Cartesian coordinate system

Illustration of a Cartesian coordinate plane. Four points are marked and labeled with their coordinates: (2, 3) in green, (−3, 1) in red, (−1.5, −2.5) in blue, and the origin (0, 0) in purple.

In geometry, a Cartesian coordinate system (UK: /kɑːrˈtiːzjən/, US: /kɑːrˈtiːʒən/) in a plane is a coordinate system that specifies each point uniquely by a pair of real numbers called coordinates, which are the signed distances to the point from two fixed perpendicular oriented lines, called coordinate lines, coordinate axes or just axes (plural of axis) of the system. The point where they meet is called the origin and has $(0, 0)$ as coordinates.

Similarly, the position of any point in three-dimensional space can be specified by three Cartesian coordinates, which are the signed distances from the point to three mutually perpendicular planes. More generally, $n$ Cartesian coordinates specify the point in an $n$ -dimensional Euclidean space for any dimension $n$ . These coordinates are the signed distances from the point to $n$ mutually perpendicular fixed hyperplanes.

Cartesian coordinate system with a circle of radius 2 centered at the origin marked in red. The equation of a circle is (x − a)² + (y − b)² = r² where a and b are the coordinates of the center (a, b) and r is the radius.

Cartesian coordinates are named for René Descartes, whose invention of them in the 17th century revolutionized mathematics by allowing the expression of problems of geometry in terms of algebra and calculus. Using the Cartesian coordinate system, geometric shapes (such as curves) can be described by equations involving the coordinates of points of the shape. For example, a circle of radius 2, centered at the origin of the plane, may be described as the set of all points whose coordinates $x$ and $y$ satisfy the equation $x 2 + y 2 = 4$ ; the area, the perimeter and the tangent line at any point can be computed from this equation by using integrals and derivatives, in a way that can be applied to any curve.

Cartesian coordinates are the foundation of analytic geometry, and provide enlightening geometric interpretations for many other branches of mathematics, such as linear algebra, complex analysis, differential geometry, multivariate calculus, group theory and more. A familiar example is the concept of the graph of a function. Cartesian coordinates are also essential tools for most applied disciplines that deal with geometry, including astronomy, physics, engineering and many more. They are the most common coordinate system used in computer graphics, computer-aided geometric design and other geometry-related data processing.

History[edit]

The adjective Cartesian refers to the French mathematician and philosopher René Descartes, who published this idea in 1637 while he was resident in the Netherlands. It was independently discovered by Pierre de Fermat, who also worked in three dimensions, although Fermat did not publish the discovery.^[1] The French cleric Nicole Oresme used constructions similar to Cartesian coordinates well before the time of Descartes and Fermat.^[2]

Both Descartes and Fermat used a single axis in their treatments and have a variable length measured in reference to this axis.^[3] The concept of using a pair of axes was introduced later, after Descartes' La Géométrie was translated into Latin in 1649 by Frans van Schooten and his students. These commentators introduced several concepts while trying to clarify the ideas contained in Descartes's work.^[4]

The development of the Cartesian coordinate system would play a fundamental role in the development of the calculus by Isaac Newton and Gottfried Wilhelm Leibniz.^[5] The two-coordinate description of the plane was later generalized into the concept of vector spaces.^[6]

Many other coordinate systems have been developed since Descartes, such as the polar coordinates for the plane, and the spherical and cylindrical coordinates for three-dimensional space.

Description[edit]

One dimension[edit]

An affine line with a chosen Cartesian coordinate system is called a number line. Every point on the line has a real-number coordinate, and every real number represents some point on the line.

There are two degrees of freedom in the choice of Cartesian coordinate system for a line, which can be specified by choosing two distinct points along the line and assigning them to two distinct real numbers (most commonly zero and one). Other points can then be uniquely assigned to numbers by linear interpolation. Equivalently, one point can be assigned to a specific real number, for instance an origin point corresponding to zero, and an oriented length along the line can be chosen as a unit, with the orientation indicating the correspondence between directions along the line and positive or negative numbers.^[7] Each point corresponds to its signed distance from the origin (a number with an absolute value equal to the distance and a $+$ or $-$ sign chosen based on direction).

A geometric transformation of the line can be represented by a function of a real variable, for example translation of the line corresponds to addition, and scaling the line corresponds to multiplication. Any two Cartesian coordinate systems on the line can be related to each-other by a linear function (function of the form $x\mapsto ax+b$ ) taking a specific point's coordinate in one system to its coordinate in the other system. Choosing a coordinate system for each of two different lines establishes an affine map from one line to the other taking each point on one line to the point on the other line with the same coordinate.

Two dimensions[edit]

A Cartesian coordinate system in two dimensions (also called a rectangular coordinate system or an orthogonal coordinate system^[8]) is defined by an ordered pair of perpendicular lines (axes), a single unit of length for both axes, and an orientation for each axis. The point where the axes meet is taken as the origin for both, thus turning each axis into a number line. For any point P, a line is drawn through P perpendicular to each axis, and the position where it meets the axis is interpreted as a number. The two numbers, in that chosen order, are the Cartesian coordinates of P. The reverse construction allows one to determine the point P given its coordinates.

The first and second coordinates are called the abscissa and the ordinate of P, respectively; and the point where the axes meet is called the origin of the coordinate system. The coordinates are usually written as two numbers in parentheses, in that order, separated by a comma, as in (3, −10.5). Thus the origin has coordinates (0, 0), and the points on the positive half-axes, one unit away from the origin, have coordinates (1, 0) and (0, 1).

In mathematics, physics, and engineering, the first axis is usually defined or depicted as horizontal and oriented to the right, and the second axis is vertical and oriented upwards. (However, in some computer graphics contexts, the ordinate axis may be oriented downwards.) The origin is often labeled O, and the two coordinates are often denoted by the letters X and Y, or x and y. The axes may then be referred to as the X-axis and Y-axis. The choices of letters come from the original convention, which is to use the latter part of the alphabet to indicate unknown values. The first part of the alphabet was used to designate known values.

A Euclidean plane with a chosen Cartesian coordinate system is called a Cartesian plane. In a Cartesian plane, one can define canonical representatives of certain geometric figures, such as the unit circle (with radius equal to the length unit, and center at the origin), the unit square (whose diagonal has endpoints at (0, 0) and (1, 1)), the unit hyperbola, and so on.

The two axes divide the plane into four right angles, called quadrants. The quadrants may be named or numbered in various ways, but the quadrant where all coordinates are positive is usually called the first quadrant.

If the coordinates of a point are (x, y), then its distances from the X-axis and from the Y-axis are |y| and |x|, respectively; where | · | denotes the absolute value of a number.

Three dimensions[edit]

A Cartesian coordinate system for a three-dimensional space consists of an ordered triplet of lines (the axes) that go through a common point (the origin), and are pair-wise perpendicular; an orientation for each axis; and a single unit of length for all three axes. As in the two-dimensional case, each axis becomes a number line. For any point P of space, one considers a hyperplane through P perpendicular to each coordinate axis, and interprets the point where that hyperplane cuts the axis as a number. The Cartesian coordinates of P are those three numbers, in the chosen order. The reverse construction determines the point P given its three coordinates.

Alternatively, each coordinate of a point P can be taken as the distance from P to the hyperplane defined by the other two axes, with the sign determined by the orientation of the corresponding axis.

Each pair of axes defines a coordinate hyperplane. These hyperplanes divide space into eight octants. The octants are:

{\begin{aligned}(+x,+y,+z)&&(-x,+y,+z)&&(+x,-y,+z)&&(+x,+y,-z)\\(+x,-y,-z)&&(-x,+y,-z)&&(-x,-y,+z)&&(-x,-y,-z)\end{aligned}}

The coordinates are usually written as three numbers (or algebraic formulas) surrounded by parentheses and separated by commas, as in $(3, -2.5, 1)$ or $(t, u + v, π /2)$ . Thus, the origin has coordinates $(0, 0, 0)$ , and the unit points on the three axes are $(1, 0, 0)$ , $(0, 1, 0)$ , and $(0, 0, 1)$ .

There are no standard names for the coordinates in the three axes (however, the terms abscissa, ordinate and applicate are sometimes used). The coordinates are often denoted by the letters X, Y, and Z, or x, y, and z. The axes may then be referred to as the X-axis, Y-axis, and Z-axis, respectively. Then the coordinate hyperplanes can be referred to as the XY-plane, YZ-plane, and XZ-plane.

In mathematics, physics, and engineering contexts, the first two axes are often defined or depicted as horizontal, with the third axis pointing up. In that case the third coordinate may be called height or altitude. The orientation is usually chosen so that the 90 degree angle from the first axis to the second axis looks counter-clockwise when seen from the point $(0, 0, 1)$ ; a convention that is commonly called the right-hand rule.

Higher dimensions[edit]

Поскольку декартовы координаты уникальны и однозначны, точки декартовой плоскости можно идентифицировать с парами действительных чисел ; то есть с декартовым произведением $\mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ , где $\mathbb {R}$ представляет собой совокупность всех действительных чисел. Точно так же точки в любом евклидовом пространстве размерности n можно отождествить с наборами (списками) из n действительных чисел; то есть с декартовым произведением $\mathbb {R} ^{n}$ .

Обобщения [ править ]

Концепция декартовых координат обобщается, позволяя использовать оси, которые не перпендикулярны друг другу, и/или разные единицы измерения вдоль каждой оси. В этом случае каждая координата получается путем проецирования точки на одну ось в направлении, параллельном другой оси (или, вообще, гиперплоскости, определяемой всеми остальными осями). В такой наклонной системе координат вычисления расстояний и углов должны быть изменены по сравнению с расчетами в стандартных декартовых системах, и многие стандартные формулы (например, формула Пифагора для расстояния) не выполняются (см. Аффинную плоскость ).

Обозначения и соглашения [ править ]

Декартовы координаты точки обычно записываются в скобках и разделяются запятыми, например (10, 5) или (3, 5, 7) . Происхождение часто обозначается заглавной О. буквой В аналитической геометрии неизвестные или общие координаты часто обозначаются буквами ( x , y ) на плоскости и ( x , y , z ) в трехмерном пространстве. Этот обычай исходит из алгебраического соглашения, согласно которому буквы в конце алфавита используются для обозначения неизвестных величин (например, координаты точек во многих геометрических задачах), а буквы в начале — для заданных величин.

Эти условные имена часто используются в других областях, таких как физика и техника, хотя могут использоваться и другие буквы. Например, на графике, показывающем, как давление меняется со временем , координаты графика могут обозначаться p и t . Каждая ось обычно называется по координате, отсчитываемой вдоль нее; поэтому говорят: ось X , ось Y , ось T и т. д.

Другое распространенное соглашение об именовании координат — использование индексов, таких как ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) для n координат в n -мерном пространстве, особенно когда n больше 3 или не указано. Некоторые авторы предпочитают нумерацию ( x ₀ , x ₁ , ..., x _{n −1} ). Эти обозначения особенно выгодны в компьютерном программировании : сохраняя координаты точки в виде массива , а не записи , нижний индекс может служить для индексации координат.

В математических иллюстрациях двумерных декартовых систем первая координата (традиционно называемая абсциссой ) измеряется вдоль горизонтальной оси, ориентированной слева направо. Вторая координата ( ордината ) затем измеряется вдоль вертикальной оси, обычно ориентированной снизу вверх. Маленькие дети, изучающие декартову систему, обычно изучают порядок чтения значений, прежде чем закреплять концепции осей x , y и z , начиная с двухмерной мнемоники (например, «Иди по коридору, затем поднимись по лестнице», что похоже на прямо поперек оси X , затем вверх вертикально вдоль оси Y ).

Однако компьютерная графика и обработка изображений часто используют систему координат с осью Y , ориентированной вниз на дисплее компьютера. Это соглашение было разработано в 1960-х годах (или раньше) на основе того, как изображения изначально хранились в буферах дисплея .

Для трехмерных систем принято изображать плоскость xy горизонтально с добавлением оси z для обозначения высоты (положительная вверх). Более того, существует соглашение об ориентации оси X по отношению к зрителю, смещенной вправо или влево. Если на диаграмме ( 3D-проекция или 2D-перспективный рисунок ) оси X и Y показаны горизонтально и вертикально соответственно, то ось Z должна быть показана направленной «за пределы страницы» в сторону зрителя или камеры. В такой двумерной диаграмме трехмерной системы координат ось z будет выглядеть как линия или луч, указывающий вниз и влево или вниз и вправо, в зависимости от предполагаемого зрителя или перспективы камеры . На любой диаграмме или отображении ориентация трех осей в целом произвольна. Однако ориентация осей относительно друг друга всегда должна соответствовать правилу правой руки , если специально не указано иное. Все законы физики и математики предполагают эту праворукость , что обеспечивает последовательность.

В трехмерных диаграммах названия «абсцисса» и «ордината» редко используются для x и y соответственно. Когда это так, координату z иногда называют аппликатом . Слова абсцисса , ордината и аппликат иногда используются для обозначения осей координат, а не значений координат. ^[8]

Квадранты и октанты [ править ]

Оси двумерной декартовой системы делят плоскость на четыре бесконечные области, называемые квадрантами . ^[8]каждая ограничена двумя полуосями. Они часто нумеруются от 1-го до 4-го и обозначаются римскими цифрами : I (где обе координаты имеют положительные знаки), II (где абсцисса отрицательна -, а ордината положительна +), III (где и абсцисса, и ордината являются -) и IV (абсцисса +, ордината -). При построении осей по математическому обычаю нумерация идет против часовой стрелки, начиная с правого верхнего («северо-восточного») квадранта.

Точно так же трехмерная декартова система определяет деление пространства на восемь областей или октантов . ^[8]по знакам координат точек. Соглашение, используемое для обозначения определенного октанта, заключается в перечислении его знаков; например, (+ + +) или (− + −) . Обобщением квадранта и октанта на произвольное количество измерений является ортант , и применяется аналогичная система именования.

Декартовы формулы для плоскости [ править ]

Расстояние между двумя точками [ править ]

Евклидово расстояние между двумя точками плоскости с декартовыми координатами $(x_{1},y_{1})$ и $(x_{2},y_{2})$ является

d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.

Это картезианская версия теоремы Пифагора . В трехмерном пространстве расстояние между точками $(x_{1},y_{1},z_{1})$ и $(x_{2},y_{2},z_{2})$ является

d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}},

которое можно получить двумя последовательными применениями теоремы Пифагора. ^[9]

Евклидовы преобразования [ править ]

Евклидовы преобразования или евклидовы движения — это ( биективные ) отображения точек евклидовой плоскости в себя, которые сохраняют расстояния между точками. Существует четыре типа этих отображений (также называемых изометриями): перемещения , вращения , отражения и скользящие отражения . ^[10]

Перевод [ править ]

Перевод набора точек плоскости с сохранением расстояний и направлений между ними эквивалентен добавлению фиксированной пары чисел ( a , b ) к декартовым координатам каждой точки набора. То есть, если исходные координаты точки ( x , y ) , после перевода они будут

(x',y')=(x+a,y+b).

Ротация [ править ]

Повернуть вокруг фигуру против часовой стрелки начала координат на некоторый угол $\theta$ эквивалентно замене каждой точки с координатами ( x , y ) на точку с координатами ( x' , y' ), где

{\begin{aligned}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta \\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta .\end{aligned}}

Таким образом:

(x',y')=((x\cos \theta -y\sin \theta \,),(x\sin \theta +y\cos \theta \,)).

Отражение [ править ]

Если ( x , y ) — декартовы координаты точки, то (− x , y ) — координаты ее отражения через вторую ось координат (ось y), как если бы эта линия была зеркалом. Аналогично, ( x , − y ) являются координатами его отражения через первую ось координат (ось x). В более общем смысле, отражение от линии, проходящей через начало координат, образующей угол. $\theta$ с осью x, эквивалентно замене каждой точки с координатами ( x , y ) на точку с координатами ( x ′, y ′) , где

{\begin{aligned}x'&=x\cos 2\theta +y\sin 2\theta \\y'&=x\sin 2\theta -y\cos 2\theta .\end{aligned}}

Таким образом:

(x',y')=((x\cos 2\theta +y\sin 2\theta \,),(x\sin 2\theta -y\cos 2\theta \,)).

Скольжение отражения [ править ]

Скользящее отражение — это композиция отражения поперек линии с последующим перемещением в направлении этой линии. Видно, что порядок этих операций не имеет значения (сначала может идти перевод, а затем отражение).

Общая матричная форма преобразований [ править ]

Все аффинные преобразования плоскости можно единообразно описать с помощью матриц. Для этого координаты $(x,y)$ точки обычно представляются в виде матрицы-столбца ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.$ Результат $(x',y')$ применения аффинного преобразования к точке $(x,y)$ определяется формулой

{\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+b,

где

A={\begin{pmatrix}A_{1,1}&A_{1,2}\\A_{2,1}&A_{2,2}\end{pmatrix}}

2×2 представляет собой матрицу и

b={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}

представляет собой матрицу-столбец. ^[11] То есть,

{\begin{aligned}x'&=xA_{1,1}+yA_{1,1}+b_{1}\\y'&=xA_{2,1}+yA_{2,2}+b_{2}.\end{aligned}}

Среди аффинных преобразований евклидовы преобразования характеризуются тем, что матрица $A$ является ортогональным ; то есть его столбцы являются ортогональными векторами евклидовой нормы один, или, явно,

A_{1,1}A_{1,2}+A_{2,1}A_{2,2}=0

и

A_{1,1}^{2}+A_{2,1}^{2}=A_{1,2}^{2}+A_{2,2}^{2}=1.

Это эквивалентно утверждению, что $A$ , умноженное на транспонирование , является единичной матрицей . Если эти условия не выполняются, формула описывает более общее аффинное преобразование .

Преобразование является переводом тогда и только тогда, когда $A$ является единичной матрицей . Преобразование является вращением вокруг некоторой точки тогда и только тогда, когда $A$ является матрицей вращения , что означает, что она ортогональна и

A_{1,1}A_{2,2}-A_{2,1}A_{1,2}=1.

Отражение или скользящее отражение получается, когда:

A_{1,1}A_{2,2}-A_{2,1}A_{1,2}=-1.

Предполагая, что переводы не используются (т. $b_{1}=b_{2}=0$ ) преобразования могут быть составлены путем простого умножения соответствующих матриц преобразования. В общем случае полезно использовать расширенную матрицу преобразования; то есть переписать формулу преобразования

{\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}}=A'{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}},

где

A'={\begin{pmatrix}A_{1,1}&A_{1,2}&b_{1}\\A_{2,1}&A_{2,2}&b_{2}\\0&0&1\end{pmatrix}}.

С помощью этого трюка композиция аффинных преобразований получается путем умножения расширенных матриц.

Аффинное преобразование [ править ]

Аффинные преобразования евклидовой плоскости — это преобразования, которые отображают линии в линии, но могут изменять расстояния и углы. Как сказано в предыдущем разделе, их можно представить с помощью расширенных матриц:

{\begin{pmatrix}A_{1,1}&A_{2,1}&b_{1}\\A_{1,2}&A_{2,2}&b_{2}\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}}.

Евклидовы преобразования — это аффинные преобразования, такие, что матрица 2 × 2 $A_{i,j}$ является ортогональным .

Расширенная матрица, представляющая собой композицию двух аффинных преобразований, получается перемножением их расширенных матриц.

Некоторые аффинные преобразования, не являющиеся евклидовыми преобразованиями, получили особые названия.

Масштабирование [ править ]

Примером аффинного преобразования, которое не является евклидовым, является масштабирование. Увеличение или уменьшение фигуры эквивалентно умножению декартовых координат каждой точки на одно и то же положительное число m . Если ( x , y ) — координаты точки на исходной фигуре, соответствующая точка на масштабированной фигуре имеет координаты

(x',y')=(mx,my).

Если m больше 1, цифра становится больше; если m находится между 0 и 1, оно становится меньше.

стрижка [ править ]

Преобразование сдвига сдвинет верхнюю часть квадрата в сторону, образуя параллелограмм. Горизонтальный сдвиг определяется:

(x',y')=(x+ys,y)

Сдвиг также можно применять вертикально:

(x',y')=(x,xs+y)

Ориентация и рука [ править ]

В двух измерениях [ править ]

Фиксация или выбор оси x определяет ось y с точностью до направления. А именно, ось y обязательно является перпендикуляром к оси x через точку, отмеченную цифрой 0 на оси x . Но есть выбор, какую из двух полупрямых на перпендикуляре обозначить положительной, а какую отрицательной. Каждый из этих двух вариантов определяет различную ориентацию (также называемую направленностью ) декартовой плоскости.

Обычный способ ориентации плоскости, при котором положительная ось X направлена вправо, а положительная ось Y — вверх (при этом ось X является «первой», а ось Y — «второй» осью), считается положительная или стандартная ориентация, также называемая правосторонней ориентацией.

Обычно используемая мнемоника для определения положительной ориентации — это правило правой руки . Положив несколько сомкнутую правую руку на плоскость большим пальцем вверх, пальцы указывают от оси x к оси y в положительно ориентированной системе координат.

Другой способ ориентации плоскости — следовать правилу левой руки : положить левую руку на плоскость большим пальцем вверх.

Когда большой палец направлен от начала координат вдоль оси в сторону положительного момента, кривизна пальцев указывает на положительное вращение вдоль этой оси.

Независимо от правила, используемого для ориентации плоскости, вращение системы координат сохранит ориентацию. Переключение любой одной оси изменит ориентацию, но переключение обеих оставит ориентацию неизменной.

В трёх измерениях [ править ]

После x и y указания осей они определяют линию , вдоль которой должна лежать ось z , но для этой линии есть две возможные ориентации. Две возможные системы координат, которые возникают в результате, называются «правосторонней» и «левой». ^[12] Стандартная ориентация, при которой плоскость xy горизонтальна, а ось z направлена вверх (а оси x и y образуют положительно ориентированную двумерную систему координат в плоскости xy , если наблюдать сверху плоскости xy ) . ) называется правым или положительным .

Название происходит от правила правой руки . Если указательный палец правой руки направлен вперед, средний палец согнут внутрь под прямым углом к нему, а большой палец расположен под прямым углом к обоим, то три пальца обозначают взаимную ориентацию х- , у- , и z - оси в правосторонней системе. Большой палец указывает ось X , указательный палец — ось Y , а средний палец — Z. ось И наоборот, если то же самое сделать левой рукой, получится левосторонняя система.

На рисунке 7 изображены левая и правая системы координат. Поскольку трехмерный объект представлен на двухмерном экране, возникают искажения и неоднозначность. Ось, направленная вниз (и вправо), также должна указывать на наблюдателя, тогда как «средняя» ось должна указывать от наблюдателя. Красный круг параллелен горизонтальной плоскости xy и указывает вращение от оси x к оси y (в обоих случаях). Следовательно, красная стрелка проходит перед осью z .

Рисунок 8 представляет собой еще одну попытку изобразить правую систему координат. Опять же, возникает неясность, вызванная проецированием трехмерной системы координат на плоскость. Многие наблюдатели рассматривают рисунок 8 как «переворачивание» между выпуклым кубом и вогнутым «углом». Это соответствует двум возможным ориентациям пространства. Если рассматривать фигуру как выпуклую, получается левая система координат. Таким образом, «правильный» способ просмотра рисунка 8 — это представить ось X направленной на наблюдателя и, таким образом, видеть вогнутый угол.

Представление вектора в стандартном базисе [ править ]

Точка в пространстве в декартовой системе координат также может быть представлена вектором положения , который можно рассматривать как стрелку, указывающую от начала системы координат к точке. ^[13] Если координаты представляют пространственные положения (смещения), вектор от начала координат до точки интереса обычно представляют как $\mathbf {r}$ . В двух измерениях вектор от начала координат до точки с декартовыми координатами (x, y) можно записать как:

\mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} ,

где $\mathbf {i} ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ и $\mathbf {j} ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ представляют собой единичные векторы в направлении осей x и y соответственно, обычно называемые стандартным базисом (в некоторых областях применения они также могут называться версорами ). Аналогично, в трех измерениях вектор от начала координат до точки с декартовыми координатами $(x,y,z)$ можно записать как: ^[14]

\mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} ,

where $\mathbf {i} ={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},$ $\mathbf {j} ={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},$ and $\mathbf {k} ={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}.$

There is no natural interpretation of multiplying vectors to obtain another vector that works in all dimensions, however there is a way to use complex numbers to provide such a multiplication. In a two-dimensional cartesian plane, identify the point with coordinates (x, y) with the complex number z = x + iy. Here, i is the imaginary unit and is identified with the point with coordinates (0, 1), so it is not the unit vector in the direction of the x-axis. Since the complex numbers can be multiplied giving another complex number, this identification provides a means to "multiply" vectors. In a three-dimensional cartesian space a similar identification can be made with a subset of the quaternions.

Citations[edit]

^ Bix, Robert A.; D'Souza, Harry J. "Analytic geometry". Encyclopædia Britannica. Retrieved 6 August 2017.
^ Kent & Vujakovic 2017, See here
^ Katz, Victor J. (2009). A history of mathematics: an introduction (3rd ed.). Boston: Addison-Wesley. p. 484. ISBN 978-0-321-38700-4. OCLC 71006826.
^ Burton 2011, p. 374.
^ Berlinski 2011
^ Axler 2015, p. 1
^ Consider the two rays or half-lines resulting from splitting the line at the origin. One of the half-lines can be assigned to positive numbers, and the other half-line to negative numbers.
^ Jump up to: ^a ^b ^c ^d "Cartesian orthogonal coordinate system". Encyclopedia of Mathematics. Retrieved 6 August 2017.
^ Hughes-Hallett, McCallum & Gleason 2013
^ Smart 1998, Chap. 2
^ Brannan, Esplen & Gray 1998, pg. 49
^ Anton, Bivens & Davis 2021, p. 657
^ Brannan, Esplen & Gray 1998, Appendix 2, pp. 377–382
^ Гриффитс 1999

Общие и цитируемые ссылки [ править ]

Экслер, Шелдон (2015). Линейная алгебра сделана правильно . Тексты для бакалавриата по математике. Спрингер. дои : 10.1007/978-3-319-11080-6 . ISBN 978-3-319-11079-0 . Архивировано из оригинала 27 мая 2022 года . Проверено 17 апреля 2022 г.
Берлински, Дэвид (2011). Экскурсия по исчислению . Издательская группа Кнопфа Doubleday. ISBN 9780307789730 .
Браннан, Дэвид А.; Эсплен, Мэтью Ф.; Грей, Джереми Дж. (1998). Геометрия . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-59787-6 .
Бертон, Дэвид М. (2011). История математики/Введение (7-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-338315-6 .
Гриффитс, Дэвид Дж. (1999). Введение в электродинамику . Прентис Холл. ISBN 978-0-13-805326-0 .
Хьюз-Халлетт, Дебора; МакКаллум, Уильям Г.; Глисон, Эндрю М. (2013). Исчисление: одно- и многомерное (6-е изд.). Джон Уайли и сыновья . ISBN 978-0470-88861-2 .
Кент, Александр Дж.; Вуякович, Питер (4 октября 2017 г.). Справочник Routledge по картографии и картографии . Рутледж. ISBN 9781317568216 .
Смарт, Джеймс Р. (1998), Современная геометрия (5-е изд.), Pacific Grove: Brooks/Cole, ISBN 978-0-534-35188-5
Антон, Ховард; Бивенс, Ирландия К.; Дэвис, Стивен (2021). Исчисление: многомерное . Джон Уайли и сыновья . п. 657. ИСБН 978-1-119-77798-4 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Декарт, Рене (2001). Рассуждения о методе, оптике, геометрии и метеорологии . Перевод Пола Дж. Оскампа (пересмотренная редакция). Индианаполис, Индиана: Hackett Publishing. ISBN 978-0-87220-567-3 . OCLC 488633510 .
Корн Г.А., Корн ТМ (1961). Математический справочник для ученых и инженеров (1-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 55–79 . LCCN 59-14456 . OCLC 19959906 .
Маргенау Х. , Мерфи Г.М. (1956). Математика физики и химии . Нью-Йорк: Д. ван Ностранд. LCCN 55-10911 .
Мун П., Спенсер Д.Э. (1988). «Прямоугольные координаты (x, y, z)». Справочник по теории поля, включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения (исправленное 2-е, 3-е печатные изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 9–11 (табл. 1.01). ISBN 978-0-387-18430-2 .
Морс П.М. , Фешбах Х. (1953). Методы теоретической физики. Часть I. Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-043316-8 . LCCN 52-11515 .
Зауэр Р., Сабо I (1967). Математический инструментарий инженера . Нью-Йорк: Springer Verlag. LCCN 67-25285 .

Внешние ссылки [ править ]

Декартова система координат
Вайсштейн, Эрик В. «Декартовы координаты» . Математический мир .
Конвертер координат – преобразует полярные, декартовы и сферические координаты.
Координаты точки – интерактивный инструмент для изучения координат точки.
open source JavaScript class for 2D/3D Cartesian coordinate system manipulation

[1] Bix, Robert A.; D'Souza, Harry J. "Analytic geometry". Encyclopædia Britannica. Retrieved 6 August 2017.

[2] Kent & Vujakovic 2017, See here

[3] Katz, Victor J. (2009). A history of mathematics: an introduction (3rd ed.). Boston: Addison-Wesley. p. 484. ISBN 978-0-321-38700-4. OCLC 71006826.

[4] Burton 2011, p. 374.

[5] Berlinski 2011

[6] Axler 2015, p. 1

[7] Consider the two rays or half-lines resulting from splitting the line at the origin. One of the half-lines can be assigned to positive numbers, and the other half-line to negative numbers.

[:0-8] Jump up to: ^a ^b ^c ^d "Cartesian orthogonal coordinate system". Encyclopedia of Mathematics. Retrieved 6 August 2017.

[9] Hughes-Hallett, McCallum & Gleason 2013

[10] Smart 1998, Chap. 2

[11] Brannan, Esplen & Gray 1998, pg. 49

[12] Anton, Bivens & Davis 2021, p. 657

[13] Brannan, Esplen & Gray 1998, Appendix 2, pp. 377–382

[14] Гриффитс 1999

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

v t e Orthogonal coordinate systems
Two dimensional	Cartesian Polar (Log-polar) Parabolic Bipolar Elliptic
Three dimensional	Cartesian Cylindrical Spherical Parabolic Paraboloidal Oblate spheroidal Prolate spheroidal Ellipsoidal Elliptic cylindrical Toroidal Bispherical Bipolar cylindrical Conical 6-sphere