Кляйна четыре группы
Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп |
---|
В математике четырехгруппа Клейна — это абелева группа из четырех элементов, в которой каждый элемент самоинверсен (составление его с самим собой дает тождество) и в которой составление любых двух из трех неединичных элементов дает третий. . Его можно описать как группу симметрии неквадратного прямоугольника (три неидентичных элемента — горизонтальное отражение , вертикальное отражение и вращение на 180 градусов ), как группу поразрядных операций исключающего или над двухбитовыми двоичными значениями. или, более абстрактно, как , прямое произведение двух копий циклической группы порядка 2 по Основной теореме о конечно порожденных абелевых группах . Он получил название Vierergruppe ( Немецкий: [ˈfiːʁɐˌɡʁʊpə] ), что означает четыре группы) Феликса Кляйна в 1884 году. [1] Ее еще называют группой Клейна и часто обозначают буквой или как .
Четырехгруппа Клейна с четырьмя элементами — наименьшая группа нециклическая . С точностью до изоморфизма существует только одна группа четвертого порядка: циклическая группа четвертого порядка. Обе группы абелевы.
Презентации
[ редактировать ]группы Кляйна Таблица Кэли представлена:
* | и | а | б | с |
---|---|---|---|---|
и | и | а | б | с |
а | а | и | с | б |
б | б | с | и | а |
с | с | б | а | и |
Четырехгруппа Клейна также определяется представлением группы
Все неединичные элементы группы Клейна имеют порядок 2, поэтому в приведенном выше представлении генераторами могут служить любые два неединичных элемента. Четырехгруппа Клейна — наименьшая нециклическая группа . Однако это абелева группа и изоморфна группе диэдра порядка (мощности) 4, символизируемой (или , используя геометрическое соглашение); кроме группы порядка 2, это единственная группа диэдра, которая является абелевой.
Четырехгруппа Клейна также изоморфна прямой сумме , так что его можно представить в виде пар {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} при покомпонентном сложении по модулю 2 (или, что то же самое, битовых строк {00 , 01, 10, 11} при побитовом исключающем ИЛИ ), где (0,0) является идентификационным элементом группы. Таким образом, четырехгруппа Клейна является примером элементарной абелевой 2-группы , которую также называют булевой группой . Таким образом, четырехгруппа Клейна также является группой, порожденной симметричной разностью как бинарной операцией над подмножествами степенного набора из двух элементов, то есть над полем множеств с четырьмя элементами, например ; в этом случае пустой набор является идентификационным элементом группы.
Другая численная конструкция четырехгруппы Клейна — это набор {1, 3, 5, 7} с операцией умножения по модулю 8 . Здесь a равно 3, b равно 5, а c = ab равно 3 × 5 = 15 ≡ 7 (mod 8) .
Четырехгруппа Клейна также имеет представление в виде вещественных матриц размера 2 × 2 с операцией умножения матриц:
На кубике Рубика узор «4 точки» можно сделать тремя способами, в зависимости от пары граней, которые остались пустыми; эти три позиции вместе с решенной позицией образуют пример группы Клейна, где решенная позиция служит тождеством.
Геометрия
[ редактировать ]В двух измерениях группа четырех Клейна представляет собой группу симметрии ромба , причем и прямоугольников , не являющихся квадратами четыре элемента представляют собой идентичность, вертикальное отражение, горизонтальное отражение и поворот на 180 °.
В трех измерениях существуют три различные группы симметрии, которые алгебраически являются четырехгруппой Клейна:
- один с тремя перпендикулярными осями 2-кратного вращения: группа диэдра
- один с двойной осью вращения и перпендикулярной плоскостью отражения:
- один с осью вращения 2-го порядка в плоскости отражения (и, следовательно, также в перпендикулярной плоскости отражения): .
Представление перестановок
[ редактировать ]Три элемента второго порядка в четырехгруппе Клейна взаимозаменяемы: группа автоморфизмов V , таким образом, является группой перестановок этих трех элементов, то есть симметрической группой .
Перестановки собственных элементов четырехгруппы Клейна можно абстрактно рассматривать как ее представление перестановок в четырех точках:
- {(), (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3)}
В этом представлении является нормальной подгруппой группы знакопеременной (а также симметрическая группа ) на четыре буквы. Фактически это ядро сюръективного группового гомоморфизма из к .
Другими представлениями в S 4 являются:
- { (), (1,2), (3,4), (1,2)(3,4) }
- { (), (1,3), (2,4), (1,3)(2,4) }
- { (), (1,4), (2,3), (1,4)(2,3) }
Они не являются нормальными подгруппами S 4 .
Алгебра
[ редактировать ]Согласно теории Галуа , существование четырёхгруппы Клейна (и, в частности, её перестановочного представления) объясняет существование формулы для вычисления корней уравнений четвертой степени в терминах радикалов , установленной Лодовико Феррари : отображение соответствует резольвентной кубике в терминах резольвенты Лагранжа .
При построении конечных колец восемь из одиннадцати колец с четырьмя элементами имеют в качестве аддитивной подструктуры четырехгруппу Клейна.
Если обозначает мультипликативную группу ненулевых действительных чисел и мультипликативная группа положительных вещественных чисел , то это группа единиц кольца , и является подгруппой (фактически это личности составляющая ). Факторгруппа изоморфна четверной группе Клейна. Аналогичным образом группа единиц расщепленного комплексного числового кольца , разделенная на ее единичный компонент, также приводит к четырехгруппе Клейна.
Теория графов
[ редактировать ]Среди простых связных графов самым простым (в смысле наличия наименьшего количества сущностей), который допускает четырехгруппу Клейна в качестве группы автоморфизмов, является ромбовидный граф, показанный ниже. Это также группа автоморфизмов некоторых других графов, которые проще в том смысле, что в них меньше сущностей. К ним относятся граф с четырьмя вершинами и одним ребром, который остается простым, но теряет связность, и граф с двумя вершинами, соединенными друг с другом двумя ребрами, который остается связным, но теряет простоту.
Музыка
[ редактировать ]В музыкальной композиции четверка — основная группа перестановок в двенадцатитоновой технике . В этом случае таблица Кэли записывается [2]
С | я | Р | РИ |
---|---|---|---|
я | С | РИ | Р |
Р | РИ | С | я |
РИ | Р | я | С |
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Лекции по икосаэдру и решению уравнений пятой степени
- ^ Бэббит, Милтон . (1960) «Двенадцатитоновые инварианты как композиционные детерминанты», Musical Quarterly 46 (2): 253 Специальный выпуск: Проблемы современной музыки: Принстонский семинар по передовым музыкальным исследованиям (апрель): 246–59, Oxford University Press
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- М. А. Армстронг (1988) Группы и симметрия , Springer Verlag , стр. 53 .
- У. Э. Барнс (1963) Введение в абстрактную алгебру , DC Heath & Co., стр. 20.