Группа Витта

Для групп Витта в теории алгебраических групп см. вектор Витта .

В математике группа Витта поля , , названная в честь Эрнста Витта , — это абелева группа элементы которой представлены симметричными билинейными формами над полем.

Определение

Зафиксируем поле k характеристики , не равной двум. Все векторные пространства будут считаться конечномерными . Мы говорим, что два пространства, снабженные симметричными билинейными формами , , эквивалентны если одно можно получить из другого добавлением метаболического квадратичного пространства , то есть нуля или более копий гиперболической плоскости , невырожденной двумерной симметричной билинейной формы с вектор нормы 0. Каждый класс представлен базовой формой Витта разложения .

Группа Витта k - это абелева группа W ( k ) классов эквивалентности невырожденных симметричных билинейных форм с групповой операцией, соответствующей ортогональной прямой сумме форм. Оно аддитивно порождается классами одномерных форм. Хотя классы могут содержать пространства разной размерности, четность размерности постоянна во всем классе, и поэтому rk : W ( k ) → Z /2 Z является гомоморфизмом .

Элементы конечного порядка в группе Витта имеют порядок степени 2; периодическая подгруппа является ядром функториального отображения из W ( k ) в W ( k ^пи ), где k ^пи — замыкание k ; пифагорово он порождается формами Пфистера $\langle \!\langle w\rangle \!\rangle =\langle 1,-w\rangle$ с $w$ ненулевая сумма квадратов. Если k формально не вещественно , то группа Витта является периодической с показателем степени 2. Высота . поля k является показателем кручения в группе Витта, если оно конечно, или ∞ в противном случае

Кольцевая структура

Группе Витта числа k можно придать коммутативную кольцевую структуру, используя тензорное произведение квадратичных форм для определения кольцевого произведения. Иногда его называют кольцом Витта W ( k ), хотя термин «кольцо Витта» часто используется и для совершенно другого кольца векторов Витта .

Чтобы обсудить структуру этого кольца, мы предполагаем, что k имеет характеристику, отличную от 2, так что мы можем идентифицировать симметричные билинейные и квадратичные формы.

Ядро гомоморфизма ранга mod 2 является простым идеалом I . кольца Витта назван фундаментальным идеалом . Кольцевые гомоморфизмы от W ( k ) до Z соответствуют полевым порядкам k , принимая сигнатуру в соответствии с порядком. Кольцо Витта является кольцом Джекобсона . Оно является нетеровым кольцом тогда и только тогда, когда существует конечное число квадратных классов ; то есть, если квадраты в k образуют подгруппу конечного индекса в мультипликативной группе k .

Если k формально не веществен, фундаментальный идеал является единственным простым идеалом W и состоит именно из нильпотентных элементов ; W — локальное кольцо и имеет размерность Крулля 0.

Если k действительно, то нильпотентными элементами являются в точности элементы конечного аддитивного порядка, а они, в свою очередь, являются формами, все сигнатуры которых равны нулю; W имеет размерность Крулля 1.

Если k — вещественное поле Пифагора , то делителями нуля W ; являются элементы, для которых некоторая сигнатура равна нулю в противном случае делители нуля являются именно фундаментальным идеалом.

Если k — упорядоченное поле с положительным конусом P, то закон инерции Сильвестра справедлив для квадратичных форм над k а сигнатура определяет гомоморфизм колец из W ( k ) в Z с ядром — простым идеалом K _P. , Эти простые идеалы находятся в биекции с порядками X _k из k и составляют минимальный спектр простых идеалов MinSpec W ( k ) из W ( k ). Биекция является гомеоморфизмом между MinSpec W ( k ) с топологией Зариского и множеством порядков X _k с топологией Харрисона .

-я степень n фундаментального идеала аддитивно порождается n -кратными формами Пфистера .

Примеры

• Кольцо Витта C , как и любое замкнутое или квадратично замкнутое поле , есть Z /2 Z. алгебраически
• Кольцо Витта R — это Z .
• Кольцо Витта конечного поля F _q с q нечетным есть Z /4 Z , если q ≡ 3 mod 4, и изоморфно групповому кольцу ( Z /2 Z )[ F* / F* ² ] если q ≡ 1 mod 4.
• Кольцо Витта локального поля с максимальным идеалом нормы , конгруэнтной 1 по модулю 4, изоморфно групповому кольцу ( Z /2 Z )[ V ], где V — 4-группа Клейна .
• Кольцо Витта локального поля с максимальным идеалом нормы, конгруэнтной 3 по модулю 4, есть ( / 4 Z )[ C2 _Z ], где C2 _— циклическая группа порядка 2.
• Кольцо Витта Q ₂ имеет порядок 32 и имеет вид

$\mathbf {Z} _{8}[s,t]/\langle 2s,2t,s^{2},t^{2},st-4\rangle .$

Инварианты

Некоторые инварианты квадратичной формы можно рассматривать как функции на классах Витта. Мы видели, что размерность по модулю 2 является функцией классов: дискриминант также четко определен. Инвариант Хассе квадратичной формы снова является четко определенной функцией на классах Витта со значениями в группе Брауэра поля определения.

Ранг и дискриминант

Определим кольцо над K , Q ( K ), как набор пар ( d , e ) с d в K* / K* ² и е в Z 2 Z. / Сложение и умножение определяются следующим образом:

$(d_{1},e_{1})+(d_{2},e_{2})=((-1)^{e_{1}e_{2}}d_{1}d_{2},e_{1}+e_{2})$

$(d_{1},e_{1})\cdot (d_{2},e_{2})=(d_{1}^{e_{2}}d_{2}^{e_{1}},e_{1}e_{2}).$

Тогда существует сюръективный гомоморфизм колец из W ( K ) в это кольцо, полученный отображением класса в дискриминант и ранга по модулю 2. Ядро есть I ² . Элементы Q можно рассматривать как классифицирующие градуированные квадратичные расширения K .

Группа Брауэра – Уолла

Тройка дискриминанта, ранга mod 2 и инварианта Хассе определяет отображение W ( K ) в группу Брауэра – Уолла BW( K ).

Кольцо Витта локального поля

Пусть K — полное локальное поле со нормированием v , униформизатором π и полем вычетов k характеристики, не равной 2. Существует инъекция W ( k ) → W ( K ), которая поднимает диагональную форму ⟨ a ₁ ,... a _п ⟩ до ⟨ ты ₁ ,... ты _п ⟩ где u _i - единица K с образом a _i в k . Это дает

$W(K)=W(k)\oplus \langle \pi \rangle \cdot W(k)$

отождествление W ( k ) с его образом в W ( K ).

Кольцо Витта числового поля

Пусть K — числовое поле . Для квадратичных форм над K существует инвариант Хассе ±1 для каждой конечной точки, соответствующей символам Гильберта . Инвариантами формы над числовым полем являются в точности размерность, дискриминант, все локальные инварианты Хассе и сигнатуры, происходящие из реальных вложений.

Мы определяем кольцо символов над K , Sym( K ), как набор троек ( d , e , f ) с d в K* / K* ² , e в Z /2 и f - последовательность элементов ±1, индексированных местами K , при условии, что все члены f, за исключением конечного числа, равны +1, что значение на комплексных позициях равно +1 и что произведение всех членов f в +1. Пусть [ a , b ] будет последовательностью символов Гильберта: она удовлетворяет только что сформулированным условиям для f .

Мы определяем сложение и умножение следующим образом:

$(d_{1},e_{1},f_{1})+(d_{2},e_{2},f_{2})=((-1)^{e_{1}e_{2}}d_{1}d_{2},e_{1}+e_{2},[d_{1},d_{2}][-d_{1}d_{2},(-1)^{e_{1}e_{2}}]f_{1}f_{2})$

$(d_{1},e_{1},f_{1})\cdot (d_{2},e_{2},f_{2})=(d_{1}^{e_{2}}d_{2}^{e_{1}},e_{1}e_{2},[d_{1},d_{2}]^{1+e_{1}e_{2}}f_{1}^{e_{2}}f_{2}^{e_{1}})\ .$

Тогда существует сюръективный гомоморфизм колец из W ( K ) в Sym( K ), полученный отображением класса в дискриминант ранга по модулю 2 и последовательность инвариантов Хассе. Ядро - это я ³ .

Кольцо символов является реализацией группы Брауэра-Волла.

Витт-кольцо рациональных оснований

Из теоремы Хассе –Минковского следует, что существует инъекция

$W(\mathbf {Q} )\rightarrow W(\mathbf {R} )\oplus \prod _{p}W(\mathbf {Q} _{p})\ .$

конкретизируем это и вычисляем изображение, используя «второй гомоморфизм вычетов» W( Qp ₎ → W( Fp _Мы ). Комбинируя отображение W( Q ) → W( Q _p ), мы получаем групповой гомоморфизм ∂ _p : W( Q ) → W( F _p ) (для p = 2 мы определяем ∂ ₂ как 2-адическое нормирование дискриминант, взятый по модулю 2).

Тогда мы имеем расщепленную точную последовательность

$0\rightarrow \mathbf {Z} \rightarrow W(\mathbf {Q} )\rightarrow \mathbf {Z} /2\oplus \bigoplus _{p\neq 2}W(\mathbf {F} _{p})\rightarrow 0\$

который можно записать как изоморфизм

$W(\mathbf {Q} )\cong \mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /2\oplus \bigoplus _{p\neq 2}W(\mathbf {F} _{p})\$

где первый компонент — это подпись.

Кольцо Витта и К-теория Милнора

Пусть k — поле характеристики, не равной 2. Степени идеала I форм четной размерности («фундаментальный идеал») в $W(k)$ образуют нисходящую фильтрацию , и можно рассматривать связанное с ней градуированное кольцо , которое представляет собой прямую сумму частных $I^{n}/I^{n+1}$. Позволять $\langle a\rangle$ быть квадратичной формой $ax^{2}$ рассматривается как элемент кольца Витта. Затем $\langle a\rangle -\langle 1\rangle$ является элементом I и соответственно произведением вида

$\langle \langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle \rangle =(\langle a_{1}\rangle -\langle 1\rangle )\cdots (\langle a_{n}\rangle -\langle 1\rangle )$

является элементом $I^{n}.$ Джон Милнор в статье 1970 года доказал, что отображение из $(k^{*})^{n}$ к $I^{n}/I^{n+1}$ который отправляет $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ к $\langle \langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle \rangle$ является полилинейным и отображает элементы Штейнберга (элементы, такие, что для некоторых $i$ и $j$ такой, что $i\neq j$ у одного есть $a_{i}+a_{j}=1$) до нуля. Это означает, что это отображение определяет гомоморфизм кольца Милнора поля k в градуированное кольцо Витта. Милнор показал также, что этот гомоморфизм переводит элементы, делящиеся на 2, в ноль и что он сюръективен. В той же статье он выдвинул гипотезу, что этот гомоморфизм является изоморфизмом для всех полей k (характеристики, отличной от 2). Это стало известно как гипотеза Милнора о квадратичных формах.

Гипотезу доказали Дмитрий Орлов, Александр Вишик и Владимир Воеводский. в 1996 г. (опубликовано в 2007 г.) по делу ${\textrm {char}}(k)=0$, что приводит к лучшему пониманию структуры квадратичных форм над произвольными полями.

Кольцо Гротендика-Витта

Кольцо Гротендика -Витта GW представляет собой родственную конструкцию, порожденную классами изометрии неособых квадратичных пространств со сложением, заданным ортогональной суммой, и умножением, заданным тензорным произведением. не отождествляются два пространства, отличающиеся гиперболической плоскостью Поскольку в GW , то обратное для сложения необходимо ввести формально через конструкцию, открытую Гротендиком (см. Группа Гротендика ). Существует естественный гомоморфизм GW → Z , заданный размерностью: поле квадратично замкнуто тогда и только тогда, когда это изоморфизм. Гиперболические пространства порождают идеал в GW , а кольцо Витта W является фактором. придает Внешняя степень кольцу Гротендика-Витта дополнительную структуру λ-кольца .

Примеры

• Кольцо Гротендика-Витта C , как и любое алгебраически замкнутое или квадратично замкнутое поле есть Z. ,
• Кольцо Гротендика-Витта группы R изоморфно групповому кольцу Z [ C2 _. ], где C2 _— циклическая группа порядка 2
• Кольцо Гротендика-Витта любого конечного поля нечетной характеристики есть Z ⊕ Z /2 Z с тривиальным умножением во второй компоненте. Элемент (1, 0) соответствует квадратичной форме ⟨ a ⟩, где a не является квадратом в конечном поле.
• Кольцо Гротендика-Витта локального поля с максимальным идеалом нормы, конгруэнтным 1 по модулю 4, изоморфно Z ⊕ ( Z /2 Z ). ³ .
• Кольцо Гротендика-Витта локального поля с максимальным идеалом нормы, конгруэнтным 3 по модулю 4, есть Z' ⊕ Z /4 Z ⊕ Z /2 Z .

Кольцо Гротендика-Витта и мотивные стабильные гомотопические группы сфер

Фабьен Морель показал, что кольцо Гротендика-Витта совершенного поля изоморфно мотивной стабильной гомотопической группе сфер π _0,0 (S ^0,0 ) (см. « Теория гомотопий A¹ »).

Эквивалентность Витта

Два поля называются виттовски эквивалентными , если их кольца Витта изоморфны.

Для глобальных полей существует принцип перехода от локального к глобальному: два глобальных поля эквивалентны по Витту тогда и только тогда, когда между их местами существует биекция, такая что соответствующие локальные поля эквивалентны по Витту. В частности, два числовых поля K и L эквивалентны по Витту тогда и только тогда, когда существует биекция T между местами K и местами L и групповой изоморфизм t между их группами квадратных классов , сохраняющий символы Гильберта степени 2. В этом случае пара ( T , t ) называется эквивалентностью взаимности или эквивалентностью гильбертовых символов степени 2 . некоторые варианты и расширения этого условия, такие как «ручная эквивалентность символов Гильберта степени l ». Также были изучены

Обобщения

Основная статья: L-теория

Группы Витта также могут быть определены таким же образом для кососимметричных форм , для квадратичных форм и, в более общем смысле, ε-квадратичных форм над любым *-кольцом R. для

Полученные группы (и их обобщения) известны как четномерные симметричные L -группы L ^{22 тыс.} ( R ) и четномерные квадратичные L -группы L _{2 k} ( R ). Квадратичные L -группы являются 4-периодическими, причем L ₀ ( R ) представляет собой группу Витта (1)-квадратичных форм (симметричных), а L ₂ ( R ) представляет собой группу Витта (−1)-квадратичных форм ( кососимметричный); симметричные L -группы не являются 4-периодическими для всех колец, поэтому они дают менее точное обобщение.

L -группы являются центральными объектами теории хирургии , образуя один из трех членов точной последовательности хирургии .

См. также

• Уменьшена высота поля

Ссылки

• Коннер, Пьер Э .; Перлис, Роберт (1984). Обзор следовых форм полей алгебраических чисел . Серия по чистой математике. Том. 2. Мировая научная. ISBN  9971-966-05-0 . Збл   0551.10017 .
• Гарибальди, Скип ; Меркурьев, Александр ; Серр, Жан-Пьер (2003). Когомологические инварианты в когомологиях Галуа . Серия университетских лекций. Том. 28. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN  0-8218-3287-5 . Збл   1159.12311 .
• Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями . Аспирантура по математике . Том. 67. Американское математическое общество. ISBN  0-8218-1095-2 . МР   2104929 . Збл   1068.11023 .
• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  978-0-387-95385-4 , МР   1878556 , Збл   0984.00001
• Лоренц, Фалько (2008). Алгебра. Том II: Поля со структурой, алгебры и дополнительные темы . Спрингер. ISBN  978-0-387-72487-4 . Збл   1130.12001 .
• Милнор, Джон ; Хуземоллер, Дейл (1973). Симметричные билинейные формы . Результаты математики и ее пограничные области. Том 73. Шпрингер-Верлаг . ISBN  3-540-06009-Х . Збл   0292.10016 .
• Витт, Эрнст (1936), «Теория квадратичных форм в произвольных телах», Журнал чистой и прикладной математики , 176 (3): 31–44, Zbl   0015.05701

Дальнейшее чтение

• Балмер, Пол (2005). «Группы Витта». Во Фридлендере, Эрик М.; Грейсон, доктор медицинских наук (ред.). Справочник по К -теории . Том. 2. Шпрингер-Верлаг . стр. 539–579. ISBN  3-540-23019-Х . Збл   1115.19004 .

Внешние ссылки

• Кольца Витта в математической энциклопедии Springer