Правило Руффини

В математике — правило Руффини метод вычисления евклидова деления многочлена это на бином формы x – r . Его описал Паоло Руффини в 1809 году. Правило представляет собой частный случай синтетического деления , в котором делителем является линейный множитель.

Алгоритм

Правило устанавливает метод деления многочлена:

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$

по биному:

$Q(x)=x-r$

чтобы получить фактор-полином:

$R(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_{0}.$

Алгоритм на самом деле представляет собой ( x деление P ) на Q ( x ) .

Чтобы разделить P ( x ) на Q ( x ):

1. Возьмите коэффициенты P ( x ) и запишите их по порядку. Затем напишите r в левом нижнем углу прямо над линией:

   ${\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\hline &&&&&\\\end{array}}$

2. Передайте самый левый коэффициент ( a _n ) внизу, прямо под линией.

   ${\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\hline &a_{n}&&&&\\&=b_{n-1}&&&&\end{array}}$

3. Умножьте самое правое число под линией на r и запишите его над линией на одну позицию вправо.

   ${\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&&&\\\hline &a_{n}&&&&\\&=b_{n-1}&&&&\end{array}}$

4. Добавьте два значения, только что помещенные в один столбец.

   ${\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&&&\\\hline &a_{n}&b_{n-1}\cdot r+a_{n-1}&&&\\&=b_{n-1}&=b_{n-2}&&&\end{array}}$

5. Повторяйте шаги 3 и 4, пока не останется цифр.

   ${\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&\dots &b_{1}\cdot r&b_{0}\cdot r\\\hline &a_{n}&b_{n-1}\cdot r+a_{n-1}&\dots &b_{1}\cdot r+a_{1}&a_{0}+b_{0}\cdot r\\&=b_{n-1}&=b_{n-2}&\dots &=b_{0}&=s\\\end{array}}$

Значения b являются коэффициентами результирующего полинома ( R ( x )) , степень которого на единицу меньше, чем у P ( x ). Окончательное полученное значение s является остатком. Теорема о полиномиальном остатке утверждает, что остаток равен P ( r ), значению многочлена в точке r .

Пример

Вот пример полиномиального деления, как описано выше.

Позволять:

$P(x)=2x^{3}+3x^{2}-4\,\!$

$Q(x)=x+1.\,\!$

P ( x ) будет разделен на Q ( x ) по правилу Руффини. Основная проблема заключается в том, что Q ( x ) не является биномом формы x − r , а скорее x + r . Q ( x ) необходимо переписать как

$Q(x)=x+1=x-(-1).\,\!$

Теперь применяется алгоритм:

1. Запишите коэффициенты и r . Обратите внимание, что, поскольку P ( x ) не содержит коэффициента для x , записывается 0:

        |     2     3     0  |  -4
        |                    |               
     -1 |                    |               
    ----|--------------------|-------
        |                    |               
        |                    |               
   

2. Передайте первый коэффициент вниз:

        |     2     3     0  |  -4
        |                    |               
     -1 |                    |               
    ----|--------------------|-------
        |     2              |               
        |                    |               
   

3. Умножьте последнее полученное значение на r :

        |     2     3     0  |  -4
        |                    |               
     -1 |          -2        |                
    ----|--------------------|-------
        |     2              |               
        |                    |               
   

4. Добавьте значения:

        |     2     3     0  |  -4
        |                    |
     -1 |          -2        |
    ----|--------------------|-------
        |     2     1        |
        |                    |               
   

5. Повторяйте шаги 3 и 4 до завершения:

        |     2     3     0   | -4
        |                     |
     -1 |          -2    -1   |  1
    ----|----------------------------
        |     2     1    -1   | -3
        |{result coefficients}|{remainder}
   

Итак, если исходное число = делитель × частное + остаток , то

$P(x)=Q(x)R(x)+s\,\!$, где

$R(x)=2x^{2}+x-1\,\!$ и $s=-3;\quad \Rightarrow 2x^{3}+3x^{2}-4=(2x^{2}+x-1)(x+1)-3\!$

Приложение к полиномиальной факторизации

Правило Руффини можно использовать, когда нужно частное многочлена P на бином вида $x-r.$ (Когда нужен только остаток, теорема о полиномиальном остатке обеспечивает более простой метод.)

Типичным примером, когда нужно частное, является факторизация полинома. $p(x)$ для которого известен корень r :

Остаток евклидова деления $p(x)$ по r равно 0 , и, если частное $q(x),$ Евклидово деление записывается как

$p(x)=q(x)\,(x-r).$

Это дает (возможно, частичную) факторизацию $p(x),$ которое можно вычислить по правилу Руффини. Затем, $p(x)$ можно дополнительно факторизовать путем факторинга $q(x).$

Основная теорема алгебры гласит, что каждый многочлен положительной степени имеет хотя бы один комплексный корень. Вышеописанный процесс показывает, что из фундаментальной теоремы алгебры следует, что каждый полином p ( x ) = a _n x ^н + а _{п -1} х ^{п -1} + ⋯ + a ₁ x + a ₀ можно разложить как

$p(x)=a_{n}(x-r_{1})\cdots (x-r_{n}),$

где $r_{1},\ldots ,r_{n}$ являются комплексными числами.

История

Метод был изобретен Паоло Руффини , принявшим участие в конкурсе, организованном Итальянским научным обществом (Сорока). Задача заключалась в том, чтобы разработать метод нахождения корней любого многочлена. Было получено пять заявок. В 1804 году Руффини получил первое место и его метод был опубликован. Позже он опубликовал уточнения своей работы в 1807 году и снова в 1813 году.

См. также

• Метод Лилля , деление графически.
• метод Горнера

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Правило Руффини» . Математический мир .
• есть медиафайлы по теме: Правление Руффини Викискладе