алгебра Вейля

Позволять $(R,\Delta )$ кольцо частных дифференциальных с коммутирующими производными $\Delta =\lbrace \partial _{1},\ldots ,\partial _{m}\rbrace$. Алгебра Вейля, связанная с $(R,\Delta )$ – некоммутативное кольцо $R[\partial _{1},\ldots ,\partial _{m}]$ удовлетворение отношений $\partial _{i}r=r+\partial _{i}(r)$ для всех $r\in R$.

В данной статье рассматривается особый случай, когда $R=F[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ и $\Delta =\lbrace \partial _{x_{1}},\ldots ,\partial _{x_{n}}\rbrace$ где $F$ — это поле, которое в некоторых источниках называется «алгеброй Вейля».

В абстрактной алгебре алгебра Вейля — это кольцо дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами (от одной переменной), а именно выражений вида

$f_{m}(X)\partial _{X}^{m}+f_{m-1}(X)\partial _{X}^{m-1}+\cdots +f_{1}(X)\partial _{X}+f_{0}(X).$

Точнее, пусть F — основное поле , и пусть [ X ] — кольцо полиномов от одной переменной X с коэффициентами из F. F Тогда каждый f _i лежит в F [ X ], ∂ _X — производная по X алгебра порождается X и ∂ _X. , а

Алгебра Вейля является примером простого кольца , которое не является матричным кольцом над телом . Это также некоммутативный пример домена и пример расширения Оре .

Алгебра Вейля изоморфна фактору свободной алгебры по двум образующим X и Y по идеалу , порожденному элементом

$YX-XY=1~.$

Алгебра Вейля — первая в бесконечном семействе алгебр, также известном как алгебры Вейля. алгебра n Вейля - я An _— кольцо дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами от n переменных. Он порождается X _i и ∂ _{X i} , i = 1, ..., n .

Алгебры Вейля названы в честь Германа Вейля , который ввел их для изучения Гейзенберга принципа неопределенности в квантовой механике . Это фактор универсальной обертывающей алгебры алгебры Гейзенберга , алгебры Ли группы Гейзенберга , путем установки центрального элемента алгебры Гейзенберга (а именно [ X , Y ]), равного единице универсальной обертывающей алгебры (называемой 1 выше).

Алгебру Вейля также называют симплектической алгеброй Клиффорда . Алгебры Вейля представляют для симплектических билинейных форм ту же структуру, которую алгебры Клиффорда представляют для невырожденных симметричных билинейных форм.

Генераторы и отношения

Можно дать абстрактную конструкцию алгебр Ап _в терминах образующих и отношений. Начните с абстрактного векторного пространства V (размерности 2 n ), снабженного симплектической формой ω . Определим алгебру Вейля W ( V ) как

$W(V):=T(V)/(\!(v\otimes u-u\otimes v-\omega (v,u),{\text{ for }}v,u\in V)\!),$

где T ( V ) — тензорная алгебра на V , а обозначение $(\!()\!)$ означает « идеал , порожденный».

Другими словами, W ( V ) — это алгебра, порожденная V, подчиняющаяся только соотношению vu − uv = ω ( v , u ) . Тогда W ( V ) изоморфно An _. благодаря выбору базиса Дарбу ω для

Квантование

Алгебра W ( V ) является квантованием симметрической алгебры Sym( V ). Если V находится над полем нулевой характеристики, то W ( V ) естественным образом изоморфно базовому векторному пространству симметричной алгебры Sym( V ), оснащенному деформированным произведением, называемым произведением Грюневолда – Мойала (считая симметричную алгебру полиномиальные функции на V ^∗ , где переменные охватывают векторное пространство V , и заменяя iħ в формуле произведения Мойала на 1).

Изоморфизм задается отображением симметризации Sym( V ) в W ( V )

$a_{1}\cdots a_{n}\mapsto {\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}a_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes a_{\sigma (n)}~.$

Если кто-то предпочитает иметь iħ и работать с комплексными числами, вместо этого можно было бы определить приведенную выше алгебру Вейля как порожденную X _i и iħ∂ _{X i} (согласно использованию квантовой механики ).

Таким образом, алгебра Вейля представляет собой квантование симметрической алгебры, которое по существу совпадает с квантованием Мойала (если для последнего ограничивается полиномиальными функциями), но первое осуществляется в терминах генераторов и отношений (считающихся дифференциальными операторами ), а последнее — в терминах деформированного умножения.

В случае внешних алгебр аналогом квантования Вейля является алгебра Клиффорда , которую также называют ортогональной алгеброй Клиффорда .

Свойства алгебры Вейля

Дополнительная информация: теорема Стоуна – фон Неймана.

В случае, когда основное поле F имеет нулевую характеристику, n -я алгебра Вейля представляет собой простую нётерову область . Оно имеет глобальную размерность n , в отличие от деформируемого им кольца Sym( V ), которое имеет глобальную размерность 2 n .

Он не имеет конечномерных представлений. Хотя это следует из простоты, это можно показать более непосредственно, взяв след σ ( X ) и σ ( Y ) для некоторого конечномерного представления σ (где [ X , Y ] = 1 ).

$\mathrm {tr} ([\sigma (X),\sigma (Y)])=\mathrm {tr} (1)~.$

Поскольку след коммутатора равен нулю, а след единицы является размерностью представления, представление должно быть нульмерным.

На самом деле существуют более сильные утверждения, чем отсутствие конечномерных представлений. Любому конечно порожденному -модулю _× M соответствует подмногообразие Char( M ) из V An V ^∗ называется «характерным сортом» размер которого примерно соответствует размеру M . (конечномерный модуль будет иметь нульмерное характеристическое многообразие) Тогда неравенство Бернштейна утверждает, что для M ненулевого

$\dim(\operatorname {char} (M))\geq n$

Еще более сильным утверждением является теорема Габбера , которая утверждает, что Char( M ) является коизотропным подмногообразием V × V. ^∗ для естественной симплектической формы.

Положительная характеристика

Ситуация существенно иная в случае алгебры Вейля над полем характеристики p > 0 .

В этом случае для любого элемента D алгебры Вейля элемент D ^п центральна, поэтому алгебра Вейля имеет очень большой центр. Фактически это конечно порожденный модуль над своим центром; более того, это алгебра Адзумая над своим центром. Как следствие, существует множество конечномерных представлений, которые построены из простых представлений размерности p .

Постоянный центр

Центром алгебры Вейля является поле констант. Для любого элемента $h=f_{m}(X)\partial _{X}^{m}+f_{m-1}(X)\partial _{X}^{m-1}+\cdots +f_{1}(X)\partial _{X}+f_{0}(X)$ в центре, $h\partial _{X}=\partial _{X}h$ подразумевает $f_{i}'=0$ для всех $i$ и $hX=Xh$ подразумевает $f_{i}=0$ для $i>0$. Таким образом $h=f_{0}$ является константой.

Обобщения

Более подробную информацию об этом квантовании в случае n = 1 (и расширении с помощью преобразования Фурье до класса интегрируемых функций, больших, чем полиномиальные функции), см. в разделе Преобразование Вигнера – Вейля .

Алгебры Вейля и алгебры Клиффорда допускают дополнительную структуру *-алгебры и могут быть объединены как четные и нечетные члены супералгебры , как обсуждалось в CCR и CAR-алгебрах .

Аффинные сорта

Алгебры Вейля также обобщаются на случай алгебраических многообразий. Рассмотрим кольцо полиномов

$R={\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{I}}.$

Тогда дифференциальный оператор определяется как композиция $\mathbb {C}$-линейные выводы $R$. Это можно явно описать как факторкольцо

${\text{Diff}}(R)={\frac {\{D\in A_{n}\colon D(I)\subseteq I\}}{I\cdot A_{n}}}.$

См. также

• Якобианская гипотеза
• Гипотеза Диксмье

Ссылки

• де Траубенберг, М. Рауш; Слупинский, MJ; Танаса, А. (2006). «Конечномерные подалгебры Ли алгебры Вейля». Дж. Теория лжи . 16 : 427–454. arXiv : math/0504224 . (Классифицирует подалгебры одномерной алгебры Вейля над комплексными числами; показывает связь с SL(2,C) )
• Цит Юэнь Лам (2001). Первый курс некоммутативных колец . Тексты для аспирантов по математике . Том. 131 (2-е изд.). Спрингер. п. 6. ISBN  978-0-387-95325-0 .
• Коутиньо, СК (1997). «Множество аватаров простой алгебры» . Американский математический ежемесячник . 104 (7): 593–604. дои : 10.1080/00029890.1997.11990687 .
• Трэвес, Уилл (2010). «Дифференциальные операции над многообразиями Грассмана». В Кэмпбелле, Х.; Хельминк, А.; Крафт, Х.; Велау, Д. (ред.). Симметрия и пространства . Прогресс в математике. Том. 278. Биркхойзе. стр. 197–207. дои : 10.1007/978-0-8176-4875-6_10 . ISBN  978-0-8176-4875-6 .