метод Лилля

В математике . метод Лилля это наглядный метод нахождения действительных корней одномерного многочлена любой степени — ^{[ 1 ]} Его разработал австрийский инженер Эдуард Лилль в 1867 году. ^{[ 2 ]} Более поздняя статья Лилля посвящена проблеме комплексных корней. ^{[ 3 ]}

Метод Лилля предполагает рисование пути из отрезков прямой, образующих прямые углы , с длинами, равными коэффициентам многочлена. Тогда корни многочлена можно найти как наклоны других прямоугольных путей, также соединяющих начало и конечную точку, но с вершинами на линиях первого пути.

Описание метода

Нахождение корней −1/2, −1/ √ 2 и 1/ √ 2 кубики 4 x ³+2 х ²−2 x −1, показывающий, как обрабатываются отрицательные коэффициенты и расширенные сегменты. Каждое число, изображенное на цветной линии, представляет собой отрицательный наклон своего наклона и, следовательно, является действительным корнем многочлена.

Чтобы использовать этот метод, диаграмма рисуется, начиная с начала координат. Отрезок линии рисуется вправо на величину первого коэффициента (коэффициент члена наивысшей степени) (так что при отрицательном коэффициенте сегмент заканчивается слева от начала координат). От конца первого сегмента проводится еще один сегмент вверх на величину второго коэффициента, затем влево на величину третьего, вниз на величину четвертого и так далее. Последовательность направлений (не поворотов) всегда вправо, вверх, влево, вниз, а затем повторяется. Таким образом, каждый поворот происходит против часовой стрелки. Процесс продолжается для каждого коэффициента многочлена, включая нули, при этом отрицательные коэффициенты «движутся назад». Последняя достигнутая точка в конце отрезка, соответствующего постоянному члену уравнения, является конечной точкой.

Затем линия выпускается из начала координат под некоторым углом $θ$ , отражается от каждого сегмента линии под прямым углом (не обязательно «естественным» углом отражения) и преломляется под прямым углом через линию, проходящую через каждый сегмент (включая линия для нулевых коэффициентов), когда наклонный путь не попадает в сегмент линии на этой линии. ^{[ 4 ]} Вертикальные и горизонтальные линии отражаются или преломляются в следующей последовательности: линия, содержащая отрезок, соответствующий коэффициенту $x^{n-1},$ затем из $x^{n-2},$ и т. д. Выбирая $θ$ так, чтобы путь приходил в конечную точку, отрицательный тангенс $θ$ является корнем этого многочлена. Для каждого вещественного нуля многочлена будет один уникальный начальный угол и путь, который приведет к конечной точке. Например, квадратное уравнение с двумя вещественными корнями будет иметь ровно два угла, удовлетворяющих указанным выше условиям.

Для комплексных корней также необходимо найти серию подобных треугольников, но со смещенными от полиномиального пути вершинами корневого пути на расстояние, равное мнимой части корня. В этом случае корневой путь не будет прямоугольным. ^{[ 5 ]}^{[ 3 ]}

Объяснение

По сути, конструкция оценивает полином в соответствии с методом Горнера . Для полинома $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots$ ценности $a_{n}x$ , $(a_{n}x+a_{n-1})x$ , $((a_{n}x+a_{n-1})x+a_{n-2})x,\ \dots$ последовательно генерируются как расстояния между вершинами полиномиального и корневого путей. Для корня полинома конечное значение равно нулю, поэтому последняя вершина совпадает с концом полиномиального пути.

Дополнительные свойства

Линия решения, дающая корень, аналогична конструкции Лилля для многочлена с удаленным этим корнем, поскольку визуальное построение аналогично синтетическому делению многочлена на линейную (корневую) монику ( правило Руффини ).

Из симметрии диаграммы легко видеть, что корни обращенного многочлена являются обратными исходным корням.

Конструкция также может быть выполнена с использованием поворотов по часовой стрелке вместо поворотов против часовой стрелки. Когда путь интерпретируется с использованием другого соглашения, он соответствует зеркальному полиному (меняется знак каждого нечетного коэффициента), а корни отменяются.

Когда путь под прямым углом проходит в другом направлении, но в том же направлении, он соответствует перевернутому зеркальному полиному, а корни являются отрицательными обратными величинами исходных корней. ^{[ 4 ]}

Нахождение квадратных корней с помощью теоремы Фалеса

Метод Лилля можно использовать вместе с теоремой Фалеса для нахождения действительных корней квадратного многочлена.

В этом примере с 3 x ²+5 x −2, сегменты многочлена сначала рисуются черным цветом, как указано выше. Чертится круг, отрезок прямой линии, соединяющий начальную и конечную точки, образует диаметр.

Согласно теореме Фалеса, треугольник, содержащий эти точки и любую другую точку окружности, является прямоугольным треугольником . Пересечения этого круга со средним сегментом метода Лилля, расширенным при необходимости, таким образом определяют два угловых пути в методе Лилля, окрашенные в синий и красный цвета.

Отрицательные градиенты их первых сегментов m дают действительные корни 1/3 и −2.

Нахождение корней с помощью складывания бумаги

В 1936 году Маргарита Пьяццола Белох показала, как можно адаптировать метод Лилля для решения кубических уравнений с помощью складывания бумаги . ^{[ 6 ]} Если разрешены одновременные складки, то любое уравнение n- й степени с действительным корнем можно решить, используя n –2 одновременных складки. ^{[ 7 ]}

В этом примере с 3x ³+2x ²−7x+2, отрезки многочлена сначала рисуются на листе бумаги (черный). Нарисованы линии, проходящие через отражения начальной и конечной точек второго и третьего сегментов соответственно (тусклый круг и квадрат) и параллельные им (серые линии).

Для каждого корня бумага складывается до тех пор, пока на этих линиях не отразятся начальная точка (черный кружок) и конечная точка (черный квадрат). Ось отражения (штрихпунктирная линия) определяет угловой путь, соответствующий корню (синий, фиолетовый и красный). Отрицательные градиенты их первых сегментов m дают действительные корни 1/3, 1 и -2.

См. также

Круг Карлейля , который основан на слегка модифицированной версии метода Лилля для нормированного квадрата.

Ссылки

^ Дэн Калман (2009). Необычные математические экскурсы: полиномия и смежные области . АМС. стр. 13–22 . ISBN 978-0-88385-341-2 .
^ М. Е. Лилль (1867). «Графическое решение числовых уравнений всех степеней с одним неизвестным и описание прибора, изобретенного для этой цели» (PDF) . Новые летописи математики . 2.6 . : 359–362
^ Jump up to: ^а ^б М. Е. Лилль (1868). «Графическое решение алгебраических уравнений, имеющих мнимые корни» (PDF) . Новые летописи математики . 2.7 . : 363–367
^ Jump up to: ^а ^б Брэдфорд, Филлипс Вернер. «Визуализация решений алгебраических уравнений n-й степени с использованием прямоугольных геометрических путей» . www.concentric.net. Архивировано из оригинала 2 мая 2010 года . Проверено 3 февраля 2012 г.
^ Табачников, Серж (01 марта 2017 г.). «Полиномы как многоугольники» (PDF) . Математический интеллект . 39 (1): 41–43. дои : 10.1007/s00283-016-9681-y . ISSN 1866-7414 . S2CID 126072703 .
^ Томас К. Халл (апрель 2011 г.). «Решение кубиков со складками: работа Белоха и Лилл» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 118 (4): 307–315. doi : 10.4169/amer.math.monthly.118.04.307 . S2CID 2540978 .
^ Роджер К. Альперин; Роберт Дж. Лэнг (2009). «Аксиомы одно-, двух- и многократного оригами» (PDF) . 4ОСМЕ . АК Петерс.

Внешние ссылки

[1] Дэн Калман (2009). Необычные математические экскурсы: полиномия и смежные области . АМС. стр. 13–22 . ISBN 978-0-88385-341-2 .

[2] М. Е. Лилль (1867). «Графическое решение числовых уравнений всех степеней с одним неизвестным и описание прибора, изобретенного для этой цели» (PDF) . Новые летописи математики . 2.6 . : 359–362

[:1-3] Jump up to: ^а ^б М. Е. Лилль (1868). «Графическое решение алгебраических уравнений, имеющих мнимые корни» (PDF) . Новые летописи математики . 2.7 . : 363–367

[:0-4] Jump up to: ^а ^б Брэдфорд, Филлипс Вернер. «Визуализация решений алгебраических уравнений n-й степени с использованием прямоугольных геометрических путей» . www.concentric.net. Архивировано из оригинала 2 мая 2010 года . Проверено 3 февраля 2012 г.

[5] Табачников, Серж (01 марта 2017 г.). «Полиномы как многоугольники» (PDF) . Математический интеллект . 39 (1): 41–43. дои : 10.1007/s00283-016-9681-y . ISSN 1866-7414 . S2CID 126072703 .

[6] Томас К. Халл (апрель 2011 г.). «Решение кубиков со складками: работа Белоха и Лилл» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 118 (4): 307–315. doi : 10.4169/amer.math.monthly.118.04.307 . S2CID 2540978 .

[7] Роджер К. Альперин; Роберт Дж. Лэнг (2009). «Аксиомы одно-, двух- и многократного оригами» (PDF) . 4ОСМЕ . АК Петерс.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

v т и Математика складывания бумаги
Плоский складной	Большая-маленькая-большая лемма Складка Аксиомы Хузиты – Хатори Теорема Кавасаки Теорема Маекавы Складывание карты Проблема со складыванием салфетки Чистая земля оригами Система Ёсизавы – Рэндлетта
Полоса складная	Кривая дракона Флексагон Лента Мёбиуса Обычная последовательность складывания бумаги
3d structures	Миура складка Модульное оригами Проблема с бумажным пакетом Жесткое оригами Черный фонарь Сонобе Ёсимура коробление
Многогранники	Теорема единственности Александрова Гибкий многогранник ( октаэдр Брикара , многогранник Штеффена ) Сеть Цветущий Общая сеть Развертывание источника Звезда разворачивается
Разнообразный	Теорема о сложении и разрезании метод Лилля
Публикации	Геометрические упражнения по складыванию бумаги Геометрические алгоритмы складывания Геометрическое Оригами История складывания в математике Оригами Многогранники Дизайн Оригамика
Люди	Роджер К. Альперин Маргарита Пьяццола Белох Ян Чен Роберт Коннелли Эрик Демейн Мартин Демейн Рона Гуркевиц Дэвид А. Хаффман Том Халл Коди Хусими Хумиаки Хузита Тошиказу Кавасаки Роберт Дж. Лэнг Анна Любив Джун Маэкава Корё Миура Джозеф О'Рурк Томохиро Тачи Ева Торренс