Jump to content

Кляйна четыре группы

(Перенаправлено из 4-й группы Кляйна )

В математике четырехгруппа Клейна — это абелева группа из четырех элементов, в которой каждый элемент самоинверсен (составление его с самим собой дает тождество) и в которой составление любых двух из трех неединичных элементов дает третий. . Его можно описать как группу симметрии неквадратного прямоугольника (три неидентичных элемента — горизонтальное отражение , вертикальное отражение и вращение на 180 градусов ), как группу поразрядных операций исключающего или над двухбитовыми двоичными значениями. или, более абстрактно, как , прямое произведение двух копий циклической группы порядка 2 по Основной теореме о конечно порожденных абелевых группах . Он получил название Vierergruppe ( Немецкий: [ˈfiːʁɐˌɡʁʊpə] ), что означает четыре группы) Феликса Кляйна в 1884 году. [1] Ее еще называют группой Клейна и часто обозначают буквой или как .

Четырехгруппа Клейна с четырьмя элементами — наименьшая группа нециклическая . С точностью до изоморфизма существует только одна группа четвертого порядка: циклическая группа четвертого порядка. Обе группы абелевы.

Презентации

[ редактировать ]

группы Кляйна Таблица Кэли представлена:

* и а б с
и и а б с
а а и с б
б б с и а
с с б а и

Четырехгруппа Клейна также определяется представлением группы

Все неединичные элементы группы Клейна имеют порядок 2, поэтому в приведенном выше представлении генераторами могут служить любые два неединичных элемента. Четырехгруппа Клейна — наименьшая нециклическая группа . Однако это абелева группа и изоморфна группе диэдра порядка (мощности) 4, символизируемой (или , используя геометрическое соглашение); кроме группы порядка 2, это единственная группа диэдра, которая является абелевой.

Четырехгруппа Клейна также изоморфна прямой сумме , так что его можно представить в виде пар {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} при покомпонентном сложении по модулю 2 (или, что то же самое, битовых строк {00 , 01, 10, 11} при побитовом исключающем ИЛИ ), где (0,0) является идентификационным элементом группы. Таким образом, четырехгруппа Клейна является примером элементарной абелевой 2-группы , которую также называют булевой группой . Таким образом, четырехгруппа Клейна также является группой, порожденной симметричной разностью как бинарной операцией над подмножествами степенного набора из двух элементов, то есть над полем множеств с четырьмя элементами, например ; в этом случае пустой набор является идентификационным элементом группы.

Другая численная конструкция четырехгруппы Клейна — это набор {1, 3, 5, 7} с операцией умножения по модулю 8 . Здесь a равно 3, b равно 5, а c = ab равно 3 × 5 = 15 ≡ 7 (mod 8) .

Четырехгруппа Клейна также имеет представление в виде вещественных матриц размера 2 × 2 с операцией умножения матриц:

На кубике Рубика узор «4 точки» можно сделать тремя способами, в зависимости от пары граней, которые остались пустыми; эти три позиции вместе с решенной позицией образуют пример группы Клейна, где решенная позиция служит тождеством.

Геометрия

[ редактировать ]
V — группа симметрии этого креста: переворачивание его по горизонтали ( a ), по вертикали ( b ) или по обоим направлениям ( ab ) оставляет его неизменным. Четверть оборота меняет ситуацию.

В двух измерениях группа четырех Клейна представляет собой группу симметрии ромба , причем и прямоугольников , не являющихся квадратами четыре элемента представляют собой идентичность, вертикальное отражение, горизонтальное отражение и поворот на 180 °.

В трех измерениях существуют три различные группы симметрии, которые алгебраически являются четырехгруппой Клейна:

  • один с тремя перпендикулярными осями 2-кратного вращения: группа диэдра
  • один с двойной осью вращения и перпендикулярной плоскостью отражения:
  • один с осью вращения 2-го порядка в плоскости отражения (и, следовательно, также в перпендикулярной плоскости отражения): .

Представление перестановок

[ редактировать ]
Тождество и двойные четырех объектов образуют V. транспозиции
Другие перестановки четырех объектов могут образовывать V. также

Три элемента второго порядка в четырехгруппе Клейна взаимозаменяемы: группа автоморфизмов V , таким образом, является группой перестановок этих трех элементов, то есть симметрической группой .

Перестановки собственных элементов четырехгруппы Клейна можно абстрактно рассматривать как ее представление перестановок в четырех точках:

{(), (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3)}

В этом представлении является нормальной подгруппой группы знакопеременной (а также симметрическая группа ) на четыре буквы. Фактически это ядро ​​сюръективного группового гомоморфизма из к .

Другими представлениями в S 4 являются:

{ (), (1,2), (3,4), (1,2)(3,4) }
{ (), (1,3), (2,4), (1,3)(2,4) }
{ (), (1,4), (2,3), (1,4)(2,3) }

Они не являются нормальными подгруппами S 4 .

Согласно теории Галуа , существование четырёхгруппы Клейна (и, в частности, её перестановочного представления) объясняет существование формулы для вычисления корней уравнений четвертой степени в терминах радикалов , установленной Лодовико Феррари : отображение соответствует резольвентной кубике в терминах резольвенты Лагранжа .

При построении конечных колец восемь из одиннадцати колец с четырьмя элементами имеют в качестве аддитивной подструктуры четырехгруппу Клейна.

Если обозначает мультипликативную группу ненулевых действительных чисел и мультипликативная группа положительных вещественных чисел , то это группа единиц кольца , и является подгруппой (фактически это личности составляющая ). Факторгруппа изоморфна четверной группе Клейна. Аналогичным образом группа единиц расщепленного комплексного числового кольца , разделенная на ее единичный компонент, также приводит к четырехгруппе Клейна.

Теория графов

[ редактировать ]

Среди простых связных графов самым простым (в смысле наличия наименьшего количества сущностей), который допускает четырехгруппу Клейна в качестве группы автоморфизмов, является ромбовидный граф, показанный ниже. Это также группа автоморфизмов некоторых других графов, которые проще в том смысле, что в них меньше сущностей. К ним относятся граф с четырьмя вершинами и одним ребром, который остается простым, но теряет связность, и граф с двумя вершинами, соединенными друг с другом двумя ребрами, который остается связным, но теряет простоту.

В музыкальной композиции четверка — основная группа перестановок в двенадцатитоновой технике . В этом случае таблица Кэли записывается [2]

С я Р РИ
я С РИ Р
Р РИ С я
РИ Р я С

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Лекции по икосаэдру и решению уравнений пятой степени
  2. ^ Бэббит, Милтон . (1960) «Двенадцатитоновые инварианты как композиционные детерминанты», Musical Quarterly 46 (2): 253 Специальный выпуск: Проблемы современной музыки: Принстонский семинар по передовым музыкальным исследованиям (апрель): 246–59, Oxford University Press

Дальнейшее чтение

[ редактировать ]
  • М. А. Армстронг (1988) Группы и симметрия , Springer Verlag , стр. 53 .
  • У. Э. Барнс (1963) Введение в абстрактную алгебру , DC Heath & Co., стр. 20.
[ редактировать ]
  • Вайсштейн, Эрик В. «Группа четырех» . Математический мир .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 2e8767e997be83f2fc1c5c1f97f9400a__1716950580
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/2e/0a/2e8767e997be83f2fc1c5c1f97f9400a.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Klein four-group - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)