алгебра Вейля

Позволять $(R,\Delta )$ кольцо частных дифференциальных с коммутирующими производными $\Delta =\lbrace \partial _{1},\ldots ,\partial _{m}\rbrace$ . Алгебра Вейля, связанная с $(R,\Delta )$ – некоммутативное кольцо $R[\partial _{1},\ldots ,\partial _{m}]$ удовлетворение отношений $\partial _{i}r=r+\partial _{i}(r)$ для всех $r\in R$ .

В данной статье рассматривается особый случай, когда $R=F[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ и $\Delta =\lbrace \partial _{x_{1}},\ldots ,\partial _{x_{n}}\rbrace$ где $F$ — это поле, которое в некоторых источниках называется «алгеброй Вейля».

В абстрактной алгебре алгебра Вейля — это кольцо дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами (от одной переменной), а именно выражений вида

f_{m}(X)\partial _{X}^{m}+f_{m-1}(X)\partial _{X}^{m-1}+\cdots +f_{1}(X)\partial _{X}+f_{0}(X).

Точнее, пусть F — основное поле , и пусть F [ X ] — кольцо полиномов от одной переменной X с коэффициентами F. из Тогда каждый f _i лежит в F [ X ], ∂ _X — производная по X порождается X и ∂ _X. , а алгебра

Алгебра Вейля является примером простого кольца , которое не является матричным кольцом над телом . Это также некоммутативный пример домена и пример расширения Оре .

Алгебра Вейля изоморфна фактору свободной алгебры по двум образующим X и Y по идеалу , порожденному элементом

YX-XY=1~.

Алгебра Вейля — первая в бесконечном семействе алгебр, также известном как алгебры Вейля. -я алгебра n Вейля An — _n кольцо дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами от переменных . Он порождается X _i и ∂ _{X _i} , i = 1, ..., n .

Алгебры Вейля названы в честь Германа Вейля , который ввел их для изучения Гейзенберга принципа неопределенности в квантовой механике . Это фактор универсальной обертывающей алгебры , алгебры Гейзенберга алгебры Ли , группы Гейзенберга путем установки центрального элемента алгебры Гейзенберга (а именно [ X , Y ]), равного единице универсальной обертывающей алгебры (называемой 1 выше).

Алгебру Вейля также называют симплектической алгеброй Клиффорда . ^[1]^[2]^[3] Алгебры Вейля представляют для симплектических билинейных форм ту же структуру, которую алгебры Клиффорда представляют для невырожденных симметричных билинейных форм. ^[1]

Генераторы и отношения [ править ]

Можно дать абстрактную конструкцию алгебр Ап _в терминах образующих и отношений. Начните с абстрактного векторного пространства V (размерности 2 n ), снабженного симплектической формой ω . Определим алгебру Вейля W ( V ) как

W(V):=T(V)/(\!(v\otimes u-u\otimes v-\omega (v,u),{\text{ for }}v,u\in V)\!),

где T ( V ) — тензорная алгебра на V , а обозначение $(\!()\!)$ означает « идеал, порожденный».

Другими словами, W ( V ) — это алгебра, порожденная V , подчиняющаяся только отношению $vu - uv = ω (v, u)$ . Тогда W ( V ) изоморфно An _{благодаря} выбору базиса Дарбу для $ω$ .

Квантование [ править ]

Алгебра W ( V ) является квантованием симметрической алгебры Sym( V ). Если V находится над полем нулевой характеристики, то W ( V ) естественным образом изоморфно базовому векторному пространству симметричной алгебры Sym( V ), оснащенному деформированным произведением, называемым произведением Грюневолда – Мойала (считая симметричную алгебру полиномиальные функции на V ^∗, где переменные охватывают векторное пространство V , и заменяя iħ в формуле произведения Мойала на 1).

Изоморфизм задается отображением симметризации Sym( V ) в W ( V )

a_{1}\cdots a_{n}\mapsto {\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}a_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes a_{\sigma (n)}~.

Если кто-то предпочитает иметь iħ и работать с комплексными числами, вместо этого можно было бы определить приведенную выше алгебру Вейля как порожденную X _i и iħ∂ _{X _i} (согласно использованию квантовой механики ).

Таким образом, алгебра Вейля представляет собой квантование симметрической алгебры, которое по существу совпадает с квантованием Мойала (если для последнего ограничивается полиномиальными функциями), но первое осуществляется в терминах генераторов и соотношений (считающихся дифференциальными операторами ), а последнее — в терминах деформированного умножения.

В случае внешних алгебр аналогом квантования Вейля является алгебра Клиффорда , которую также называют ортогональной алгеброй Клиффорда . ^[2]^[4]

Свойства алгебры Вейля [ править ]

В случае, когда основное поле $F$ имеет нулевую характеристику, n -я алгебра Вейля представляет собой простую нётерову область . Оно имеет глобальную размерность n , в отличие от деформируемого им кольца Sym( V ), которое имеет глобальную размерность 2 n .

Он не имеет конечномерных представлений. Хотя это следует из простоты, это можно показать более непосредственно, взяв след σ ( X ) и σ ( Y ) для некоторого конечномерного представления σ (где [ X , Y ] = 1 ).

\mathrm {tr} ([\sigma (X),\sigma (Y)])=\mathrm {tr} (1)~.

Поскольку след коммутатора равен нулю, а след единицы является размерностью представления, представление должно быть нульмерным.

На самом деле существуют более сильные утверждения, чем отсутствие конечномерных представлений. Любому конечно порожденному M _{соответствует} An -модулю подмногообразие Char( M ) из V × V ^∗ называется «характерным сортом» ^{[ нужны разъяснения ]} размер которого примерно соответствует размеру ^{[ нужны разъяснения ]}M . (конечномерный модуль будет иметь нульмерное характеристическое многообразие) Тогда неравенство Бернштейна утверждает, что для M ненулевого

\dim(\operatorname {char} (M))\geq n

Еще более сильным утверждением является теорема Габбера , которая утверждает, что Char( M ) является коизотропным подмногообразием V × V. ^∗ для естественной симплектической формы.

Положительная характеристика [ править ]

Ситуация существенно иная в случае алгебры Вейля над полем характеристики p > 0 .

В этом случае для любого элемента D алгебры Вейля элемент D ^пцентральна, поэтому алгебра Вейля имеет очень большой центр. Фактически это конечно порожденный модуль над своим центром; более того, это алгебра Адзумая над своим центром. Как следствие, существует множество конечномерных представлений, которые построены из простых представлений размерности p .

Постоянный центр [ править ]

Центром алгебры Вейля является поле констант. Для любого элемента $h=f_{m}(X)\partial _{X}^{m}+f_{m-1}(X)\partial _{X}^{m-1}+\cdots +f_{1}(X)\partial _{X}+f_{0}(X)$ в центре, $h\partial _{X}=\partial _{X}h$ подразумевает $f_{i}'=0$ для всех $i$ и $hX=Xh$ подразумевает $f_{i}=0$ для $i>0$ . Таким образом $h=f_{0}$ является константой.

Обобщения [ править ]

Более подробную информацию об этом квантовании в случае n = 1 (и расширении с помощью преобразования Фурье до класса интегрируемых функций, больших, чем полиномиальные функции), см. в разделе Преобразование Вигнера – Вейля .

Алгебры Вейля и алгебры Клиффорда допускают дополнительную структуру * -алгебры и могут быть объединены как четные и нечетные члены супералгебры , как обсуждалось в алгебрах CCR и CAR .

Аффинные сорта [ править ]

Алгебры Вейля также обобщаются на случай алгебраических многообразий. Рассмотрим кольцо полиномов

R={\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{I}}.

Тогда дифференциальный оператор определяется как композиция $\mathbb {C}$ -линейные выводы $R$ . Это можно явно описать как факторкольцо

{\text{Diff}}(R)={\frac {\{D\in A_{n}\colon D(I)\subseteq I\}}{I\cdot A_{n}}}.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

де Траубенберг, М. Рауш; Слупинский, MJ; Танаса, А. (2006). «Конечномерные подалгебры Ли алгебры Вейля». Дж. Теория лжи . 16 : 427–454. arXiv : math/0504224 . (Классифицирует подалгебры одномерной алгебры Вейля над комплексными числами; показывает связь с SL(2,C) )
Цит Юэнь Лам (2001). Первый курс некоммутативных колец . Тексты для выпускников по математике Том. 131 (2-е изд.). Спрингер. п. 6. ISBN 978-0-387-95325-0 .
Коутиньо, СК (1997). «Множество аватаров простой алгебры» . Американский математический ежемесячник . 104 (7): 593–604. дои : 10.1080/00029890.1997.11990687 .
Трэвес, Уилл (2010). «Дифференциальные операции над многообразиями Грассмана». В Кэмпбелле, Х.; Хельминк, А.; Крафт, Х.; Велау, Д. (ред.). Симметрия и пространства . Прогресс в математике. Том. 278. Биркхойзе. стр. 197–207. дои : 10.1007/978-0-8176-4875-6_10 . ISBN 978-0-8176-4875-6 .

^ Перейти обратно: ^а ^б Хельмстеттер, Жак; Микали, Артибано (2008). «Введение: алгебры Вейля» . Квадратичные отображения и алгебры Клиффорда . Биркхойзер. п. xii. ISBN 978-3-7643-8605-4 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Абламович, Рафал (2004). «Предисловие» . Алгебры Клиффорда: приложения к математике, физике и технике . Прогресс математической физики. Биркхойзер. стр. xvi. ISBN 0-8176-3525-4 .
^ Озиевич, З.; Ситарчик, Ч. (1989). «Параллельное рассмотрение римановых и симплектических алгебр Клиффорда» . В Микали, А.; Буде, Р.; Хельмстеттер, Дж. (ред.). Алгебры Клиффорда и их приложения в математической физике . Клювер. стр. 83–96 см. стр. 92. ISBN 0-7923-1623-1 .
^ Озиевич и Ситарчик 1989 , стр. 83.

[helmstetter-2008-p12-1] Перейти обратно: ^а ^б Хельмстеттер, Жак; Микали, Артибано (2008). «Введение: алгебры Вейля» . Квадратичные отображения и алгебры Клиффорда . Биркхойзер. п. xii. ISBN 978-3-7643-8605-4 .

[ablamowicz-Pxvi-2] Перейти обратно: ^а ^б Абламович, Рафал (2004). «Предисловие» . Алгебры Клиффорда: приложения к математике, физике и технике . Прогресс математической физики. Биркхойзер. стр. xvi. ISBN 0-8176-3525-4 .

[3] Озиевич, З.; Ситарчик, Ч. (1989). «Параллельное рассмотрение римановых и симплектических алгебр Клиффорда» . В Микали, А.; Буде, Р.; Хельмстеттер, Дж. (ред.). Алгебры Клиффорда и их приложения в математической физике . Клювер. стр. 83–96 см. стр. 92. ISBN 0-7923-1623-1 .

[4] Озиевич и Ситарчик 1989 , стр. 83.

[1]

[2]

[3]

[4]