Универсальная обертывающая алгебра

В математике универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли — это с единицей ассоциативная алгебра , представления которой точно соответствуют представлениям этой алгебры Ли.

Универсальные обертывающие алгебры используются в теории представлений групп Ли и алгебр Ли. Например, модули Вермы можно построить как факторы универсальной обертывающей алгебры. ^[1]Кроме того, обертывающая алгебра дает точное определение операторов Казимира . Поскольку операторы Казимира коммутируют со всеми элементами алгебры Ли, их можно использовать для классификации представлений. Точное определение также позволяет импортировать операторы Казимира в другие области математики, в частности в те, которые имеют дифференциальную алгебру . Они также играют центральную роль в некоторых последних событиях в математике. В частности, их двойник представляет собой коммутативный пример объектов, изучаемых в некоммутативной геометрии , — квантовых групп . можно показать По теореме Гельфанда–Наймарка , что этот двойственный элемент содержит алгебру C* соответствующей группы Ли. Это соотношение обобщает идею двойственности Таннаки – Крейна между компактными топологическими группами и их представлениями.

С аналитической точки зрения универсальную обертывающую алгебру алгебры Ли группы Ли можно отождествить с алгеброй левоинвариантных дифференциальных операторов на группе.

Неформальное строительство [ править ]

Идея универсальной обертывающей алгебры состоит во вложении алгебры Ли. ${\mathfrak {g}}$ в ассоциативную алгебру ${\mathcal {A}}$ с тождеством таким образом, что операция абстрактной скобки в ${\mathfrak {g}}$ соответствует коммутатору $xy-yx$ в ${\mathcal {A}}$ и алгебра ${\mathcal {A}}$ создается элементами ${\mathfrak {g}}$ . Способов сделать такое вложение может быть много, но есть единственный «самый большой» такой: ${\mathcal {A}}$ , называемая универсальной обертывающей алгеброй ${\mathfrak {g}}$ .

Генераторы и отношения [ править ]

Позволять ${\mathfrak {g}}$ — алгебра Ли, считающаяся для простоты конечномерной, с базисом $X_{1},\ldots X_{n}$ . Позволять $c_{ijk}$ — структурные константы этого базиса, так что

[X_{i},X_{j}]=\sum _{k=1}^{n}c_{ijk}X_{k}.

Тогда универсальная обертывающая алгебра — это ассоциативная алгебра (с единицей), порожденная элементами $x_{1},\ldots x_{n}$ в зависимости от отношений

x_{i}x_{j}-x_{j}x_{i}=\sum _{k=1}^{n}c_{ijk}x_{k}

и никаких других отношений . Ниже мы уточним эту конструкцию «генераторов и отношений», построив универсальную обертывающую алгебру как фактор тензорной алгебры по ${\mathfrak {g}}$ .

Рассмотрим, например, алгебру Ли sl(2,C) , натянутую на матрицы

X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\qquad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\qquad H={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}~,

которые удовлетворяют коммутационным соотношениям $[H,X]=2X$ , $[H,Y]=-2Y$ , и $[X,Y]=H$ . Тогда универсальная обертывающая алгебра sl(2,C) — это алгебра, порожденная тремя элементами $x,y,h$ в зависимости от отношений

hx-xh=2x,\quad hy-yh=-2y,\quad xy-yx=h,

и никаких других отношений. Подчеркнем, что универсальная обертывающая алгебра не совпадает с алгеброй $2\times 2$ матрицы. Например, $2\times 2$ матрица $X$ удовлетворяет $X^{2}=0$ , что легко проверить. Но в универсальной обертывающей алгебре элемент $x$ не удовлетворяет $x^{2}=0$ — поскольку мы не навязываем это соотношение при построении обертывающей алгебры. ) следует, Действительно, из теоремы Пуанкаре–Биркгофа–Витта (обсуждаемой в § ниже что элементы $1,x,x^{2},x^{3},\ldots$ все линейно независимы в универсальной обертывающей алгебре.

В поисках основы [ править ]

В общем случае элементы универсальной обертывающей алгебры представляют собой линейные комбинации произведений образующих всех возможных порядков. Используя определяющие соотношения универсальной обертывающей алгебры, мы всегда можем переупорядочить эти произведения в определенном порядке, скажем, со всеми факторами $x_{1}$ сначала, затем факторы $x_{2}$ и т. д. Например, всякий раз, когда у нас есть термин, который содержит $x_{2}x_{1}$ (в «неправильном» порядке), мы можем использовать отношения, чтобы переписать это как $x_{1}x_{2}$ плюс линейная комбинация $x_{j}$ х. Повторное выполнение подобных действий в конечном итоге преобразует любой элемент в линейную комбинацию терминов в порядке возрастания. Таким образом, элементы формы

x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{n}^{k_{n}}

с $k_{j}$ являются неотрицательными целыми числами и охватывают обертывающую алгебру. (Мы разрешаем $k_{j}=0$ , что означает, что мы допускаем термины, в которых нет факторов $x_{j}$ Теорема Пуанкаре –Биркгофа–Витта , обсуждаемая ниже, утверждает, что эти элементы линейно независимы и, таким образом, образуют основу универсальной обертывающей алгебры. В частности, универсальная обертывающая алгебра всегда бесконечномерна.

Из теоремы Пуанкаре–Биркгофа–Витта следует, в частности, что элементы $x_{1},\ldots ,x_{n}$ сами по себе линейно независимы. Поэтому общепринято (хотя и потенциально сбивает с толку) идентифицировать $x_{j}$ с генераторами $X_{j}$ исходной алгебры Ли. Другими словами, мы идентифицируем исходную алгебру Ли как подпространство ее универсальной обертывающей алгебры, натянутое на образующие. Хотя ${\mathfrak {g}}$ может быть алгеброй $n\times n$ матрицы, универсальная оболочка ${\mathfrak {g}}$ не состоит из (конечномерных) матриц. В частности, не существует конечномерной алгебры, содержащей универсальную обертку ${\mathfrak {g}}$ ; универсальная обертывающая алгебра всегда бесконечномерна. Таким образом, в случае sl(2,C), если мы идентифицируем нашу алгебру Ли как подпространство ее универсальной обертывающей алгебры, мы не должны интерпретировать $X$ , $Y$ и $H$ как $2\times 2$ матрицы, а скорее как символы без дополнительных свойств (кроме коммутационных соотношений).

Формальности [ править ]

Формальная конструкция универсальной обертывающей алгебры использует приведенные выше идеи и оборачивает их в обозначения и терминологию, что делает работу с ней более удобной. Наиболее важное отличие состоит в том, что свободная ассоциативная алгебра, использованная выше, сужена до тензорной алгебры , так что произведение символов понимается как тензорное произведение . Коммутационные отношения накладываются путем построения факторпространства тензорной алгебры, факторизованного по наименьшему двустороннему идеалу, содержащему элементы вида $x_{i}x_{j}-x_{j}x_{i}-\Sigma c_{ijk}x_{k}$ . Универсальная обертывающая алгебра — это «самая большая» ассоциативная алгебра с единицей, порожденная элементами ${\mathfrak {g}}$ со скобкой Ли, совместимой с исходной алгеброй Ли.

Формальное определение [ править ]

Напомним, что каждая алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ в частности, является векторным пространством . Таким образом, можно свободно построить тензорную алгебру $T({\mathfrak {g}})$ от него. Тензорная алгебра является свободной алгеброй : она просто содержит все возможные тензорные произведения всех возможных векторов в ${\mathfrak {g}}$ , без каких-либо ограничений на эти продукты.

То есть строится пространство

T({\mathfrak {g}})=K\,\oplus \,{\mathfrak {g}}\,\oplus \,({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})\,\oplus \,({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})\,\oplus \,\cdots

где $\otimes$ - тензорное произведение, а $\oplus$ является прямой суммой векторных пространств. Здесь $K$ — поле, над которым определена алгебра Ли. Отсюда и до конца этой статьи тензорное произведение всегда показано явно. Многие авторы опускают его, поскольку с практикой его местоположение обычно можно определить из контекста. Здесь принят очень явный подход, чтобы свести к минимуму любую возможную путаницу в значениях выражений.

Первым шагом в конструкции является «поднятие» скобки Ли из алгебры Ли (где она определена) в тензорную алгебру (где она не определена), чтобы можно было когерентно работать со скобкой Ли двух тензоров. Подъем осуществляется следующим образом. Сначала напомним, что скобочная операция на алгебре Ли представляет собой билинейное отображение ${\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ билинейный кососимметричный , и удовлетворяющий тождеству Якоби . Мы хотим определить скобку Ли [-,-], которая является отображением $T({\mathfrak {g}})\otimes T({\mathfrak {g}})\to T({\mathfrak {g}})$ оно также билинейно, кососимметрично и подчиняется тождеству Якоби.

Подъем можно производить поэтапно. Начните с определения скобки на ${\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ как

a\otimes b-b\otimes a=[a,b]

Это последовательное и связное определение, поскольку обе стороны билинейны и обе стороны кососимметричны (тождество Якоби вскоре последует). Вышеупомянутое определяет скобку на $T^{2}({\mathfrak {g}})={\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}$ ; теперь его необходимо поднять до $T^{n}({\mathfrak {g}})$ для произвольного $n.$ Это делается рекурсивно, определяя

[a\otimes b,c]=a\otimes [b,c]+[a,c]\otimes b

и аналогично

[a,b\otimes c]=[a,b]\otimes c+b\otimes [a,c]

Несложно проверить, что приведенное выше определение билинейно и кососимметрично; можно также показать, что оно подчиняется тождеству Якоби. Конечный результат состоит в том, что мы имеем скобку Ли, которая последовательно определена на всех $T({\mathfrak {g}});$ говорят, что его «подняли» на все $T({\mathfrak {g}})$ в общепринятом смысле «подъема» от базового пространства (здесь алгебры Ли) к накрывающему пространству (здесь тензорной алгебре).

Результатом этого поднятия явным образом является алгебра Пуассона . Это ассоциативная алгебра с единицей со скобкой Ли, совместимой со скобкой алгебры Ли; он совместим по конструкции. Однако это не самая маленькая подобная алгебра; он содержит гораздо больше элементов, чем необходимо. Можно получить что-то меньшее, проецируя обратно вниз. Универсальная обертывающая алгебра $U({\mathfrak {g}})$ из ${\mathfrak {g}}$ определяется как фактор-пространство

U({\mathfrak {g}})=T({\mathfrak {g}})/\sim

где отношение эквивалентности $\sim$ дан кем-то

a\otimes b-b\otimes a=[a,b]

То есть скобка Ли определяет отношение эквивалентности, используемое для факторизации. В результате по-прежнему получается ассоциативная алгебра с единицей, и можно по-прежнему брать скобку Ли из любых двух членов. Вычислить результат несложно, если учесть, что каждый элемент $U({\mathfrak {g}})$ можно понимать как смежный класс : просто берется скобка, как обычно, и ищется смежный класс, содержащий результат. Это самая маленькая такая алгебра; невозможно найти что-то меньшее, что все еще подчинялось бы аксиомам ассоциативной алгебры.

Универсальная обертывающая алгебра — это то, что осталось от тензорной алгебры после изменения структуры алгебры Пуассона . (Это нетривиальное утверждение; тензорная алгебра имеет довольно сложное строение: она, кроме всего прочего, алгебра Хопфа ; алгебра Пуассона также довольно сложна, со многими своеобразными свойствами. Она совместима с тензорной алгеброй поэтому модификация может быть выполнена. Структура алгебры Хопфа сохраняется; именно это приводит к ее многочисленным новым применениям, например, в теории струн . Однако для целей формального определения все это не имеет особого значения.)

Построение можно выполнить несколько иным (но в конечном итоге эквивалентным) способом. Забудьте на мгновение о вышеописанном подъеме и вместо этого рассмотрите двусторонний идеал, $который я$ создал с помощью элементов формы

a\otimes b-b\otimes a-[a,b]

Этот генератор является элементом

{\mathfrak {g}}\oplus ({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})\subset T({\mathfrak {g}})

Общий член идеала $я$ буду иметь вид

c\otimes d\otimes \cdots \otimes (a\otimes b-b\otimes a-[a,b])\otimes f\otimes g\cdots

для некоторых $a,b,c,d,f,g\in {\mathfrak {g}}.$ Все элементы $I$ получаются как линейные комбинации элементов этого вида. Четко, $I\subset T({\mathfrak {g}})$ является подпространством. Это идеал, потому что если $j\in I$ и $x\in T({\mathfrak {g}}),$ затем $j\otimes x\in I$ и $x\otimes j\in I.$ Установление того, что это идеал, важно, потому что идеалы — это именно те вещи, с которыми можно сопоставить; идеалы лежат в ядре факторизационного отображения. То есть имеется короткая точная последовательность

0\to I\to T({\mathfrak {g}})\to T({\mathfrak {g}})/I\to 0

где каждая стрелка представляет собой линейную карту, а ядро этой карты задается изображением предыдущей карты. Тогда универсальную обертывающую алгебру можно определить как ^[2]

U({\mathfrak {g}})=T({\mathfrak {g}})/I

и другие обобщения Супералгебры

Приведенная выше конструкция фокусируется на алгебрах Ли и скобках Ли, а также их асимметрии и антисимметрии. В некоторой степени эти свойства являются второстепенными для конструкции. Вместо этого рассмотрим некоторую (произвольную) алгебру (не алгебру Ли) над векторным пространством, то есть векторным пространством. $V$ наделенный способностью умножения $m:V\times V\to V$ который принимает элементы $a\times b\mapsto m(a,b).$ Если умножение билинейное, то можно провести ту же конструкцию и определения. Начинают с поднятия $m$ вплоть до $T(V)$ так что поднял $m$ подчиняется всем тем же свойствам, что и основа $m$ делает – симметрия или антисимметрия или что-то еще. Подъем производится точно так же, как и раньше, начиная с

{\begin{aligned}m:V\otimes V&\to V\\a\otimes b&\mapsto m(a,b)\end{aligned}}

Это непротиворечиво именно потому, что тензорное произведение билинейно, а умножение билинейно. Остальная часть подъема выполняется так, чтобы сохранить умножение как гомоморфизм . По определению пишут

m(a\otimes b,c)=a\otimes m(b,c)+m(a,c)\otimes b

а также это

m(a,b\otimes c)=m(a,b)\otimes c+b\otimes m(a,c)

Это расширение непротиворечиво при обращении к лемме о свободных объектах : поскольку тензорная алгебра является свободной алгеброй , любой гомоморфизм на ее порождающем наборе может быть распространен на всю алгебру. Все остальное происходит так, как описано выше: по завершении получается единичная ассоциативная алгебра; частное можно взять любым из двух способов, описанных выше.

Вышеупомянутое — именно то, как универсальная обертывающая алгебра для супералгебр Ли строится . Нужно только внимательно следить за знаком, переставляя элементы. В этом случае (анти)коммутатор супералгебры поднимается до (анти)коммутирующей скобки Пуассона.

Другая возможность — использовать в качестве накрывающей алгебры нечто иное, чем тензорная алгебра. Одна из таких возможностей — использовать внешнюю алгебру ; то есть заменить каждое вхождение тензорного произведения внешним произведением . Если базовая алгебра является алгеброй Ли, то результатом является алгебра Герстенхабера ; это внешняя алгебра соответствующей группы Ли. Как и раньше, она имеет градуировку, естественным образом вытекающую из градуировки внешней алгебры. (Алгебру Герстенхабера не следует путать с супералгеброй Пуассона ; обе вызывают антикоммутацию, но по-разному.)

Конструкция также обобщена на алгебры Мальцева : ^[3] Bol algebras ^[4] и левые альтернативные алгебры . ^{[ нужна цитата ]}

Универсальная собственность [ править ]

Универсальная обертывающая алгебра, или, скорее, универсальная обертывающая алгебра вместе с каноническим отображением $h\colon {\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})$ , обладает универсальным свойством . ^[5] Предположим, у нас есть любое отображение алгебры Ли

\varphi :{\mathfrak {g}}\to A

к ассоциативной алгебре с единицей $A$ (со скобкой Ли в $A$ , заданной коммутатором). Более явно это означает, что мы предполагаем

\varphi ([X,Y])=\varphi (X)\varphi (Y)-\varphi (Y)\varphi (X)

для всех $X,Y\in {\mathfrak {g}}$ . Тогда существует единственный с единицей гомоморфизм алгебры

{\widehat {\varphi }}\colon U({\mathfrak {g}})\to A

такой, что

\varphi ={\widehat {\varphi }}\circ h

где $h:{\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})$ это каноническая карта. (Карта $h$ получается вложением ${\mathfrak {g}}$ в свою тензорную алгебру , а затем компоновать с фактор-отображением в универсальную обертывающую алгебру. Это отображение является вложением по теореме Пуанкаре–Биркгофа–Витта.)

Другими словами, если $\varphi \colon {\mathfrak {g}}\rightarrow A$ является линейным отображением в единичную алгебру $A$ удовлетворяющий $\varphi ([X,Y])=\varphi (X)\varphi (Y)-\varphi (Y)\varphi (X)$ , затем $\varphi$ продолжается до гомоморфизма алгебры ${\widehat {\varphi }}:U({\mathfrak {g}})\to A$ . С $U({\mathfrak {g}})$ порождается элементами ${\mathfrak {g}}$ , карта ${\widehat {\varphi }}$ должно однозначно определяться требованием, чтобы

{\widehat {\varphi }}(X_{i_{1}}\cdots X_{i_{N}})=\varphi (X_{i_{1}})\cdots \varphi (X_{i_{N}}),\quad X_{i_{j}}\in {\mathfrak {g}}

.

Дело в том, что, поскольку в универсальной обертывающей алгебре нет других отношений, кроме тех, которые вытекают из коммутационных соотношений ${\mathfrak {g}}$ , карта ${\widehat {\varphi }}$ четко определен, независимо от того, как записывается данный элемент $x\in U({\mathfrak {g}})$ как линейная комбинация произведений элементов алгебры Ли.

Из универсального свойства обертывающей алгебры немедленно следует, что каждое представление ${\mathfrak {g}}$ действуя в векторном пространстве $V$ однозначно распространяется на представление $U({\mathfrak {g}})$ . (Брать $A=\mathrm {End} (V)$ .) Это наблюдение важно, поскольку оно позволяет (как обсуждается ниже) элементам Казимира воздействовать на $V$ . Эти операторы (из центра г. $U({\mathfrak {g}})$ ) действуют как скаляры и предоставляют важную информацию о представлениях. квадратичный элемент Казимира В этом отношении особое значение имеет .

Другие алгебры [ править ]

Хотя приведенную выше каноническую конструкцию можно применить и к другим алгебрам, результат, вообще говоря, не обладает универсальным свойством. Так, например, когда конструкция применяется к йордановым алгебрам , полученная обертывающая алгебра содержит специальные йордановые алгебры , но не исключительные: т. е. она не охватывает алгебры Альберта . Аналогично, приведенная ниже теорема Пуанкаре – Биркгофа – Витта создает основу для обертывающей алгебры; это просто не будет универсальным. Аналогичные замечания справедливы и для супералгебр Ли .

Теорема Пуанкаре–Биркгофа–Витта [ править ]

Теорема Пуанкаре–Биркгофа–Витта дает точное описание $U({\mathfrak {g}})$ . Это можно сделать одним из двух способов: либо с помощью явного векторного базиса алгебры Ли, либо безкоординатным способом .

Использование базовых элементов [ править ]

Один из способов — предположить, что алгебре Ли можно дать полностью упорядоченный базис, то есть это свободное векторное пространство полностью упорядоченного множества. Напомним, что свободное векторное пространство определяется как пространство всех конечных поддерживаемых функций от множества $X$ до поля $K$ (конечный поддерживаемый означает, что только конечное число значений не равно нулю); этому можно дать основу $e_{a}:X\to K$ такой, что $e_{a}(b)=\delta _{ab}$ – индикаторная функция для $a,b\in X$ . Позволять $h:{\mathfrak {g}}\to T({\mathfrak {g}})$ – инъекция в тензорную алгебру; это также используется для создания основы тензорной алгебры. Это делается подъемом: задана некоторая произвольная последовательность $e_{a}$ , определяется расширение $h$ быть

h(e_{a}\otimes e_{b}\otimes \cdots \otimes e_{c})=h(e_{a})\otimes h(e_{b})\otimes \cdots \otimes h(e_{c})

Теорема Пуанкаре – Биркгофа – Витта утверждает, что можно получить основу для $U({\mathfrak {g}})$ из вышесказанного, навязывая полный порядок $X$ в алгебре. То есть, $U({\mathfrak {g}})$ имеет основу

e_{a}\otimes e_{b}\otimes \cdots \otimes e_{c}

где $a\leq b\leq \cdots \leq c$ , причем порядок соответствует полному порядку на множестве $X$ . ^[6]Доказательство теоремы предполагает отметить, что если начать с базисных элементов, не имеющих порядка, их всегда можно поменять местами с помощью коммутатора (вместе со структурными константами ). Самая сложная часть доказательства — установить, что окончательный результат уникален и не зависит от порядка выполнения перестановок.

Этот базис легко признать базисом симметрической алгебры . То есть базовые векторные пространства $U({\mathfrak {g}})$ и симметрическая алгебра изоморфны, и теорема ПБВ показывает, что это так. Однако см. раздел об алгебре символов ниже для более точного изложения природы изоморфизма.

Возможно, полезно разделить этот процесс на два этапа. На первом этапе строится свободная алгебра Ли : это то, что получается, если модифицировать все коммутаторы, не указывая, каковы значения коммутаторов. Второй шаг заключается в применении конкретных коммутационных соотношений из ${\mathfrak {g}}.$ Первый шаг универсален и не зависит от конкретной ситуации. ${\mathfrak {g}}.$ Его также можно точно определить: базисные элементы даны словами Холла , частным случаем которых являются слова Линдона ; они явно сконструированы так, чтобы вести себя как коммутаторы.

Безкоординатный [ править ]

Можно также сформулировать теорему в бескоординатной форме, избегая использования полных порядков и базисных элементов. Это удобно, когда возникают трудности с определением базисных векторов, как это может быть в случае бесконечномерных алгебр Ли. Это также дает более естественную форму, которую легче распространить на другие виды алгебр. Это достигается путем построения фильтрации $U_{m}{\mathfrak {g}}$ пределом которой является универсальная обертывающая алгебра $U({\mathfrak {g}}).$

Во-первых, необходимы обозначения возрастающей последовательности подпространств тензорной алгебры. Позволять

T_{m}{\mathfrak {g}}=K\oplus {\mathfrak {g}}\oplus T^{2}{\mathfrak {g}}\oplus \cdots \oplus T^{m}{\mathfrak {g}}

где

T^{m}{\mathfrak {g}}=T^{\otimes m}{\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}\otimes \cdots \otimes {\mathfrak {g}}

является $m$ -кратным тензорным произведением ${\mathfrak {g}}.$ $T_{m}{\mathfrak {g}}$ формируем фильтрацию :

K\subset {\mathfrak {g}}\subset T_{2}{\mathfrak {g}}\subset \cdots \subset T_{m}{\mathfrak {g}}\subset \cdots

Точнее, это фильтрованная алгебра , поскольку фильтрация сохраняет алгебраические свойства подпространств. Заметим, что пределом этой фильтрации является тензорная алгебра $T({\mathfrak {g}}).$

Выше уже было установлено, что факторизация по идеалу есть естественное преобразование , выводящее человека из $T({\mathfrak {g}})$ к $U({\mathfrak {g}}).$ Это естественным образом работает и с подпространствами, поэтому получается фильтрация $U_{m}{\mathfrak {g}}$ пределом которой является универсальная обертывающая алгебра $U({\mathfrak {g}}).$

Далее определяем пространство

G_{m}{\mathfrak {g}}=U_{m}{\mathfrak {g}}/U_{m-1}{\mathfrak {g}}

Это пространство $U_{m}{\mathfrak {g}}$ по модулю всех подпространств $U_{n}{\mathfrak {g}}$ строго меньшей степени фильтрации. Обратите внимание, что $G_{m}{\mathfrak {g}}$ то совсем не же самое, что ведущий член $U^{m}{\mathfrak {g}}$ фильтрации, как можно было бы наивно предположить. Он не создается с помощью механизма вычитания множества, связанного с фильтрацией.

Факторирование $U_{m}{\mathfrak {g}}$ к $U_{m-1}{\mathfrak {g}}$ имеет эффект установки всех коммутаторов Ли, определенных в $U_{m}{\mathfrak {g}}$ до нуля. В этом можно убедиться, заметив, что коммутатор пары элементов, произведения которых лежат в $U_{m}{\mathfrak {g}}$ на самом деле дает элемент в $U_{m-1}{\mathfrak {g}}$ . Возможно, это не сразу очевидно: чтобы получить этот результат, нужно многократно применить коммутационные соотношения и повернуть рукоятку. Суть теоремы Пуанкаре–Биркгофа–Витта состоит в том, что это можно сделать всегда и результат единственен.

Поскольку коммутаторы элементов, произведения которых определены в $U_{m}{\mathfrak {g}}$ роды $U_{m-1}{\mathfrak {g}}$ , факторинг, который определяет $G_{m}{\mathfrak {g}}$ приводит к обнулению всех коммутаторов. PBW утверждает, что коммутатор элементов в $G_{m}{\mathfrak {g}}$ обязательно равен нулю. Остаются элементы, которые невозможно выразить как коммутаторы.

Таким образом, мы сразу же приходим к симметричной алгебре . Это алгебра, в которой все коммутаторы исчезают. Его можно определить как фильтрацию $S_{m}{\mathfrak {g}}$ симметричных тензорных произведений $\operatorname {Sym} ^{m}{\mathfrak {g}}$ . Ее пределом является симметрическая алгебра $S({\mathfrak {g}})$ . Он построен путем обращения к тому же понятию естественности, что и раньше. Начинаем с той же тензорной алгебры и просто используем другой идеал, идеал, который заставляет все элементы коммутировать:

S({\mathfrak {g}})=T({\mathfrak {g}})/(a\otimes b-b\otimes a)

Таким образом, можно рассматривать теорему Пуанкаре–Биркгофа–Витта как утверждение, что $G({\mathfrak {g}})$ изоморфна симметрической алгебре $S({\mathfrak {g}})$ , как векторное пространство , так и как коммутативная алгебра.

The $G_{m}{\mathfrak {g}}$ также образуют фильтрованную алгебру; его предел $G({\mathfrak {g}}).$ Это ассоциированная градуированная алгебра фильтрации.

Приведенная выше конструкция из-за использования факторизации подразумевает, что предел $G({\mathfrak {g}})$ изоморфен $U({\mathfrak {g}}).$ В более общих условиях, при ослабленных условиях, можно обнаружить, что $S({\mathfrak {g}})\to G({\mathfrak {g}})$ является проекцией, и тогда можно получить теоремы типа PBW для соответствующей градуированной алгебры фильтрованной алгебры . Чтобы подчеркнуть это, введено обозначение $\operatorname {gr} U({\mathfrak {g}})$ иногда используется для $G({\mathfrak {g}}),$ напоминая, что это фильтрованная алгебра.

Другие алгебры [ править ]

Теорема, примененная к йордановым алгебрам , дает внешнюю алгебру , а не симметричную алгебру. По сути, конструкция обнуляет антикоммутаторы. Полученная алгебра является обертывающей , но не универсальной. Как упоминалось выше, он не может охватить исключительные йордановые алгебры.

Левоинвариантные дифференциальные операторы [ править ]

Предполагать $G$ является вещественной группой Ли с алгеброй Ли ${\mathfrak {g}}$ . Следуя современному подходу, мы можем выделить ${\mathfrak {g}}$ с пространством левоинвариантных векторных полей (т.е. левоинвариантных дифференциальных операторов первого порядка). В частности, если мы изначально подумаем о ${\mathfrak {g}}$ как касательное пространство к $G$ в единице, то каждый вектор в ${\mathfrak {g}}$ имеет уникальное левоинвариантное расширение. Затем мы отождествляем вектор в касательном пространстве с соответствующим левоинвариантным векторным полем. Теперь коммутатор (как дифференциальные операторы) двух левоинвариантных векторных полей снова является векторным полем и снова левоинвариантным. Затем мы можем определить операцию скобки на ${\mathfrak {g}}$ как коммутатор на связанных левоинвариантных векторных полях. ^[7] Это определение согласуется с любым другим стандартным определением скобочной структуры на алгебре Ли группы Ли.

Затем мы можем рассмотреть левоинвариантные дифференциальные операторы произвольного порядка. Каждый такой оператор $A$ может быть выражено (неоднозначно) как линейная комбинация произведений левоинвариантных векторных полей. Совокупность всех левоинвариантных дифференциальных операторов на $G$ образует алгебру, обозначаемую $D(G)$ . Можно показать, что $D(G)$ изоморфна универсальной обертывающей алгебре $U({\mathfrak {g}})$ . ^[8]

В случае, если ${\mathfrak {g}}$ возникает как алгебра Ли вещественной группы Ли, можно использовать левоинвариантные дифференциальные операторы, чтобы дать аналитическое доказательство теоремы Пуанкаре–Биркгофа–Витта . В частности, алгебра $D(G)$ левоинвариантных дифференциальных операторов порождается элементами (левоинвариантными векторными полями), удовлетворяющими коммутационным соотношениям ${\mathfrak {g}}$ . Таким образом, по универсальному свойству обертывающей алгебры $D(G)$ является частным $U({\mathfrak {g}})$ . Таким образом, если базисные элементы ПБВ линейно независимы в $D(G)$ — что можно установить аналитически, — они заведомо должны быть линейно независимыми по $U({\mathfrak {g}})$ . (И в этот момент изоморфизм $D(G)$ с $U({\mathfrak {g}})$ это очевидно.)

Алгебра символов [ править ]

Базовое векторное пространство $S({\mathfrak {g}})$ может быть задана новая структура алгебры так, что $U({\mathfrak {g}})$ и $S({\mathfrak {g}})$ изоморфны как ассоциативные алгебры . Это приводит к понятию алгебры символов. $\star ({\mathfrak {g}})$ : пространство симметричных многочленов , наделенное произведением, $\star$ , что помещает алгебраическую структуру алгебры Ли в то, что в остальном является стандартной ассоциативной алгеброй. То есть то, что скрывает теорема PBW (коммутационные отношения), алгебра символов возвращает в центр внимания.

Алгебра получается взятием элементов $S({\mathfrak {g}})$ и замена каждого генератора $e_{i}$ неопределенной коммутирующей переменной $t_{i}$ чтобы получить пространство симметричных многочленов $K[t_{i}]$ над полем $K$ . Действительно, соответствие тривиально: достаточно просто подставить символ $t_{i}$ для $e_{i}$ . Полученный многочлен называется символом соответствующего элемента множества. $S({\mathfrak {g}})$ . Обратная карта

w:\star ({\mathfrak {g}})\to U({\mathfrak {g}})

который заменяет каждый символ $t_{i}$ к $e_{i}$ . Алгебраическая структура получается требованием, чтобы произведение $\star$ действуют как изоморфизм, то есть так, что

w(p\star q)=w(p)\otimes w(q)

для полиномов $p,q\in \star ({\mathfrak {g}}).$

Основная проблема этой конструкции заключается в том, что $w(p)\otimes w(q)$ не является тривиальным, по своей сути членом $U({\mathfrak {g}})$ , как написано, и что для получения элемента $U({\mathfrak {g}})$ в правильно упорядоченной основе. Можно дать явное выражение для этого произведения: это формула Березина . ^[9] По сути, это следует из формулы Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа для произведения двух элементов группы Ли.

Выражение в закрытой форме имеет вид ^[10]

p(t)\star q(t)=\left.\exp \left(t_{i}m^{i}\left({\frac {\partial }{\partial u}},{\frac {\partial }{\partial v}}\right)\right)p(u)q(v)\right\vert _{u=v=t}

где

m(A,B)=\log \left(e^{A}e^{B}\right)-A-B

и $m^{i}$ просто $m$ в выбранном базисе.

Универсальной обертывающей алгеброй алгебры Гейзенберга является алгебра Вейля (по модулю отношения, согласно которому центр является единицей); здесь, $\star$ продукт называется продуктом Мойал .

Теория представлений [ править ]

Универсальная обертывающая алгебра сохраняет теорию представлений представления : ${\mathfrak {g}}$ взаимно однозначно соответствуют модулям над $U({\mathfrak {g}})$ . Говоря более абстрактно, категория всех представлений абелева ${\mathfrak {g}}$ изоморфна абелевой категории всех левых модулей над $U({\mathfrak {g}})$ .

Теория представлений полупростых алгебр Ли основана на наблюдении, что существует изоморфизм, известный как произведение Кронекера :

U({\mathfrak {g}}_{1}\oplus {\mathfrak {g}}_{2})\cong U({\mathfrak {g}}_{1})\otimes U({\mathfrak {g}}_{2})

для алгебр Ли ${\mathfrak {g}}_{1},{\mathfrak {g}}_{2}$ . Изоморфизм следует из снятия вложения

i({\mathfrak {g}}_{1}\oplus {\mathfrak {g}}_{2})=i_{1}({\mathfrak {g}}_{1})\otimes 1\oplus 1\otimes i_{2}({\mathfrak {g}}_{2})

где

i:{\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})

— это просто каноническое вложение (с индексами соответственно для первой и второй алгебр). Несложно проверить, что это вложение выполняется, учитывая приведенное выше предписание. Однако см. обсуждение структуры биалгебры в статье о тензорных алгебрах для обзора некоторых тонкостей этого процесса: в частности, используемое там перемешиваемое произведение соответствует коэффициентам Вигнера-Рака, т. е. 6j и 9j. -символы и т.д.

Важно также то, что универсальная обертывающая алгебра свободной алгебры Ли изоморфна свободной ассоциативной алгебре .

Построение представлений обычно происходит путем построения модулей Вермы старших весов .

В типичном контексте, где ${\mathfrak {g}}$ действует путем бесконечно малых преобразований , элементы $U({\mathfrak {g}})$ действуют как дифференциальные операторы всех порядков. (См., например, реализацию универсальной обертывающей алгебры как левоинвариантных дифференциальных операторов на ассоциированной группе, как обсуждалось выше.)

Операторы Казимира [ править ]

Центр $Z(U({\mathfrak {g}}))$ из $U({\mathfrak {g}})$ можно отождествить с централизатором ${\mathfrak {g}}$ в $U({\mathfrak {g}}).$ Любой элемент $Z(U({\mathfrak {g}}))$ должен ездить со всеми $U({\mathfrak {g}}),$ и, в частности, с каноническим вложением ${\mathfrak {g}}$ в $U({\mathfrak {g}}).$ Благодаря этому центр непосредственно полезен для классификации представлений ${\mathfrak {g}}$ . Для конечномерной полупростой алгебры Ли образуют операторы Казимира выделенный базис из центра $Z(U({\mathfrak {g}}))$ . Они могут быть построены следующим образом.

Центр $Z(U({\mathfrak {g}}))$ соответствует линейным комбинациям всех элементов $z=v\otimes w\otimes \cdots \otimes u\in U({\mathfrak {g}})$ которые коммутируют со всеми элементами $x\in {\mathfrak {g}};$ то есть для чего $[z,x]={\mbox{ad}}_{x}(z)=0.$ То есть они находятся в ядре ${\mbox{ad}}_{\mathfrak {g}}.$ Таким образом, необходима технология для вычисления этого ядра. Мы имеем действие присоединенного представления на ${\mathfrak {g}};$ нам это нужно $U({\mathfrak {g}}).$ Самый простой путь — отметить, что ${\mbox{ad}}_{\mathfrak {g}}$ является деривацией и что пространство дериваций можно поднять до $T({\mathfrak {g}})$ и таким образом $U({\mathfrak {g}}).$ Это означает, что обе они являются дифференциальными алгебрами .

По определению, $\delta :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ является производным от ${\mathfrak {g}}$ если оно подчиняется закону Лейбница :

\delta ([v,w])=[\delta (v),w]+[v,\delta (w)]

(Когда ${\mathfrak {g}}$ — пространство левоинвариантных векторных полей на группе $G$ , скобка Ли — это скобка векторных полей.) Поднятие выполняется определением

{\begin{aligned}\delta (v\otimes w\otimes \cdots \otimes u)=&\,\delta (v)\otimes w\otimes \cdots \otimes u\\&+v\otimes \delta (w)\otimes \cdots \otimes u\\&+\cdots +v\otimes w\otimes \cdots \otimes \delta (u).\end{aligned}}

С ${\mbox{ad}}_{x}$ является производным от любого $x\in {\mathfrak {g}},$ вышеизложенное определяет ${\mbox{ad}}_{x}$ действующий на $T({\mathfrak {g}})$ и $U({\mathfrak {g}}).$

Из теоремы PBW ясно, что все центральные элементы представляют собой линейные комбинации симметричных однородных многочленов в базисных элементах. $e_{a}$ алгебры Ли. — Инварианты Казимира это неприводимые однородные многочлены заданной фиксированной степени. То есть, учитывая основу $e_{a}$ , оператор Казимира порядка $m$ имеет форму

C_{(m)}=\kappa ^{ab\cdots c}e_{a}\otimes e_{b}\otimes \cdots \otimes e_{c}

где есть $m$ члены в тензорном произведении и $\kappa ^{ab\cdots c}$ является вполне симметричным тензором порядка $m$ принадлежащие присоединенному представлению. То есть, $\kappa ^{ab\cdots c}$ можно (следует) рассматривать как элемент $\left(\operatorname {ad} _{\mathfrak {g}}\right)^{\otimes m}.$ Напомним, что присоединенное представление задается непосредственно структурными константами , и поэтому может быть задана явная индексированная форма приведенных выше уравнений в терминах базиса алгебры Ли; первоначально это теорема Исраэля Гельфанда . То есть из $[x,C_{(m)}]=0$ , следует, что

f_{ij}^{\;\;k}\kappa ^{jl\cdots m}+f_{ij}^{\;\;l}\kappa ^{kj\cdots m}+\cdots +f_{ij}^{\;\;m}\kappa ^{kl\cdots j}=0

где структурные константы

[e_{i},e_{j}]=f_{ij}^{\;\;k}e_{k}

Например, квадратичный оператор Казимира:

C_{(2)}=\kappa ^{ij}e_{i}\otimes e_{j}

где $\kappa ^{ij}$ — обратная матрица формы Киллинга $\kappa _{ij}.$ Что оператор Казимира $C_{(2)}$ принадлежит центру $Z(U({\mathfrak {g}}))$ следует из того, что форма Киллинга инвариантна относительно присоединенного действия.

Центр универсальной обертывающей алгебры простой алгебры Ли подробно задается изоморфизмом Хариш-Чандры .

Ранг [ править ]

Число алгебраически независимых операторов Казимира конечномерной полупростой алгебры Ли равно рангу этой алгебры, т. е. равно рангу базиса Картана–Вейля . Это можно увидеть следующим образом. для $d$ -мерного векторного пространства $V$ Напомним, что определителем является вполне антисимметричный тензор на $V^{\otimes d}$ . Учитывая матрицу $M$ можно записать характеристический полином M $,$ как

\det(tI-M)=\sum _{n=0}^{d}p_{n}t^{n}

Для $d$ -мерной алгебры Ли, т. е. алгебры, присоединенное представление которой d $-мерно$ , линейный оператор

\operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} ({\mathfrak {g}})

подразумевает, что $\operatorname {ad} _{x}$ является $d$ -мерным эндоморфизмом, поэтому имеет место характеристическое уравнение

\det(tI-\operatorname {ad} _{x})=\sum _{n=0}^{d}p_{n}(x)t^{n}

для элементов $x\in {\mathfrak {g}}.$ Ненулевые корни этого характеристического многочлена (которые являются корнями для всех $x$ ) образуют систему корней алгебры. всего $г$ В общем случае таких корней ; это ранг алгебры. Это означает, что наибольшее значение $n$ , для которого $p_{n}(x)$ не обращается в нуль — это $r .$

The $p_{n}(x)$ являются однородными многочленами степени $d - n .$ Это можно увидеть несколькими способами: Учитывая константу $k\in K$ , объявление линейно, так что $\operatorname {ad} _{kx}=k\,\operatorname {ad} _{x}.$ Подключив и набрав вышеизложенное, можно получить, что

p_{n}(kx)=k^{d-n}p_{n}(x).

По линейности, если разложить по базису,

x=\sum _{i=1}^{d}x_{i}e_{i}

тогда полином имеет вид

p_{n}(x)=x_{a}x_{b}\cdots x_{c}\kappa ^{ab\cdots c}

это $\kappa$ является тензором ранга $m=d-n$ . В силу линейности и коммутативности сложения, т. е. того, что $\operatorname {ad} _{x+y}=\operatorname {ad} _{y+x},$ , можно сделать вывод, что этот тензор должен быть полностью симметричным. Этот тензор является в точности инвариантом Казимира порядка $m .$

Центр $Z({\mathfrak {g}})$ соответствовал этим элементам $z\in Z({\mathfrak {g}})$ для которого $\operatorname {ad} _{x}(z)=0$ для всех $х;$ судя по вышеизложенному, они явно соответствуют корням характеристического уравнения. Делается вывод, что корни образуют пространство ранга $r$ и что инварианты Казимира охватывают это пространство. То есть инварианты Казимира порождают центр $Z(U({\mathfrak {g}})).$

Пример: группа ротации SO(3) [ править ]

Группа вращений SO(3) имеет ранг один и, следовательно, имеет один оператор Казимира. Он трехмерен, и поэтому оператор Казимира должен иметь порядок (3 - 1) = 2, т.е. быть квадратичным. Конечно, это алгебра Ли $A_{1}.$ В качестве элементарного упражнения можно вычислить это напрямую. Изменение обозначения на $e_{i}=L_{i},$ с $L_{i}$ принадлежащий присоединенному представителю, элементом общей алгебры является $xL_{1}+yL_{2}+zL_{3}$ и прямое вычисление дает

\det \left(xL_{1}+yL_{2}+zL_{3}-tI\right)=-t^{3}-(x^{2}+y^{2}+z^{2})t

Квадратичный член можно прочитать как $\kappa ^{ij}=\delta ^{ij}$ , и поэтому квадрат оператора углового момента для группы вращения — это оператор Казимира. То есть,

C_{(2)}=L^{2}=e_{1}\otimes e_{1}+e_{2}\otimes e_{2}+e_{3}\otimes e_{3}

и явные вычисления показывают, что

[L^{2},e_{k}]=0

после использования структурных констант

[e_{i},e_{j}]=\varepsilon _{ij}^{\;\;k}e_{k}

Пример: Псевдодифференциальные операторы [ править ]

Ключевое наблюдение во время строительства $U({\mathfrak {g}})$ выше было то, что это дифференциальная алгебра, поскольку любой вывод алгебры Ли можно поднять до $U({\mathfrak {g}})$ . Таким образом, мы приходим к кольцу псевдодифференциальных операторов , из которого можно построить инварианты Казимира.

Если алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ действует в пространстве линейных операторов, например, в теории Фредгольма , то можно построить инварианты Казимира в соответствующем пространстве операторов. Квадратичный оператор Казимира соответствует эллиптическому оператору .

Если алгебра Ли действует на дифференцируемом многообразии, то каждый оператор Казимира соответствует дифференциалу более высокого порядка на кокасательном многообразии, причем дифференциал второго порядка является наиболее распространенным и наиболее важным.

Если действие алгебры изометрично , как это было бы в случае римановых или псевдоримановых многообразий, наделенных метрикой и группами симметрии SO(N) и SO (P, Q) соответственно, то можно сжать верхнюю и нижнюю индексы (с метрическим тензором) для получения более интересных структур. Для квадратичного инварианта Казимира это лапласиан . Операторы Казимира четвертой степени позволяют возвести в квадрат тензор энергии-напряжения , что приводит к действию Янга-Миллса . Теорема Коулмана -Мандулы ограничивает форму, которую они могут принимать, если рассматривать обычные алгебры Ли. Однако супералгебры Ли способны обходить положения теоремы Коулмана-Мандулы и могут использоваться для смешивания пространства и внутренних симметрий.

Примеры в частных случаях [ править ]

Если ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{2}$ , то он имеет базис из матриц

$h={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},{\text{ }}g={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},{\text{ }}f={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}$

которые удовлетворяют следующим тождествам под стандартной скобкой:

$[h,g]=-2g$ , $[h,f]=2f$ , и $[g,f]=-h$

это показывает нам, что универсальная обертывающая алгебра имеет представление

$U({\mathfrak {sl}}_{2})={\frac {\mathbb {C} \langle x,y,z\rangle }{(xy-yx+2y,xz-zx-2z,yz-zy+x)}}$

как некоммутативное кольцо.

Если ${\mathfrak {g}}$ абелева ( т. е. скобка всегда равна $0$ ), то $U({\mathfrak {g}})$ коммутативен; и если базис векторного пространства ${\mathfrak {g}}$ был выбран, то $U({\mathfrak {g}})$ можно отождествить с алгеброй полиномов над $K$ с одной переменной на каждый базисный элемент.

Если ${\mathfrak {g}}$ — алгебра Ли, соответствующая группе Ли $G$ , то $U({\mathfrak {g}})$ можно отождествить с алгеброй левоинвариантных дифференциальных операторов (всех порядков) на $G$ ; с ${\mathfrak {g}}$ лежащие внутри него как левоинвариантные векторные поля как дифференциальные операторы первого порядка.

Чтобы связать два вышеупомянутых случая: если ${\mathfrak {g}}$ — векторное пространство $V$ как абелева алгебра Ли, левоинвариантные дифференциальные операторы — это операторы с постоянными коэффициентами, которые действительно являются полиномиальной алгеброй от частных производных первого порядка.

Центр $Z({\mathfrak {g}})$ состоит из лево- и правоинвариантных дифференциальных операторов; это, в случае $некоммутативности G$ , часто не порождается операторами первого порядка (см., например, оператор Казимира полупростой алгебры Ли).

Другая характеристика в теории групп Ли имеет $U({\mathfrak {g}})$ как свертки алгебра распределений, поддерживаемая только единичным элементом $e$ группы $G$ .

Алгебру дифференциальных операторов от $п$ переменных с полиномиальными коэффициентами можно получить, исходя из алгебры Ли группы Гейзенберга . См алгебру Вейля . об этом ; нужно взять частное, чтобы центральные элементы алгебры Ли действовали как предписанные скаляры.

Универсальная обертывающая алгебра конечномерной алгебры Ли является фильтрованной квадратичной алгеброй .

Алгебры Хопфа группы квантовые и

Построение групповой алгебры данной группы во многом аналогично построению универсальной обертывающей алгебры данной алгебры Ли. Обе конструкции универсальны и переводят теорию представлений в теорию модулей. Более того, как групповые алгебры, так и универсальные обертывающие алгебры имеют естественные коумножения , которые превращают их в алгебры Хопфа . Это уточняется в статье о тензорной алгебре : тензорная алгебра имеет структуру алгебры Хопфа, и поскольку скобка Ли согласуется с этой структурой Хопфа (подчиняется условиям согласованности), она наследуется универсальной обертывающей алгеброй. .

Учитывая группу Ли $G$ , можно построить векторное пространство $C(G)$ непрерывных комплекснозначных функций на $G$ и превратить его в C*-алгебру . Эта алгебра имеет естественную структуру алгебры Хопфа: для двух функций $\varphi ,\psi \in C(G)$ , умножение определяется как

(\nabla (\varphi ,\psi ))(x)=\varphi (x)\psi (x)

и коумножение как

(\Delta (\varphi ))(x\otimes y)=\varphi (xy),

единица как

\varepsilon (\varphi )=\varphi (e)

и антипод как

(S(\varphi ))(x)=\varphi (x^{-1}).

Теперь теорема Гельфанда–Наймарка по существу утверждает, что каждая коммутативная алгебра Хопфа изоморфна алгебре Хопфа непрерывных функций на некоторой компактной топологической группе $G$ - теория компактных топологических групп и теория коммутативных алгебр Хопфа совпадают. Для групп Ли это означает, что $C(G)$ изоморфно двойственна $U({\mathfrak {g}})$ ; точнее, оно изоморфно подпространству двойственного пространства $U^{*}({\mathfrak {g}}).$

Затем эти идеи можно распространить на некоммутативный случай. Начинаем с определения квазитреугольных алгебр Хопфа , а затем выполняем так называемую квантовую деформацию, чтобы получить квантовую универсальную обертывающую алгебру или квантовую группу , для краткости, .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Зал 2015 г., раздел 9.5.
^ Зал 2015 г., раздел 9.3.
^ Перес-Искьердо, Ж.М.; Шестаков, ИП (2004). «Конверт для алгебр Мальцева». Журнал алгебры . 272 : 379–393. дои : 10.1016/s0021-8693(03)00389-2 . hdl : 10338.dmlcz/140108 .
^ Перес-Левый, Дж. М. (2005). «Конверт для алгебр Болла » Журнал алгебры 284 (2): 480–493. дои : 10.1016/j.algebra.2004.09.038 .
^ Холл, 2015 г., Теорема 9.7.
^ Холл, 2015 г., Теорема 9.10.
^ Например, Хелгасон, 2001, Глава II, Раздел 1.
^ Helgason 2001 Глава II, Предложение 1.9
^ Березин, Ф.А. (1967). «Некоторые замечания о ассоциированной оболочке алгебры Ли». Функц. Анальный. Приложение . 1 (2): 91. дои : 10.1007/bf01076082 . S2CID 122356554 .
^ Ксавье Бекарт, « Универсальные обертывающие алгебры и некоторые приложения в физике » (2005) Лекция, Летняя школа Модаве по математической физике .

Диксмье, Жак (1996) [1974], Обертывающие алгебры , Аспирантура по математике , том. 11, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-0560-2 , МР 0498740
Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN 978-3319134666
Хельгасон, Сигурдур (2001), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства , Аспирантура по математике, том. 34, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , номер документа : 10.1090/gsm/034 , ISBN. 978-0-8218-2848-9 , МР 1834454 , S2CID 120016227
Муссон, Ян М. (2012), Супералгебры Ли и обертывающие алгебры , Аспирантура по математике, том. 131, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-6867-6 , Збл 1255.17001
Шломо Штернберг (2004), Алгебры Ли , Гарвардский университет.
Универсальная обертывающая алгебра в n Lab

[1] Зал 2015 г., раздел 9.5.

[2] Зал 2015 г., раздел 9.3.

[3] Перес-Искьердо, Ж.М.; Шестаков, ИП (2004). «Конверт для алгебр Мальцева». Журнал алгебры . 272 : 379–393. дои : 10.1016/s0021-8693(03)00389-2 . hdl : 10338.dmlcz/140108 .

[4] Перес-Левый, Дж. М. (2005). «Конверт для алгебр Болла » Журнал алгебры 284 (2): 480–493. дои : 10.1016/j.algebra.2004.09.038 .

[5] Холл, 2015 г., Теорема 9.7.

[6] Холл, 2015 г., Теорема 9.10.

[7] Например, Хелгасон, 2001, Глава II, Раздел 1.

[8] Helgason 2001 Глава II, Предложение 1.9

[9] Березин, Ф.А. (1967). «Некоторые замечания о ассоциированной оболочке алгебры Ли». Функц. Анальный. Приложение . 1 (2): 91. дои : 10.1007/bf01076082 . S2CID 122356554 .

[10] Ксавье Бекарт, « Универсальные обертывающие алгебры и некоторые приложения в физике » (2005) Лекция, Летняя школа Модаве по математической физике .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]