Резольвентная кубическая

График полиномиальной функции $x 4 + х 3 - х 2 - 7 x /4 - 1/2$ (зеленым цветом) вместе с графиком ее резольвентной кубики $R 4 (y)$ (красным цветом). Также видны корни обоих многочленов.

В алгебре резольвентная кубика — это один из нескольких различных, хотя и связанных, кубических многочленов, определенных из монического многочлена четвертой степени :

P(x)=x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}.

В каждом случае:

Коэффициенты резольвентной кубики можно получить из коэффициентов $P (x),$ используя только суммы, вычитания и умножения.
Знание корней резольвентной кубики $P (x)$ полезно для нахождения корней $самого P (x)$ . Отсюда и название «резольвентная кубическая».
Многочлен $P (x)$ имеет кратный корень тогда и только тогда, когда его резольвентная кубика имеет кратный корень.

Определения

Предположим, что коэффициенты $P (x)$ принадлежат полю $k$ которого , характеристика отличается от $2$ . Другими словами, мы работаем в области, в которой $1 + 1 \neq 0$ . корни $P (x)$ Всякий раз, когда упоминаются , они принадлежат некоторому расширению $K$ из $k,$ такому, что $P (x)$ разлагается на линейные множители в $K [x]$ . Если $k$ — поле $Q$ рациональных чисел, то $K$ может быть полем $C$ комплексных чисел или полем $Q$ алгебраических чисел .

В некоторых случаях понятие резольвентной кубики определяется только тогда, когда $P (x)$ является квартикой в депрессивной форме, то есть когда $a 3 = 0$ .

Обратите внимание, что четвертое и пятое определения ниже также имеют смысл и что связь между этими резольвентными кубиками и $P (x)$ все еще сохраняется, если характеристика $k$ равна $2$ .

Первое определение

Предположим, что $P (x)$ — депрессивная квартика, то есть $a 3 = 0$ . Возможное определение резольвентной кубики $P (x)$ : ^[1]

R_{1}(y)=8y^{3}+8a_{2}y^{2}+(2{a_{2}}^{2}-8a_{0})y-{a_{1}}^{2}.

Происхождение этого определения лежит в применении метода Феррари для поиска корней $P (x)$ . Если быть более точным:

{\begin{aligned}P(x)=0&\Longleftrightarrow x^{4}+a_{2}x^{2}=-a_{1}x-a_{0}\\&\Longleftrightarrow \left(x^{2}+{\frac {a_{2}}{2}}\right)^{2}=-a_{1}x-a_{0}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}.\end{aligned}}

Добавьте новое неизвестное $y$ к $x 2 + 2/2 $ . Теперь у вас есть:

{\begin{aligned}\left(x^{2}+{\frac {a_{2}}{2}}+y\right)^{2}&=-a_{1}x-a_{0}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}+2x^{2}y+a_{2}y+y^{2}\\&=2yx^{2}-a_{1}x-a_{0}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}+a_{2}y+y^{2}.\end{aligned}}

Если это выражение является квадратом, то оно может быть только квадратом

{\sqrt {2y}}\,x-{\frac {a_{1}}{2{\sqrt {2y}}}}.

Но равенство

\left({\sqrt {2y}}\,x-{\frac {a_{1}}{2{\sqrt {2y}}}}\right)^{2}=2yx^{2}-a_{1}x-a_{0}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}+a_{2}y+y^{2}

эквивалентно

{\frac {{a_{1}}^{2}}{8y}}=-a_{0}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}+a_{2}y+y^{2}{\text{,}}

и это то же самое, что утверждение, что $R 1 (y)$ = 0.

Если $y 0$ является корнем $R 1 (y)$ , то следствием вычислений, сделанных выше, является то, что корни $P (x)$ являются корнями многочлена

x^{2}-{\sqrt {2y_{0}}}\,x+{\frac {a_{2}}{2}}+y_{0}+{\frac {a_{1}}{2{\sqrt {2y_{0}}}}}

вместе с корнями многочлена

x^{2}+{\sqrt {2y_{0}}}\,x+{\frac {a_{2}}{2}}+y_{0}-{\frac {a_{1}}{2{\sqrt {2y_{0}}}}}.

Конечно, это не имеет смысла, если $y 0 = 0$ , но поскольку постоянный член $R 1 (y)$ равен $- a 12$ , $0$ является корнем $R1, и (y)$ тогда и только тогда, когда $a1 в этом = 0$ случае корни $P (x)$ можно найти с помощью квадратичной формулы .

Второе определение

Другое возможное определение ^[1] (по-прежнему предполагая, что $P (x)$ — депрессивная квартика)

R_{2}(y)=8y^{3}-4a_{2}y^{2}-8a_{0}y+4a_{2}a_{0}-{a_{1}}^{2}

Происхождение этого определения аналогично предыдущему. На этот раз мы начнем с:

{\begin{aligned}P(x)=0&\Longleftrightarrow x^{4}=-a_{2}x^{2}-a_{1}x-a_{0}\\&\Longleftrightarrow (x^{2}+y)^{2}=-a_{2}x^{2}-a_{1}x-a_{0}+2yx^{2}+y^{2}\end{aligned}}

и вычисление, подобное предыдущему, показывает, что это последнее выражение является квадратом тогда и только тогда, когда

8y^{3}-4a_{2}y^{2}-8a_{0}y+4a_{2}a_{0}-{a_{1}}^{2}=0{\text{.}}

Простое вычисление показывает, что

R_{2}\left(y+{\frac {a_{2}}{2}}\right)=R_{1}(y).

Третье определение

Другое возможное определение ^[2]^[3] (опять же, если предположить, что $P (x)$ — депрессивная квартика)

R_{3}(y)=y^{3}+2a_{2}y^{2}+({a_{2}}^{2}-4a_{0})y-{a_{1}}^{2}{\text{.}}

Происхождение этого определения лежит в другом методе решения уравнений четвертой степени, а именно в методе Декарта . Если вы попытаетесь найти корни $P (x),$ выразив его как произведение двух монических квадратичных многочленов $x 2 + αx + β$ и $x 2 - αx + γ$ , тогда

P(x)=(x^{2}+\alpha x+\beta )(x^{2}-\alpha x+\gamma )\Longleftrightarrow \left\{{\begin{array}{l}\beta +\gamma -\alpha ^{2}=a_{2}\\\alpha (-\beta +\gamma )=a_{1}\\\beta \gamma =a_{0}.\end{array}}\right.

Если существует решение этой системы с $α \neq 0$ (обратите внимание, что если $a 1 \neq 0$ , то это автоматически верно для любого решения), предыдущая система эквивалентна

\left\{{\begin{array}{l}\beta +\gamma =a_{2}+\alpha ^{2}\\-\beta +\gamma ={\frac {a_{1}}{\alpha }}\\\beta \gamma =a_{0}.\end{array}}\right.

Следствием первых двух уравнений является то, что тогда

\beta ={\frac {1}{2}}\left(a_{2}+\alpha ^{2}-{\frac {a_{1}}{\alpha }}\right)

и

\gamma ={\frac {1}{2}}\left(a_{2}+\alpha ^{2}+{\frac {a_{1}}{\alpha }}\right).

После замены в третьем уравнении $β$ и $γ$ на эти значения получим

\left(a_{2}+\alpha ^{2}\right)^{2}-{\frac {{a_{1}}^{2}}{\alpha ^{2}}}=4a_{0}{\text{,}}

и это эквивалентно утверждению, что $α 2$ является корнем $R 3 (y)$ . Итак, еще раз, знание корней $R 3 (y)$ помогает определить корни $P (x)$ .

Обратите внимание, что

R_{3}(y)=R_{1}\left({\frac {y}{2}}\right){\text{.}}

Четвертое определение

Еще одно возможное определение: ^[4]

R_{4}(y)=y^{3}-a_{2}y^{2}+(a_{1}a_{3}-4a_{0})y+4a_{0}a_{2}-{a_{1}}^{2}-a_{0}{a_{3}}^{2}.

корнями $P (x)$ являются $α1, если, α2 самом, α3 В$ и $α4 деле$ , то

R_{4}(y)={\bigl (}y-(\alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{3}\alpha _{4}){\bigr )}{\bigl (}y-(\alpha _{1}\alpha _{3}+\alpha _{2}\alpha _{4}){\bigr )}{\bigl (}y-(\alpha _{1}\alpha _{4}+\alpha _{2}\alpha _{3}){\bigr )}{\text{,}}

факт следует из формул Виета . Другими словами, R ₄ ( y ) — это монический полином, корни которого равны $α 1 α 2 + α 3 α 4$ , $α 1 α 3 + α 2 α 4$ и $α 1 α 4 + α 2 α 3$ .

Это легко увидеть

\alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{3}\alpha _{4}-(\alpha _{1}\alpha _{3}+\alpha _{2}\alpha _{4})=(\alpha _{1}-\alpha _{4})(\alpha _{2}-\alpha _{3}){\text{,}}

\alpha _{1}\alpha _{3}+\alpha _{2}\alpha _{4}-(\alpha _{1}\alpha _{4}+\alpha _{2}\alpha _{3})=(\alpha _{1}-\alpha _{2})(\alpha _{3}-\alpha _{4}){\text{,}}

\alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{3}\alpha _{4}-(\alpha _{1}\alpha _{4}+\alpha _{2}\alpha _{3})=(\alpha _{1}-\alpha _{3})(\alpha _{2}-\alpha _{4}){\text{.}}

Следовательно, $P (x)$ имеет кратный корень тогда и только тогда, когда $(R4 y) имеет$ кратный корень. Точнее, $P (x)$ и $R4 же (y)$ имеют один и тот дискриминант .

Следует отметить, что если $P (x)$ является депрессивным полиномом, то

{\begin{aligned}R_{4}(y)&=y^{3}-a_{2}y^{2}-4a_{0}y+4a_{0}a_{2}-{a_{1}}^{2}\\&=R_{2}\left({\frac {y}{2}}\right){\text{.}}\end{aligned}}

Пятое определение

Еще одно определение ^[5]^[6]

R_{5}(y)=y^{3}-2a_{2}y^{2}+({a_{2}}^{2}+a_{3}a_{1}-4a_{0})y+{a_{1}}^{2}-a_{3}a_{2}a_{1}+{a_{3}}^{2}a_{0}{\text{.}}

, корнями $P (x)$ являются $α1 Если, α2 и, α3,$ , $α4 то$ как указано выше

R_{5}(y)={\bigl (}y-(\alpha _{1}+\alpha _{2})(\alpha _{3}+\alpha _{4}){\bigr )}{\bigl (}y-(\alpha _{1}+\alpha _{3})(\alpha _{2}+\alpha _{4}){\bigr )}{\bigl (}y-(\alpha _{1}+\alpha _{4})(\alpha _{2}+\alpha _{3}){\bigr )}{\text{,}}

опять же как следствие формул Виеты . Другими словами, $R 5 (y)$ — это монический полином, корни которого равны $(α 1 + α 2)(α 3 + α 4)$ , $(α 1 + α 3)(α 2 + α 4)$ и $(α 1 + α 4)(α 2 + α 3)$ .

Это легко увидеть

(\alpha _{1}+\alpha _{2})(\alpha _{3}+\alpha _{4})-(\alpha _{1}+\alpha _{3})(\alpha _{2}+\alpha _{4})=-(\alpha _{1}-\alpha _{4})(\alpha _{2}-\alpha _{3}){\text{,}}

(\alpha _{1}+\alpha _{2})(\alpha _{3}+\alpha _{4})-(\alpha _{1}+\alpha _{4})(\alpha _{2}+\alpha _{3})=-(\alpha _{1}-\alpha _{3})(\alpha _{2}-\alpha _{4}){\text{,}}

(\alpha _{1}+\alpha _{3})(\alpha _{2}+\alpha _{4})-(\alpha _{1}+\alpha _{4})(\alpha _{2}+\alpha _{3})=-(\alpha _{1}-\alpha _{2})(\alpha _{3}-\alpha _{4}){\text{.}}

Поэтому, как и в случае с $R 4 (y)$ , $P (x)$ имеет кратный корень тогда и только тогда, когда $R 5 (y)$ имеет кратный корень. Точнее, $P (x)$ и $R5 y () .$ имеют один и тот же дискриминант Это также является следствием того факта, что $R 5 (y + a 2)$ = $- R 4 ( - y)$ .

Обратите внимание, что если $P (x)$ является депрессивным полиномом, то

{\begin{aligned}R_{5}(y)&=y^{3}-2a_{2}y^{2}+({a_{2}}^{2}-4a_{0})y+{a_{1}}^{2}\\&=-R_{3}(-y)\\&=-R_{1}\left(-{\frac {y}{2}}\right){\text{.}}\end{aligned}}

Приложения

Решение уравнений четвертой степени

Выше было объяснено, как $R 1 (y)$ , $R 2 (y)$ и $R 3 (y)$ могут использоваться для нахождения корней $P (x),$ если этот многочлен подавлен. В общем случае нужно просто найти корни пониженного многочлена $P (x - a 3 /4)$ . Для каждого корня $x 0$ этого многочлена $x 0 - a 3 /4$ является корнем $P (x)$ .

Факторизация полиномов четвертой степени

Если многочлен четвертой степени $P (x)$ приводим ] в $k [x, то он является произведением двух квадратичных многочленов или$ произведением линейного многочлена на кубический многочлен. Эта вторая возможность возникает тогда и только тогда, когда $P (x)$ имеет корень из $k$ . Чтобы определить, может ли $P (x)$ быть выражено как произведение двух квадратичных многочленов, предположим для простоты, что $P (x)$ является депрессивным многочленом. было видно Тогда выше , что если резольвентная кубика $R 3 (y)$ имеет ненулевой корень вида $α 2$ , для некоторого $α \in k$ такое разложение существует.

Это можно использовать, чтобы доказать, что в $R [x]$ каждый многочлен четвертой степени без вещественных корней может быть выражен как произведение двух квадратичных многочленов. Пусть $P (x)$ будет таким полиномом. можно считать Без ограничения общности , что $P (x)$ является моническим. Мы также можем без ограничения общности предположить, что это приведенный многочлен, потому что $P (x)$ можно выразить как произведение двух квадратичных многочленов тогда и только тогда, когда $P (x - a 3 /4)$ может и этот многочлен является приведенным многочленом. один. Тогда $R 3 (y)$ = $y 3 + 2 а 2 года 2 + (а 22 - 4 а 0) y - а 12$ . Есть два случая:

Если $a 1 \neq 0$ , то $R 3 (0)$ = $- a 12 < 0$ . Поскольку $R 3 (y) > 0,$ если $y$ достаточно велико, то по о промежуточном значении теореме $R 3 (y)$ имеет корень $y 0$ с $y 0 > 0$ . можем $α$ = $\sqrty0 взять Итак, мы$ .
Если $a 1$ = $0$ , то $R 3 (y)$ = $y 3 + 2 а 2 года 2 + (а 22 - 4 а 0) y$ . Корни этого многочлена равны $0$ , а корни квадратного многочлена $y 2 + 2 а 2 у + а 22 - 4 а 0$ . Если $2 2 - 4 a 0 < 0$ , то произведение двух корней этого многочлена меньше $0$ и, следовательно, он имеет корень больше $0$ (который оказывается $- a 2 + 2 \sqrt a 0$ ), и мы можем взять $α$ как квадратный корень из этого корня. случае $2 В противном 2 - 4 a 0 \geq 0$ и тогда

P(x)=\left(x^{2}+{\frac {a_{2}+{\sqrt {{a_{2}}^{2}-4a_{0}}}}{2}}\right)\left(x^{2}+{\frac {a_{2}-{\sqrt {{a_{2}}^{2}-4a_{0}}}}{2}}\right){\text{.}}

В более общем смысле, если $k$ — действительное замкнутое поле , то каждый многочлен четвертой степени без корней из $k$ может быть выражен как произведение двух квадратичных многочленов из $k [x]$ . Действительно, это утверждение может быть выражено в логике первого порядка , и любое такое утверждение, справедливое для $R,$ также справедливо для любого вещественного замкнутого поля.

Аналогичный подход можно использовать для получения алгоритма ^[2] определить, является ли полином четвертой степени $P (x) \in Q [x]$ приводимым, и если да, то как его выразить в виде произведения многочленов меньшей степени. Опять же, мы предположим, что $P (x)$ моник и депрессия. Тогда $P (x)$ приводимо тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из следующих условий:

Многочлен $P (x)$ имеет рациональный корень (это можно определить с помощью теоремы о рациональном корне ).
Резольвентная кубика $R 3 (y)$ имеет корень вида $α 2$ , для некоторого ненулевого рационального числа $α$ (опять же, это можно определить с помощью теоремы о рациональном корне ).
Число $а 22 - 4 a 0$ — квадрат рационального числа и $a 1$ = $0$ .

Действительно:

Если $P (x)$ имеет рациональный корень $r$ , то $P (x)$ является произведением $x - r$ на кубический многочлен от $Q [x]$ , который может быть определен полиномиальным делением в столбик или правилом Руффини .
Если существует рациональное число $α \neq 0$ такое, что $α 2$ является корнем $R3 как (y)$ было показано, , выше выразить $P (x)$ как произведение двух квадратичных многочленов от $Q [x]$ .
Наконец, если выполнено третье условие и если $δ \in Q$ таково, что $δ 2$ = $а2 2 - 4 а 0$ , тогда $P (x)$ = $(x 2 + (а 2 + δ)/2)(x 2 + (а 2 - δ)/2)$ .

Группы Галуа неприводимых многочленов четвертой степени

Резольвентная куба неприводимого многочлена четвертой степени $P (x)$ может использоваться для определения его группы Галуа $G$ ; то есть группа Галуа расщепления поля $P (x)$ . Пусть $m$ над — степень k $поля$ расщепления резольвентной кубики (это может быть либо $R 4 (y)$ , либо $R 5 (y)$ ; они имеют одинаковое поле расщепления). Тогда группа $G$ является подгруппой симметрической группы $S 4$ . Точнее: ^[4]

Если $m = 1$ (т. е. если резольвентные кубические факторы разлагаются на линейные множители по $k$ ), то $G$ — это группа ${e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)$ }.
Если $m = 2$ (т. е. если резольвентная кубика имеет один и до кратности только один корень из $k$ ), то для определения $G$ можно определить, остается ли $P (x)$ неприводимым после присоединения к полю $k$ корни резольвентной кубики. Если нет, то $G$ — циклическая группа порядка 4 ; точнее, это одна из трех циклических подгрупп группы $S 4 ,$ порожденная любым из ее шести $4$ -циклов. Если она еще неприводима, то $G$ — одна из трех подгрупп группы $порядка S4$ 8 $,$ каждая из которых изоморфна группе диэдра порядка $8$ .
Если $m = 3$ , то $G$ — знакопеременная группа $A 4$ .
Если $m 6$ , то $G$ — вся группа $S4 =$ .

См. также

Резольвента (теория Галуа)

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Тиньоль, Жан-Пьер (2016), «Уравнения четвертой степени», Теория алгебраических уравнений Галуа (2-е изд.), World Scientific , ISBN 978-981-4704-69-4 , Збл 1333.12001
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Брукфилд, Г. (2007), «Факторизация полиномов четвертой степени: утраченное искусство» (PDF) , Mathematics Magazine , 80 (1): 67–70, doi : 10.1080/0025570X.2007.11953453 , JSTOR 27642994 , S2CID 53375377 , Zbl 1227.97040 , заархивировано из оригинала (PDF) 21 февраля 2015 г.
^ Хартсхорн, Робин (1997), «Задачи построения и расширения полей: кубические уравнения и уравнения четвертой степени», Геометрия: Евклид и за его пределами , Springer-Verlag , ISBN 0-387-98650-2 , Збл 0954.51001
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Каплански, Ирвинг (1972), «Поля: кубические и четвертые уравнения», Поля и кольца , Чикагские лекции по математике (2-е изд.), University of Chicago Press , ISBN 0-226-42451-0 , Збл 1001,16500
^ Ротман, Джозеф (1998), «Группы Галуа квадратичных, кубиковых и квартиков», Теория Галуа (2-е изд.), Springer-Verlag , ISBN 0-387-98541-7 , Збл 0924.12001
^ ван дер Варден, Бартель Леендерт (1991), «Теория Галуа: уравнения второй, третьей и четвертой степеней», Алгебра , том. 1 (7-е изд.), Издательство Springer , ISBN 0-387-97424-5 , Збл 0724.12001

[Tignol-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Тиньоль, Жан-Пьер (2016), «Уравнения четвертой степени», Теория алгебраических уравнений Галуа (2-е изд.), World Scientific , ISBN 978-981-4704-69-4 , Збл 1333.12001

[Brookfield-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Брукфилд, Г. (2007), «Факторизация полиномов четвертой степени: утраченное искусство» (PDF) , Mathematics Magazine , 80 (1): 67–70, doi : 10.1080/0025570X.2007.11953453 , JSTOR 27642994 , S2CID 53375377 , Zbl 1227.97040 , заархивировано из оригинала (PDF) 21 февраля 2015 г.

[3] Хартсхорн, Робин (1997), «Задачи построения и расширения полей: кубические уравнения и уравнения четвертой степени», Геометрия: Евклид и за его пределами , Springer-Verlag , ISBN 0-387-98650-2 , Збл 0954.51001

[Kaplanski-4] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Каплански, Ирвинг (1972), «Поля: кубические и четвертые уравнения», Поля и кольца , Чикагские лекции по математике (2-е изд.), University of Chicago Press , ISBN 0-226-42451-0 , Збл 1001,16500

[5] Ротман, Джозеф (1998), «Группы Галуа квадратичных, кубиковых и квартиков», Теория Галуа (2-е изд.), Springer-Verlag , ISBN 0-387-98541-7 , Збл 0924.12001

[6] ван дер Варден, Бартель Леендерт (1991), «Теория Галуа: уравнения второй, третьей и четвертой степеней», Алгебра , том. 1 (7-е изд.), Издательство Springer , ISBN 0-387-97424-5 , Збл 0724.12001

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]