Наклон координат

Система косых координат — это криволинейная система координат , в которой координатные поверхности не ортогональны . в отличие от ортогональных координат .

С косыми координатами, как правило, сложнее работать по сравнению с ортогональными координатами, поскольку метрический тензор будет иметь ненулевые недиагональные компоненты, что предотвращает многие упрощения в формулах тензорной алгебры и тензорного исчисления . Ненулевые недиагональные компоненты метрического тензора являются прямым результатом неортогональности базисных векторов координат, поскольку по определению:

$g_{ij}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}$

где $g_{ij}$ – метрический тензор и $\mathbf {e} _{i}$ (ковариантные) базисные векторы .

Эти системы координат могут быть полезны, если геометрия задачи хорошо вписывается в асимметричную систему. Например, решение уравнения Лапласа в параллелограмме будет проще всего, если оно выполняется в соответствующих координатах.

Декартовы координаты с одной наклоненной осью

Система координат, в которой ось x изогнута к оси z .

Простейшим трехмерным случаем косой системы координат является декартова система, в которой одна из осей (скажем, ось x ) изогнута на некоторый угол. $\phi$, оставаясь ортогональным одной из двух оставшихся осей. В этом примере ось x декартовой координаты была изогнута к оси z на $\phi$, оставаясь ортогональным оси y .

Алгебра и полезные величины

Позволять $\mathbf {e} _{1}$, $\mathbf {e} _{2}$, и $\mathbf {e} _{3}$ соответственно будут единичными векторами вдоль $x$, $y$, и $z$ топоры. Они представляют собой ковариантный базис; вычисление их скалярных произведений дает метрический тензор :

$[g_{ij}]={\begin{pmatrix}1&0&\sin(\phi )\\0&1&0\\\sin(\phi )&0&1\end{pmatrix}},\qquad [g^{ij}]={\frac {1}{\cos ^{2}(\phi )}}{\begin{pmatrix}1&0&-\sin(\phi )\\0&\cos ^{2}(\phi )&0\\-\sin(\phi )&0&1\end{pmatrix}}$

где

$\quad g_{13}=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\phi \right)=\sin(\phi )$

и

${\sqrt {g}}=\mathbf {e} _{1}\cdot (\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3})=\cos(\phi )$

Это величины, которые пригодятся в дальнейшем.

Контравариантный базис задается формулой

$\mathbf {e} ^{1}={\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{\sqrt {g}}}={\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{\cos(\phi )}}$

$\mathbf {e} ^{2}={\frac {\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1}}{\sqrt {g}}}=\mathbf {e} _{2}$

$\mathbf {e} ^{3}={\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{\sqrt {g}}}={\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{\cos(\phi )}}$

Контравариантный базис не очень удобен в использовании, однако он проявляется в определениях, поэтому его следует учитывать. Мы предпочитаем писать количества с учетом ковариантного базиса.

Поскольку все базисные векторы постоянны, сложение и вычитание векторов будут просто привычным покомпонентным сложением и вычитанием. Теперь позвольте

$\mathbf {a} =\sum _{i}a^{i}\mathbf {e} _{i}\quad {\mbox{and}}\quad \mathbf {b} =\sum _{i}b^{i}\mathbf {e} _{i}$

где суммы означают суммирование по всем значениям индекса (в данном случае i = 1, 2, 3). Контравариантные и ковариантные компоненты этих векторов могут быть связаны соотношением

$a^{i}=\sum _{j}a_{j}g^{ij}$

так что, явно,

$a^{1}={\frac {a_{1}-\sin(\phi )a_{3}}{\cos ^{2}(\phi )}},$

$a^{2}=a_{2},$

$a^{3}={\frac {-\sin(\phi )a_{1}+a_{3}}{\cos ^{2}(\phi )}}.$

Тогда скалярное произведение в терминах контравариантных компонентов будет

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i}a^{i}b_{i}=a^{1}b^{1}+a^{2}b^{2}+a^{3}b^{3}+\sin(\phi )(a^{1}b^{3}+a^{3}b^{1})$

и в терминах ковариантных компонент

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\frac {1}{\cos ^{2}(\phi )}}[a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}\cos ^{2}(\phi )+a_{3}b_{3}-\sin(\phi )(a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1})].$

Исчисление

По определению, градиент равен скалярной f функции

$\nabla f=\sum _{i}\mathbf {e} ^{i}{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {e} ^{1}+{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {e} ^{2}+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {e} ^{3}$

где $q_{i}$ индексированы координаты x , y , z . Признавая это вектором, записанным в терминах контравариантного базиса, его можно переписать:

$\nabla f={\frac {{\frac {\partial f}{\partial x}}-\sin(\phi ){\frac {\partial f}{\partial z}}}{\cos(\phi )^{2}}}\mathbf {e} _{1}+{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {e} _{2}+{\frac {-\sin(\phi ){\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}}{\cos(\phi )^{2}}}\mathbf {e} _{3}.$

Расхождение ​ вектора $\mathbf {a}$ является

$\nabla \cdot \mathbf {a} ={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\sqrt {g}}a^{i}\right)={\frac {\partial a^{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial a^{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial a^{3}}{\partial z}}.$

и тензора $\mathbf {A}$

$\nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{i,j}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\sqrt {g}}a^{ij}\mathbf {e} _{j}\right)=\sum _{i,j}\mathbf {e} _{j}{\frac {\partial a^{ij}}{\partial q^{i}}}.$

Лапласиан ​ равен f ​

$\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f={\frac {1}{\cos(\phi )^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}-2\sin(\phi ){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial z}}\right)+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}$

и, поскольку ковариантный базис нормальный и постоянный, векторный лапласиан совпадает с покомпонентным лапласианом вектора, записанного в терминах ковариантного базиса.

Хотя и скалярное произведение, и градиент несколько запутаны из-за дополнительных членов (по сравнению с декартовой системой), оператор адвекции , который объединяет скалярное произведение с градиентом, оказывается очень простым:

$(\mathbf {a} \cdot \nabla )={\biggl (}\sum _{i}a^{i}e_{i}{\biggr )}\cdot {\biggl (}\sum _{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\mathbf {e} ^{i}{\biggr )}={\biggl (}\sum _{i}a^{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}{\biggr )}$

который можно применять как к скалярным функциям, так и к векторным функциям, покомпонентно, если они выражены в ковариантном базисе.

Наконец, ротор вектора равен

$\nabla \times \mathbf {a} =\sum _{i,j,k}\mathbf {e} _{k}\epsilon ^{ijk}{\frac {\partial a_{j}}{\partial q^{i}}}=$

${\frac {1}{\cos(\phi )}}\left(\left(\sin(\phi ){\frac {\partial a^{1}}{\partial y}}+{\frac {\partial a^{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial a^{2}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{1}+\left({\frac {\partial a^{1}}{\partial z}}+\sin(\phi )\left({\frac {\partial a^{3}}{\partial z}}-{\frac {\partial a^{1}}{\partial x}}\right)-{\frac {\partial a^{3}}{\partial x}}\right)\mathbf {e} _{2}+\left({\frac {\partial a^{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial a^{1}}{\partial y}}-\sin(\phi ){\frac {\partial a^{3}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{3}\right).$