Алгебра Адзумая

В математике алгебра Адзумая — это обобщение центральных простых алгебр на $R$ -алгебры, где $R$ не обязательно должно быть полем . Такое понятие было введено в статье Горо Адзумая 1951 года для случая, когда $R$ является коммутативным локальным кольцом . Это понятие получило дальнейшее развитие в теории колец и в алгебраической геометрии , где Александр Гротендик сделал его основой своей геометрической теории группы Брауэра на семинарах Бурбаки в 1964–65. Сейчас существует несколько точек доступа к основным определениям.

По рингу [ править ]

Алгебра Адзумая ^[1] ^[2] над коммутативным кольцом $R$ является $R$ -алгебра $A$ удовлетворяющее любому из следующих эквивалентных условий:

Существует $R$ -алгебра $B$ такая, что произведение тензорное $R$ -алгебры $B\otimes _{R}A$ ли Морита эквивалентен $R$ .
The $R$ -алгебра $A^{\mathrm {op} }\otimes _{R}A$ ли Морита эквивалентен $R$ , где $A^{\mathrm {op} }$ является противоположной алгеброй $A$ .
Центр $A$ является $R$ , и $A$ является отделимым .
$A$ конечно порождена , точна и проективна как $R$ -модуль и тензорное произведение $A\otimes _{R}A^{\mathrm {op} }$ изоморфен ${\text{End}}_{R}(A)$ через отправку карты $a\otimes b$ к эндоморфизму $x\mapsto axb$ из $A$ .

Примеры над полем [ править ]

Над полем $k$ Алгебры Адзумая полностью классифицируются по теореме Артина-Веддерберна, поскольку они такие же, как центральные простые алгебры . Это алгебры, изоморфные кольцу матриц $\mathrm {M} _{n}(D)$ для некоторой алгебры с делением $D$ над $k$ чей центр просто $k$ . Например, алгебры кватернионов представляют собой примеры центральных простых алгебр.

Примеры для локальных колец [ править ]

Учитывая локальное коммутативное кольцо $(R,{\mathfrak {m}})$ , $R$ -алгебра $A$ является Адзумайей тогда и только тогда, когда $A$ не имеет положительного конечного ранга как $R$ -модуль и алгебра $A\otimes _{R}(R/{\mathfrak {m}})$ является центральной простой алгеброй над $R/{\mathfrak {m}}$ , следовательно, все примеры взяты из центральных простых алгебр над $R/{\mathfrak {m}}$ .

Циклические алгебры [ править ]

Существует класс алгебр Адзумайи, называемый циклическими алгебрами, который порождает все классы подобия алгебр Адзумайи над полем. $K$ , следовательно, все элементы группы Брауэра ${\text{Br}}(K)$ (определено ниже). Учитывая конечное циклическое расширение поля Галуа $L/K$ степени $n$ , для каждого $b\in K^{*}$ и любой генератор $\sigma \in {\text{Gal}}(L/K)$ существует скрученное кольцо многочленов $L[x]_{\sigma }$ , также обозначается $A(\sigma ,b)$ , сгенерированный элементом $x$ такой, что

x^{n}=b

и имеет место следующее свойство коммутации:

l\cdot x=\sigma (x)\cdot l.

Как векторное пространство над $L$ , $L[x]_{\sigma }$ имеет основу $1,x,x^{2},\ldots ,x^{n-1}$ с умножением, заданным

x^{i}\cdot x^{j}={\begin{cases}x^{i+j}&{\text{ if }}i+j<n\\x^{i+j-n}b&{\text{ if }}i+j\geq n\\\end{cases}}

Заметим, что дадим геометрически целое многообразие ^[3] $X/K$ , существует также ассоциированная циклическая алгебра для расширения факторполя ${\text{Frac}}(X_{L})/{\text{Frac}}(X)$ .

Группа Брауэра кольца [ править ]

Над полями существует когомологическая классификация алгебр Адзумая с использованием этальных когомологий . Фактически, эту группу, называемую группой Брауэра , можно также определить как классы подобия ^[1]^: 3 алгебр Азумая над кольцом $R$ , где звенит $A,A'$ подобны, если существует изоморфизм

A\otimes _{R}M_{n}(R)\cong A'\otimes _{R}M_{m}(R)

колец для некоторых натуральных чисел $n,m$ . Тогда эта эквивалентность фактически является отношением эквивалентности, и если $A_{1}\sim A_{1}'$ , $A_{2}\sim A_{2}'$ , затем $A_{1}\otimes _{R}A_{2}\sim A_{1}'\otimes _{R}A_{2}'$ , показывая

[A_{1}]\otimes [A_{2}]=[A_{1}\otimes _{R}A_{2}]

это четко определенная операция. Это образует групповую структуру на множестве таких классов эквивалентности, называемую группой Брауэра , обозначаемую ${\text{Br}}(R)$ . Другое определение даёт периодическая подгруппа этальной группы когомологий.

{\text{Br}}_{\text{coh}}(R):={\text{H}}_{et}^{2}({\text{Spec}}(R),\mathbb {G} _{m})_{\text{tors}}

которая называется когомологической группой Брауэра . Эти два определения согласуются, когда $R$ это поле.

Группа Брауэра, когомологии использующая Галуа

Существует другое эквивалентное определение группы Брауэра с использованием когомологий Галуа . Для расширения поля $E/F$ существует когомологическая группа Брауэра, определенная как

{\text{Br}}^{\text{coh}}(E/F):=H_{\text{Gal}}^{2}({\text{Gal}}(E/F),E^{\times })

и когомологическая группа Брауэра для $F$ определяется как

{\text{Br}}^{\text{coh}}(F)={\underset {E/F}{\text{colim}}}H_{\text{Gal}}^{2}({\text{Gal}}(E/F),E^{\times })

где копредел берется по всем конечным расширениям поля Галуа.

Вычисление для локального поля [ править ]

Над локальным неархимедовым полем $F$ , такие как p -адические числа $\mathbb {Q} _{p}$ локальная теория полей классов дает изоморфизм абелевых групп: ^[4]^{стр. 193}

{\text{Br}}^{\text{coh}}(F)\cong \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .

Это связано с тем, что при данных расширениях абелевых полей $E_{2}/E_{1}/F$ существует короткая точная последовательность групп Галуа

0\to {\text{Gal}}(E_{2}/E_{1})\to {\text{Gal}}(E_{2}/F)\to {\text{Gal}}(E_{1}/F)\to 0

а из локальной теории полей классов существует следующая коммутативная диаграмма: ^[5]

{\begin{matrix}H_{\text{Gal}}^{2}({\text{Gal}}(E_{2}/F),E_{1}^{\times })&\to &H_{\text{Gal}}^{2}({\text{Gal}}(E_{1}/F),E_{1}^{\times })\\\downarrow &&\downarrow \\\left({\frac {1}{[E_{2}:E_{1}]}}\mathbb {Z} \right)/\mathbb {Z} &\to &\left({\frac {1}{[E_{1}:F]}}\mathbb {Z} \right)/\mathbb {Z} \end{matrix}}

где вертикальные карты являются изоморфизмами, а горизонтальные карты являются инъекциями.

n - кручение для поля [ править ]

Напомним, что существует последовательность Куммера ^[6]

1\to \mu _{n}\to \mathbb {G} _{m}\xrightarrow {\cdot n} \mathbb {G} _{m}\to 1

дающий длинную точную последовательность в когомологиях поля $F$ . Поскольку из теоремы Гильберта 90 следует $H^{1}(F,\mathbb {G} _{m})=0$ , существует соответствующая короткая точная последовательность

0\to H_{et}^{2}(F,\mu _{n})\to {\text{Br}}(F)\xrightarrow {\cdot n} {\text{Br}}(F)\to 0

показывая вторую этальную группу когомологий с коэффициентами в $n$ корни единства $\mu _{n}$ является

H_{et}^{2}(F,\mu _{n})={\text{Br}}(F)_{n{\text{-tors}}}.

Генераторы n -торсионных классов в группе Брауэра над полем [ править ]

Символ Галуа , или символ вычета нормы, представляет собой карту из $n$ -крутильная Милнора K-теории группа $K_{2}^{M}(F)\otimes \mathbb {Z} /n$ в этальную группу когомологий $H_{et}^{2}(F,\mu _{n}^{\otimes 2})$ , обозначенный

R_{n,F}:K_{2}^{M}(F)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \to H_{et}^{2}(F,\mu _{n}^{\otimes 2})

^[6]

Он происходит из композиции произведения чашки в этальных когомологиях с изоморфизмом по теореме Гильберта 90.

\chi _{n,F}:F^{*}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /n\to H_{\text{et}}^{1}(F,\mu _{n})

следовательно

R_{n,F}(\{a,b\})=\chi _{n,F}(a)\cup \chi _{n,F}(b)

Оказывается, эта карта учитывает $H_{\text{et}}^{2}(F,\mu _{n})={\text{Br}}(F)_{n{\text{-tors}}}$ , чей класс для $\{a,b\}$ представляется циклической алгеброй $[A(\sigma ,b)]$ . Для расширения Куммера $E/F$ где $E=F({\sqrt[{n}]{a}})$ , возьми генератор $\sigma \in {\text{Gal}}(E/F)$ циклической группы и построим $[A(\sigma ,b)]$ . Существует альтернативная, но эквивалентная конструкция с помощью когомологий Галуа и этальных когомологий. Рассмотрим короткую точную последовательность тривиальных ${\text{Gal}}({\overline {F}}/F)$ -модули

0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /n\to 0

Длинная точная последовательность дает карту

H_{\text{Gal}}^{1}(F,\mathbb {Z} /n)\xrightarrow {\delta } H_{\text{Gal}}^{2}(F,\mathbb {Z} )

За уникальный персонаж

\chi :{\text{Gal}}(E/F)\to \mathbb {Z} /n

с $\chi (\sigma )=1$ , есть уникальный лифт

{\overline {\chi }}:{\text{Gal}}({\overline {F}}/F)\to \mathbb {Z} /n

и

\delta ({\overline {\chi }})\cup (b)=[A(\sigma ,b)]\in {\text{Br}}(F)

обратите внимание на класс $(b)$ это карта из теоремы Гильберта 90 $\chi _{n,F}(b)$ . Тогда, поскольку существует примитивный корень из единицы $\zeta \in \mu _{n}\subset F$ , есть еще класс

\delta ({\overline {\chi }})\cup (b)\cup (\zeta )\in H_{\text{et}}^{2}(F,\mu _{n}^{\otimes 2})

Оказывается, это именно тот класс $R_{n,F}(\{a,b\})$ . В силу об изоморфизме норм вычетов теоремы $R_{n,F}$ является изоморфизмом и $n$ -крутильные классы в ${\text{Br}}(F)_{n{\text{-tors}}}$ порождаются циклическими алгебрами $[A(\sigma ,b)]$ .

Теорема Скулема–Нётер [ править ]

Одним из важных структурных результатов об алгебрах Азумая является теорема Скулема – Нётер : для данного локального коммутативного кольца $R$ и алгебра Адзумая $R\to A$ , единственные автоморфизмы $A$ являются внутренними. Это означает, что следующая карта сюръективна:

{\begin{cases}A^{*}\to {\text{Aut}}(A)\\a\mapsto (x\mapsto a^{-1}xa)\end{cases}}

где $A^{*}$ это группа единиц в $A.$ Это важно, поскольку имеет прямое отношение к когомологической классификации классов подобия алгебр Адзумая над схемой. В частности, это означает, что алгебра Адзумая имеет структурную группу ${\text{PGL}}_{n}$ для некоторых $n$ и когомологий чешская группа

{\check {H}}^{1}((X)_{et},{\text{PGL}}_{n})

дает когомологическую классификацию таких расслоений. Тогда это может быть связано с $H_{\text{et}}^{2}(X,\mathbb {G} _{m})$ используя точную последовательность

1\to \mathbb {G} _{m}\to {\text{GL}}_{n}\to {\text{PGL}}_{n}\to 1

Получается образ $H^{1}$ является подгруппой периодической подгруппы $H_{\text{et}}^{2}(X,\mathbb {G} _{m})_{tors}$ .

На схеме [ править ]

Алгебра Адзумая на схеме X со структурным пучком ${\mathcal {O}}_{X}$ , согласно оригинальному семинару Гротендика, представляет собой пучок ${\mathcal {A}}$ из ${\mathcal {O}}_{X}$ -алгебры, этальные, локально изоморфные пучку матричных алгебр; однако следует добавить условие, что каждый пучок матричной алгебры имеет положительный ранг. Это определение делает алгебру Адзумая на $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ в «скрученную форму» снопа $M_{n}({\mathcal {O}}_{X})$ . Вместо этого Милн в «Этальных когомологиях» начинает с определения, что это пучок. ${\mathcal {A}}$ из ${\mathcal {O}}_{X}$ -алгебры, у которых стебель ${\mathcal {A}}_{x}$ в каждой точке $x$ является алгеброй Адзумая над локальным кольцом ${\mathcal {O}}_{X,x}$ в смысле, указанном выше.

Две алгебры Адзумайи ${\mathcal {A}}_{1}$ и ${\mathcal {A}}_{2}$ эквивалентны , если существуют локально свободные пучки ${\mathcal {E}}_{1}$ и ${\mathcal {E}}_{2}$ конечного положительного ранга в каждой точке такой, что

A_{1}\otimes \mathrm {End} _{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {E}}_{1})\simeq A_{2}\otimes \mathrm {End} _{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {E}}_{2}),

^[1]^: 6

где $\mathrm {End} _{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {E}}_{i})$ является пучком эндоморфизмов ${\mathcal {E}}_{i}$ . Группа Брауэр $B(X)$ из $X$ (аналог группы Брауэра поля) — множество классов эквивалентности алгебр Адзумая. Групповая операция задается тензорным произведением, а обратная — противоположной алгеброй. Обратите внимание, что это отличается от когомологической группы Брауэра , которая определяется как $H_{\text{et}}^{2}(X,\mathbb {G} _{m})$ .

Пример по Spec( Z [1/ n ]) [ править ]

Построение алгебры кватернионов над полем можно глобализировать до ${\text{Spec}}(\mathbb {Z} [1/n])$ рассматривая некоммутативный $\mathbb {Z} [1/n]$ -алгебра

A_{a,b}={\frac {\mathbb {Z} [1/n]\langle i,j,k\rangle }{i^{2}-a,j^{2}-b,ij-k,ji+k}}

тогда, как сноп ${\mathcal {O}}_{X}$ -алгебры, ${\mathcal {A}}_{a,b}$ имеет структуру алгебры Адзумая. Причина ограничения открытым аффинным набором ${\text{Spec}}(\mathbb {Z} [1/n])\hookrightarrow {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )$ потому что алгебра кватернионов является алгеброй с делением над точками $(p)$ есть и только если символ Гильберта

(a,b)_{p}=1

что верно для всех простых чисел, кроме конечного числа.

Пример над P ^н[ редактировать ]

Над $\mathbb {P} _{k}^{n}$ Алгебры Адзумая можно построить как ${\mathcal {End}}_{k}({\mathcal {E}})\otimes _{k}A$ для алгебры Адзумая $A$ над полем $k$ . Например, пучок эндоморфизмов ${\mathcal {O}}(a)\oplus {\mathcal {O}}(b)$ это матричный пучок

{\mathcal {End}}_{k}({\mathcal {O}}(a)\oplus {\mathcal {O}}(b))={\begin{pmatrix}{\mathcal {O}}&{\mathcal {O}}(b-a)\\{\mathcal {O}}(a-b)&{\mathcal {O}}\end{pmatrix}}

поэтому алгебра Адзумайи над $\mathbb {P} _{k}^{n}$ можно построить из этого пучка, тензорированного алгеброй Адзумая $A$ над $k$ , например алгебра кватернионов.

Приложения [ править ]

алгебры Адзумайи получили значительные применения в диофантовой геометрии После работы Юрия Манина . принципу Препятствие Манина Хассе определяется с помощью группы схем Брауэра.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Милн, Джеймс С. (1980). Государственные когомологии (PDF) . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08238-3 . OCLC 5028959 . Архивировано из оригинала (PDF) 21 июня 2020 года.
^ Борсо, Фрэнсис; Витале, Энрико (2002). «Категории Адзумая» (PDF) . Прикладные категориальные структуры . 10 : 449–467.
^ означает, что это целочисленное многообразие, если оно расширено до алгебраического замыкания его основного поля.
^ Серр, Жан-Пьер. (1979). Локальные поля . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. ISBN 978-1-4757-5673-9 . OCLC 859586064 .
^ «Лекции по теории поля когомологических классов» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 22 июня 2020 года.
^ Перейти обратно: ^а ^б Шринивас, В. (1994). «8. Теорема Меркурьева-Суслина» Алгебраическая K-теория (второе изд.). Бостон, Массачусетс: Birkhouses Boston. стр. 100-1 145–193. ISBN 978-0-8176-4739-1 . OCLC 853264222 .

Группа Брауэра и алгебры Азумая

Милн, Джон. Этальные когомологии . Глава IV
Кнус, Макс-Альберт; Оянгурен, Мануэль (1974), Теория происхождения и алгебры д'Азумая , Конспект лекций по математике, том. 389, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/BFb0057799 , MR 0417149 , Zbl 0284.13002 .
Тема Mathoverflow на тему « Явные примеры алгебр Азумая »

Алгебры с делением

Кнус, Макс-Альберт (1991), Квадратичные и эрмитовы формы над кольцами , Основные учения математических наук, том. 294, Берлин и др.: Springer-Verlag , ISBN. 3-540-52117-8 , Збл 0756.11008
Солтман, Дэвид Дж. (1999). Лекции по алгебрам с делением . Серия региональных конференций по математике. Том. 94. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-0979-2 . Збл 0934.16013 .

[:0-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с Милн, Джеймс С. (1980). Государственные когомологии (PDF) . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08238-3 . OCLC 5028959 . Архивировано из оригинала (PDF) 21 июня 2020 года.

[:2-2] Борсо, Фрэнсис; Витале, Энрико (2002). «Категории Адзумая» (PDF) . Прикладные категориальные структуры . 10 : 449–467.

[3] означает, что это целочисленное многообразие, если оно расширено до алгебраического замыкания его основного поля.

[4] Серр, Жан-Пьер. (1979). Локальные поля . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. ISBN 978-1-4757-5673-9 . OCLC 859586064 .

[5] «Лекции по теории поля когомологических классов» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 22 июня 2020 года.

[:1-6] Перейти обратно: ^а ^б Шринивас, В. (1994). «8. Теорема Меркурьева-Суслина» Алгебраическая K-теория (второе изд.). Бостон, Массачусетс: Birkhouses Boston. стр. 100-1 145–193. ISBN 978-0-8176-4739-1 . OCLC 853264222 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]