Кватернионная алгебра

В математике алгебра кватернионов над полем F — это центральная простая алгебра A над F. который имеет размерность 4 над F . Каждая алгебра кватернионов становится матричной алгеброй путем расширения скаляров (эквивалентно тензоризации с расширением поля ), т. е. для подходящего расширения поля K поля F , $A\otimes _{F}K$ изоморфна над матричной алгебре размера 2 × 2 K .

Понятие алгебры кватернионов можно рассматривать как обобщение кватернионов Гамильтона на произвольное базовое поле. Кватернионы Гамильтона представляют собой алгебру кватернионов (в указанном выше смысле) над $F=\mathbb {R}$, и действительно единственный, кто старше $\mathbb {R}$ кроме вещественной матричной алгебры размера 2 × 2, с точностью до изоморфизма. Когда $F=\mathbb {C}$, то бикватернионы образуют алгебру кватернионов над F .

Структура

Алгебра кватернионов здесь означает нечто более общее, чем алгебра Гамильтона кватернионов . коэффициентов Когда поле F не имеет характеристики 2, каждую алгебру кватернионов над F можно описать как 4-мерное F - векторное пространство с базисом $\{1,i,j,k\}$, со следующими правилами умножения:

$i^{2}=a$

$j^{2}=b$

$ij=k$

$ji=-k$

где a и b — любые заданные ненулевые элементы F . Из этих правил мы получаем:

$k^{2}=ijij=-iijj=-ab$

Классические случаи, когда $F=\mathbb {R}$ являются кватернионами Гамильтона ( a = b = −1) и расщепленными кватернионами ( a = −1, b = +1). В расщепленных кватернионах $k^{2}=+1$ и $jk=-i$, отличающееся от уравнений Гамильтона.

Алгебра, определенная таким образом, обозначается ( a , b ) _F или просто ( a , b ). Когда F имеет характеристику 2, возможно и другое явное описание в терминах базиса из 4 элементов, но в любом случае определение алгебры кватернионов над F как 4-мерной центральной простой алгебры над F применимо равномерно по всем характеристикам.

Алгебра кватернионов ( a , b ) _F является либо алгеброй с делением , либо изоморфной матричной алгебре матриц 2 × 2 над F ; последний случай называется расколом . Нормативная форма

$N(t+xi+yj+zk)=t^{2}-ax^{2}-by^{2}+abz^{2}\$

определяет структуру тела алгебры тогда и только тогда, когда норма является анизотропной квадратичной формой , то есть равна нулю только на нулевом элементе. Коника ) , C ( a , b определяемая формулой

$ax^{2}+by^{2}=z^{2}\$

имеет точку ( x , y , z ) с координатами в F в случае разделения.

Приложение

Алгебры кватернионов применяются в теории чисел , особенно к квадратичным формам . порождающие элементы второго порядка в группе Брауэра группы F. Это конкретные структуры , Для некоторых полей, включая поля алгебраических чисел , каждый элемент порядка 2 в своей группе Брауэра представлен алгеброй кватернионов. Теорема Александра Меркурьева предполагает, что каждый элемент порядка 2 в группе Брауэра любого поля представлен тензорным произведением кватернионных алгебр. В частности, над p -адическими полями конструкцию алгебры кватернионов можно рассматривать как квадратичный символ Гильберта локальной теории полей классов .

Классификация

Это теорема Фробениуса о том, что существует только две вещественные алгебры кватернионов: матрицы 2 × 2 над действительными числами и вещественные кватернионы Гамильтона.

Аналогично, над любым локальным полем F существует ровно две алгебры кватернионов: матрицы 2 × 2 над F и алгебра с телом.Но алгебра кватернионов над локальным полем обычно не является кватернионами Гамильтона над этим полем. Например, над p -адическими числами кватернионы Гамильтона являются алгеброй с делением только тогда, когда p равно 2. Для нечетного простого числа p -адические кватернионы p Гамильтона изоморфны матрицам 2 × 2 над p -адическими числами. Чтобы увидеть, что p -адические кватернионы Гамильтона не являются телом для нечетного простого числа p , заметим, что сравнение x ² + и ² = −1 mod p разрешимо и, следовательно, по лемме Гензеля (здесь требуется нечетность p ) уравнение

х ² + и ² = −1

разрешима в p -адических числах. Следовательно, кватернион

хи + удж + к

имеет норму 0 и, следовательно, не имеет мультипликативного обратного .

Один из способов классифицировать F -алгебр классы изоморфизма всех алгебр кватернионов для данного поля F состоит в использовании взаимно однозначного соответствия между классами изоморфизма алгебр кватернионов над F и классами изоморфизма их норм-форм .

Каждой алгебре кватернионов A можно сопоставить квадратичную форму N (называемую нормальной формой ) на A такую, что

$N(xy)=N(x)N(y)$

для всех x и y в A . Оказывается, возможные нормальные формы для F -алгебр кватернионов — это в точности 2-формы Пфистера .

кватернионов над

Алгебры кватернионов над рациональными числами имеют арифметическую теорию, аналогичную теории квадратичных расширений кватернионов , но более сложную. $\mathbb {Q}$.

Позволять $B$ быть алгеброй кватернионов над $\mathbb {Q}$ и пусть $\nu$ быть местом ​ $\mathbb {Q}$, с завершением $\mathbb {Q} _{\nu }$ (так что это либо p -адические числа $\mathbb {Q} _{p}$ для некоторого простого p или действительных чисел $\mathbb {R}$). Определять $B_{\nu }:=\mathbb {Q} _{\nu }\otimes _{\mathbb {Q} }B$, которая является алгеброй кватернионов над $\mathbb {Q} _{\nu }$. Итак, есть два варианта $B_{\nu }$: матрицы 2 × 2 над $\mathbb {Q} _{\nu }$ или алгебра с делением .

Мы говорим, что $B$ разделен ) (или неразветвлен в $\nu$ если $B_{\nu }$ изоморфна матрицам размера 2 × 2 над $\mathbb {Q} _{\nu }$. Мы говорим, что ( или B нерасщеплен разветвлен ) в точке $\nu$ если $B_{\nu }$ — алгебра с делением кватернионов над $\mathbb {Q} _{\nu }$. Например, рациональные кватернионы Гамильтона не расщепляются в точках 2 и в точках $\infty$ и разделить на все нечетные простые числа. Рациональные матрицы 2 × 2 разбиты во всех местах.

Алгебра кватернионов над рациональными числами, которая распадается в точках $\infty$ аналогичен действительному квадратичному полю и нерасщепленному в точке $\infty$ аналогично мнимому квадратичному полю . Аналогия исходит из квадратичного поля, имеющего вещественные вложения, когда минимальный многочлен для генератора распадается по действительным числам, и имеющего невещественные вложения в противном случае. Одна из иллюстраций силы этой аналогии касается групп единиц в порядке рациональной алгебры кватернионов:оно бесконечно, если алгебра кватернионов распадается в точке $\infty$ и оно конечно в противном случае , точно так же, как единичная группа порядка в квадратичном кольце бесконечна в вещественном квадратичном случае и конечна в противном случае.

Число мест, где разветвляется алгебра кватернионов над рациональными числами, всегда четно, и это эквивалентно квадратичному закону взаимности над рациональными числами.Более того, места разветвлений B определяют B с точностью до изоморфизма как алгебру. (Другими словами, неизоморфные кватернионные алгебры над рациональными числами не имеют одного и того же набора разветвленных мест.) Произведение простых чисел, в которых B называется дискриминантом B разветвляется , .

См. также

• Композиционная алгебра
• Циклическая алгебра
• Алгебра октониона
• Порядок кватернионов Гурвица
• Кватернион Гурвица

Ссылки

• Гилле, Филипп; Самуэли, Тамаш (2006). Центральные простые алгебры и когомологии Галуа . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 101. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . дои : 10.1017/CBO9780511607219 . ISBN  0-521-86103-9 . Збл   1137.12001 .
• Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями . Аспирантура по математике . Том. 67. Американское математическое общество . ISBN  0-8218-1095-2 . МР   2104929 . Збл   1068.11023 .

Дальнейшее чтение

• Кнус, Макс-Альберт; Меркурьев, Александр ; Рост, Маркус ; Тиньоль, Жан-Пьер (1998). Книга инволюций . Публикации коллоквиума. Том. 44. С предисловием Дж. Титса. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN  0-8218-0904-0 . МР   1632779 . Збл   0955.16001 .
• Маклахлан, Колин; Рид, Алан В. (2003). Арифметика гиперболических 3-многообразий . Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4757-6720-9 . ISBN  0-387-98386-4 . МР   1937957 . См. главу 2 (Алгебры кватернионов I) и главу 7 (Алгебры кватернионов II).
• Чисхолм, Хью , изд. (1911). «Алгебра» . Британская энциклопедия (11-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ( См. раздел о кватернионах. )
• Алгебра кватернионов в математической энциклопедии .