012). Двойственности и представления супералгебр Ли . Провиденс, Род-Айленд. п. 12. ISBN 978-0-8218-9118-6 . OCLC 809925982 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ) CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Получено в 2010 г.

Ссылки

Ченг, С.-Дж.; Ван, В. (2012). Двойственности и представления супералгебр Ли . Аспирантура по математике. Том. 144. стр. 302 стр. ISBN 978-0-8218-9118-6 .
Фройнд, прокурор (1983). Введение в суперсимметрию . Кембриджские монографии по математической физике. Издательство Кембриджского университета . дои : 10.1017/CBO9780511564017 . ISBN 978-0521-356-756 .
Грозман П.; Лейтес, Д.; Щепочкина, И. (2005). «Супералгебры Ли теории струн». Acta Mathematica Vietnamica . 26 (2005): 27–63. arXiv : hep-th/9702120 . Бибкод : 1997hep.th....2120G .
Кац, В.Г. (1977). «Супералгебры Ли» . Достижения в математике . 26 (1): 8–96. дои : 10.1016/0001-8708(77)90017-2 .
Кац, В.Г. (2010). «Классификация бесконечномерных простых групп суперсимметрии и квантовая теория поля». Видения в математике . стр. 162–183. arXiv : математика/9912235 . дои : 10.1007/978-3-0346-0422-2_6 . ISBN 978-3-0346-0421-5 . S2CID 15597378 .
Манин, Ю.И. (1997). Теория калибровочного поля и сложная геометрия ((2-е изд.) Изд.). Берлин: Шпрингер. ISBN 978-3-540-61378-7 .
Муссон, ИМ (2012). Супералгебры Ли и обертывающие алгебры . Аспирантура по математике . Том. 131. стр. 488 стр. ISBN . 978-0-8218-6867-6 .
Варадараджан, В.С. (2004). Суперсимметрия для математиков: Введение . Курант Конспект лекций по математике. Том. 11. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3574-6 .

Исторический

Фрелихер, А.; Ниенхейс, А. (1956). «Теория векторнозначных дифференциальных форм. Часть I». Indagationes Mathematicae . 59 : 338–350. дои : 10.1016/S1385-7258(56)50046-7 . .
Герстенхабер, М. (1963). «Когомологическая структура ассоциативного кольца». Анналы математики . 78 (2): 267–288. дои : 10.2307/1970343 . JSTOR 1970343 .
Герстенхабер, М. (1964). «О деформации колец и алгебр». Анналы математики . 79 (1): 59–103. дои : 10.2307/1970484 . JSTOR 1970484 .
Милнор, JW ; Мур, Дж. К. (1965). «О строении алгебр Хопфа» . Анналы математики . 81 (2): 211–264. дои : 10.2307/1970615 . JSTOR 1970615 .

Внешние ссылки

Ирвинг Каплански + Супералгебры Ли

[1] См Делинем . . обсуждение этой трудности

[2] Друг 1983 , с. 8

[3] Варадараджан 2004 , с. 89

[4] Варадараджан 2004 , с. 87

[5] Варадараджан 2004 , с. 90

[6] Ченг С.-Дж. ;Ван В. (2012). Двойственности и представления супералгебр Ли . Провиденс, Род-Айленд. п. 12. ISBN 978-0-8218-9118-6 . OCLC 809925982 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ) CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[7] Получено в 2010 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

v т и Суперсимметрия
General topics	Supersymmetry Supersymmetric gauge theory Supersymmetric quantum mechanics Supergravity Superstring theory Super vector space Supergeometry
Supermathematics	Superalgebra Lie superalgebra Super-Poincaré algebra Superconformal algebra Supersymmetry algebra Supergroup Superspace Harmonic superspace Super Minkowski space Supermanifold
Concepts	Supercharge R-symmetry Supermultiplet Short supermultiplet BPS state Superpotential D-term FI D-term F-term Moduli space Supersymmetry breaking Konishi anomaly Seiberg duality Seiberg–Witten theory Witten index Wess–Zumino gauge Localization Mu problem Little hierarchy problem Electric–magnetic duality
Theorems	Coleman–Mandula Haag–Łopuszański–Sohnius Nonrenormalization
Field theories	Wess–Zumino N = 1 super Yang–Mills 4D N = 1 N = 4 super Yang–Mills Super QCD MSSM NMSSM 6D (2,0) superconformal ABJM superconformal
Supergravity	Pure 4D N = 1 supergravity 4D N = 1 supergravity N = 8 supergravity Higher dimensional 11D supergravity Gauged supergravity
Superpartners	Axino Chargino Gaugino Goldstino Graviphoton Graviscalar Higgsino LSP Neutralino R-hadron Sfermion Sgoldstino Stop squark Superghost
Researchers	Affleck Bagger Batchelor Berezin Dine Fayet Gates Golfand Iliopoulos Montonen Olive Salam Seiberg Siegel Roček Rogers Wess Witten Zumino

v т и Теория струн
Background	Strings Cosmic strings History of string theory First superstring revolution Second superstring revolution String theory landscape
Theory	Nambu–Goto action Polyakov action Bosonic string theory Superstring theory Type I string Type II string Type IIA string Type IIB string Heterotic string N=2 superstring F-theory String field theory Matrix string theory Non-critical string theory Non-linear sigma model Tachyon condensation RNS formalism GS formalism
String duality	T-duality S-duality U-duality Montonen–Olive duality
Particles and fields	Graviton Dilaton Tachyon Ramond–Ramond field Kalb–Ramond field Magnetic monopole Dual graviton Dual photon
Branes	D-brane NS5-brane M2-brane M5-brane S-brane Black brane Black holes Black string Brane cosmology Quiver diagram Hanany–Witten transition
Conformal field theory	Virasoro algebra Mirror symmetry Conformal anomaly Conformal algebra Superconformal algebra Vertex operator algebra Loop algebra Kac–Moody algebra Wess–Zumino–Witten model
Gauge theory	Anomalies Instantons Chern–Simons form Bogomol'nyi–Prasad–Sommerfield bound Exceptional Lie groups (G₂, F₄, E₆, E₇, E₈) ADE classification Dirac string p-form electrodynamics
Geometry	Worldsheet Kaluza–Klein theory Compactification Why 10 dimensions? Kähler manifold Ricci-flat manifold Calabi–Yau manifold Hyperkähler manifold K3 surface G₂ manifold Spin(7)-manifold Generalized complex manifold Orbifold Conifold Orientifold Moduli space Hořava–Witten theory K-theory (physics) Twisted K-theory
Supersymmetry	Supergravity Superspace Lie superalgebra Lie supergroup
Holography	Holographic principle AdS/CFT correspondence
M-theory	Matrix theory Introduction to M-theory
String theorists	Aganagić Arkani-Hamed Atiyah Banks Berenstein Bousso Curtright Dijkgraaf Distler Douglas Duff Dvali Ferrara Fischler Friedan Gates Gliozzi Gopakumar Green Greene Gross Gubser Gukov Guth Hanson Harvey 't Hooft Hořava Gibbons Kachru Kaku Kallosh Kaluza Kapustin Klebanov Knizhnik Kontsevich Klein Linde Maldacena Mandelstam Marolf Martinec Minwalla Moore Motl Mukhi Myers Nanopoulos Năstase Nekrasov Neveu Nielsen van Nieuwenhuizen Novikov Olive Ooguri Ovrut Polchinski Polyakov Rajaraman Ramond Randall Randjbar-Daemi Roček Rohm Sagnotti Scherk Schwarz Seiberg Sen Shenker Siegel Silverstein Sơn Staudacher Steinhardt Strominger Sundrum Susskind Townsend Trivedi Turok Vafa Veneziano Verlinde Verlinde Wess Witten Yau Yoneya Zamolodchikov Zamolodchikov Zaslow Zumino Zwiebach

Базы данных авторитетного контроля
International	FAST
National	France BnF data Germany Israel United States
Other	IdRef