Карлайлский круг
В математике круг Карлейля — это некоторый круг в координатной плоскости, связанный с квадратным уравнением ; он назван в честь Томаса Карлейля . Круг обладает тем свойством, что решениями квадратного уравнения являются горизонтальные координаты пересечений круга с горизонтальной осью . Круги Карлейля использовались для разработки линейки и циркуля в виде конструкций правильных многоугольников .
Определение [ править ]
Учитывая квадратное уравнение
- х 2 − sx + p = 0
Окружность в координатной плоскости, имеющая в качестве диаметра отрезок, соединяющий точки A (0, 1) и B ( s , p ), называется окружностью Карлейля квадратного уравнения. [1] [2] [3]
Определение свойства [ править ]
Определяющее свойство окружности Карлейля можно установить следующим образом: уравнение окружности, диаметр которой составляет отрезок AB , равно
- Икс ( Икс - s ) + ( y - 1)( y - п ) знак равно 0.
Абсциссы являются точек пересечения окружности с осью x корнями уравнения (получены путем установки y = 0 в уравнении окружности)
- х 2 − sx + p = 0.
Построение правильных многоугольников [ править ]
Правильный пятиугольник [ править ]
Задача построения правильного пятиугольника эквивалентна задаче построения корней уравнения
- С 5 − 1 = 0.
Один корень этого уравнения равен z 0 = 1, что соответствует точке P 0 (1, 0). Убрав множитель, соответствующий этому корню, остальные корни окажутся корнями уравнения
- С 4 + я 3 + я 2 + г + 1 = 0.
Эти корни можно представить в виде ω, ω 2 , ой 3 , ой 4 где ω = exp (2 i π /5). точкам P1 , P2 Пусть , P3 . , P4 они соответствуют Сдача в аренду
- р 1 = ω + ω 4 , р 2 = ω 2 + ох 3
у нас есть
- р 1 + р 2 = −1, р 1 р 2 = −1. (В их истинности можно быстро убедиться, если подставить их в приведенную выше квартику и отметить, что ω 6 = ω, и ω 7 = о 2 .)
Значит p 1 и p 2 являются корнями квадратного уравнения
- х 2 + х - 1 = 0.
Круг Карлейля, связанный с этим квадратом, имеет диаметр с концами в точках (0, 1) и (-1, -1) и центром в точке (-1/2, 0). Круги Карлейля используются для построения p 1 и p 2 . определений p1 что и p2 Из также следует,
- р 1 = 2 cos(2 π /5), p 2 = 2 cos(4 π /5).
точек P1 , , P2 они , P3 Затем используются для P4 построения .
Подробная процедура построения правильных пятиугольников с использованием кругов Карлейля приведена ниже. [3]
- Нарисуйте круг , в который нужно вписать пятиугольник, и отметьте центральную О. точку
- Проведите горизонтальную линию через центр круга. пересечение с кругом как точку B. Отметьте одно
- Постройте вертикальную линию через центр. пересечение с кругом как точку А. Отметьте одно
- точку M как середину O и B. Постройте
- Проведите круг с центром М точку А. через Это круг Карлейля для x 2 + x − 1 = 0. Отметьте его пересечение с горизонтальной линией (внутри исходного круга) как точку W , а его пересечение вне круга — как точку V . Это точки p 1 и p 2, упомянутые выше.
- Нарисуйте круг радиуса OA центра W. и Он пересекает исходный круг в двух вершинах пятиугольника.
- Нарисуйте круг радиуса OA центра V. и Он пересекает исходный круг в двух вершинах пятиугольника.
- Пятая вершина — это пересечение горизонтальной оси с исходным кругом.
Правильный семиугольник [ править ]
Существует аналогичный метод с использованием кругов Карлейля для построения правильных семиугольников . [3] Рисунок справа иллюстрирует процедуру.
Обычный 257-угольник [ править ]
Чтобы построить правильный 257-угольник с помощью кругов Карлейля, необходимо построить не менее 24 кругов Карлейля. Одним из них является круг для решения квадратного уравнения x 2 + х - 64 = 0. [3]
Обычный 65537-гон [ править ]
Существует процедура с использованием кругов Карлейля для построения правильного 65537-угольника . Однако существуют практические проблемы при реализации этой процедуры; например, требуется построение круга Карлейля для решения квадратного уравнения x 2 + х - 2 14 = 0. [3]
История [ править ]
По словам Говарда Ивса (1911–2004), математик Джон Лесли (1766–1832) описал геометрическое построение корней квадратного уравнения с окружностью в своей книге «Элементы геометрии» и отметил, что эту идею высказал его бывший ученик Томас Карлейль (1795–1881). [4] Однако хотя описание в книге Лесли содержит аналогичную конструкцию круга, оно было представлено исключительно в элементарных геометрических терминах без понятия декартовой системы координат или квадратичной функции и ее корней: [5]
Разделить прямую линию внутри или снаружи так, чтобы прямоугольник под ее сегментами был эквивалентен данному прямоугольнику.
- Джон Лесли, Элементы геометрии , подп. XVII, с. 176 [5]
В 1867 году австрийский инженер Эдуард Лилль опубликовал графический метод определения корней многочлена ( метод Лилля ). [6] Если его применить к квадратичной функции, то получится фигура трапеции из решения Карлейля проблемы Лесли (см. рисунок), одна из сторон которой равна диаметру круга Карлейля. В статье 1925 года Г. А. Миллер отметил, что небольшая модификация метода Лилля, примененная к нормированной квадратичной функции, дает круг, который позволяет геометрическое построение корней этой функции, и дал явное современное определение того, что позже было названо Карлейлем. круг. [7]
Ивс использовал круг в современном понимании в одном из упражнений своей книги « Введение в историю математики» (1953) и указал на связь с Лесли и Карлейлем. [4] В более поздних публикациях начали использоваться названия «круг Карлайла» , «метод Карлайла» или «алгоритм Карлайла» , хотя в немецкоязычных странах термин «круг Лилля» ( Lill-Kreis ). также используется [8] ДеТемпл использовал в 1989 и 1991 годах круги Карлейля для разработки конструкций циркуля и линейки для правильных многоугольников, в частности пятиугольника , семиугольника , 257-угольника и 65537-угольника . Ладислав Беран описал в 1999 году, как круг Карлейля можно использовать для построения комплексных корней нормированной квадратичной функции. [9]
Ссылки [ править ]
- ^ Э. Джон Хорнсби-младший: Геометрические и графические решения квадратных уравнений . Математический журнал колледжа, Vol. 21, № 5 (ноябрь 1990 г.), стр. 362–369 ( JSTOR )
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Карлайл Серкл» . Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram . Проверено 21 мая 2013 г.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д и ДеТемпл, Дуэйн В. (февраль 1991 г.). «Окружности Карлейля и простота Лемуана многоугольных конструкций» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 98 (2): 97–208. дои : 10.2307/2323939 . JSTOR 2323939 . Архивировано из оригинала (PDF) 21 декабря 2015 г. Проверено 6 ноября 2011 г. ( ДЖСТОР )
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б См., например, Хорнсби, ДеТемпл или Говард Ивс: Введение в историю математики . Холт, Райнхарт и Уинстон, 3-е издание, 1969 г., стр. 73
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Джон Лесли: Элементы геометрии и плоской тригонометрии: с приложением, многочисленными примечаниями и иллюстрациями . Archibald Constable & Co, 3. Ausgabe, 1817, стр. 176, 340 ( онлайн-копия (Google) ). Заметим, что комментарий о Карлейле не содержится в более ранних изданиях книги (1809, 1811 гг.).
- ^ Лилль, Э. (1867). «Графическое решение числовых уравнений всех степеней, имеющих одно неизвестное, и описание изобретенного для этой цели прибора» . Новые летописи математики . 2-я серия (на французском языке). 6 :359–362.
- ^ Г. А. Миллер: Геометрическое решение квадратного уравнения . Математический вестник, Vol. 12, № 179 (декабрь 1925 г.), стр. 500–501 ( JSTOR )
- ^ Райнер Каендерс (ред.), Рейнхард Шмидт (ред.): Узнайте больше о математике с помощью GeoGebra . Springer Spektrum, 2-е издание, 2014 г., ISBN 978-3-658-04222-6 , стр. 68-71 (немецкий)
- ^ Ладислав Беран: Комплексные корни квадратного из круга . Математический вестник, Vol. 83, № 497 (июль 1999 г.), стр. 287–291 ( JSTOR ).
