Форма Пфистера

В математике форма Пфистера — это особый вид квадратичной формы , введенный Альбрехтом Пфистером в 1965 году. Далее квадратичные формы рассматриваются над полем F характеристики, отличной от 2. Для натурального числа n -кратная форма n Пфистера над F является квадратичной формой размерности 2 ^н которое можно записать как тензорное произведение квадратичных форм

$\langle \!\langle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\rangle \!\rangle \cong \langle 1,-a_{1}\rangle \otimes \langle 1,-a_{2}\rangle \otimes \cdots \otimes \langle 1,-a_{n}\rangle ,$

для некоторых ненулевых элементов a ₁ , ... an _из , F . (Некоторые авторы опускают знаки в этом определении; здесь обозначение упрощает отношение к K-теории Милнора , обсуждаемой ниже.) n -кратная форма Пфистера также может быть построена индуктивно из ( n −1)-кратной формы Пфистера q и ненулевой элемент a из F , как $q\oplus (-a)q$.

Таким образом, 1-кратная и 2-кратная формы Пфистера выглядят так:

$\langle \!\langle a\rangle \!\rangle \cong \langle 1,-a\rangle =x^{2}-ay^{2}$.

$\langle \!\langle a,b\rangle \!\rangle \cong \langle 1,-a,-b,ab\rangle =x^{2}-ay^{2}-bz^{2}+abw^{2}.$

При n ⩽ 3 n -кратные формы Пфистера являются нормальными формами композиционных алгебр . В этом случае две n -кратные формы Пфистера изоморфны тогда и только тогда, когда соответствующие композиционные алгебры изоморфны. В частности, это дает классификацию алгебр октонионов .

n n -кратные формы Пфистера аддитивно порождают -ю степень I ^н фундаментального идеала кольца Витта группы F .

Характеристики

Квадратичная форма q над полем F является мультипликативной , если для векторов неопределенных x и y мы можем написать q ( x ). q ( y ) = q ( z для некоторого вектора z рациональных функций от x и y над F. ) Изотропные квадратичные формы мультипликативны. Для анизотропных квадратичных форм формы Пфистера мультипликативны, и наоборот.

Для n -кратных форм Пфистера с n ≤ 3 это было известно еще с XIX века; в этом случае z можно считать билинейным по x и y в силу свойств композиционных алгебр. Пфистером было замечательное открытие: n -кратные формы Пфистера для всех n мультипликативны в более общем смысле, включающем рациональные функции. Например, он пришел к выводу, что для любого поля F и любого натурального числа n множество сумм 2 ^н квадратов в F замыкается относительно умножения, используя этоквадратичная форма $x_{1}^{2}+\cdots +x_{2^{n}}^{2}$является n -кратной формой Пфистера (а именно, $\langle \!\langle -1,\ldots ,-1\rangle \!\rangle$).

Еще одна поразительная особенность форм Пфистера состоит в том, что каждая изотропная форма Пфистера на самом деле является гиперболической, то есть изоморфной прямой сумме копий гиперболической плоскости. $\langle 1,-1\rangle$. Это свойство также характеризует формы Пфистера следующим образом: если q — анизотропная квадратичная форма над полем F , и если q становится гиперболической над каждым полем расширения E таким, что q становится изотропным над E , то q изоморфна φ для некоторого ненулевого поля. a в F и некоторая форма Пфистера φ над F .

Связь с К -теорией

Пусть k _n ( F ) — n -я Милнора K -группа 2. Существует гомоморфизм k n ₍ F по модулю ) в фактор I ^н / я ^{п +1} в кольце Витта F , заданном формулой

$\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}\mapsto \langle \!\langle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\rangle \!\rangle ,$

где образ представляет собой n -кратную пфистеровскую форму. Гомоморфизм сюръективен , поскольку формы Пфистера аддитивно порождают I ^н . Одна часть гипотезы Милнора , доказанная Орловым, Вишиком и Воеводским , утверждает, что этот гомоморфизм на самом деле является изоморфизмом k _n ( F ) ≅ I ^н / я ^{п +1} . Это дает явное описание абелевой группы I ^н / я ^{п +1} по генераторам и отношениям . Другая часть гипотезы Милнора, доказанная Воеводским, гласит, что k _n ( F ) (и, следовательно, I ^н / я ^{п +1} ) изоморфно отображается в когомологий Галуа группу H ^н ( Ф , Ф ₂ ).

Соседи Пфистера

— Сосед Пфистера это анизотропная форма σ, изоморфная подформе φ для некоторого ненулевого a в F и некоторой формы Пфистера φ с dim φ < 2 dim σ. Соответствующая форма Пфистера φ определяется с точностью до изоморфизма формой σ. Каждая анизотропная форма размерности 3 является соседом Пфистера; анизотропная форма размерности 4 является соседом Пфистера тогда и только тогда, когда ее дискриминант в F ^* /( Ф ^* ) ² тривиально. Поле F обладает тем свойством, что каждая 5-мерная анизотропная форма над F является соседом Пфистера тогда и только тогда, когда это связанное поле .

Ссылки

• Элман, Ричард ; Карпенко Никита; Меркурьев, Александр (2008), Алгебраическая и геометрическая теория квадратичных форм , Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-4329-1 , МР   2427530
• Лам, Цит-Юэнь (2005), Введение в квадратичные формы над полями , Аспирантура по математике , том. 67, Американское математическое общество, ISBN.  0-8218-1095-2 , МР   2104929 , Збл   1068.11023 , гл. 10
• Орлов Дмитрий; Вишик, Александр; Воеводский Владимир (2007), "Точная последовательность для K _* ^М /2 с приложениями к квадратичным формам», Annals of Mathematics , 165 : 1–13, arXiv : math/0101023 , doi : 10.4007/annals.2007.165.1 , MR   2276765