Метрический тензор

В математической области дифференциальной геометрии метрический тензор (или просто метрика ) — это дополнительная структура на многообразии $М$ (например, на поверхности ), которая позволяет определять расстояния и углы, точно так же, как скалярное произведение в евклидовом пространстве позволяет определять расстояния и углы. углы там. Точнее, метрический тензор в точке $p$ точки $M$ — это билинейная форма , определенная в касательном пространстве в $точке p$ (то есть билинейная функция , которая отображает пары касательных векторов в действительные числа ), а метрическое поле на $M$ состоит из метрический тензор в каждой точке $p$ из $M$ , который плавно меняется с $p$ .

Метрический тензор $g$ является положительно определенным, если $g (v, v) > 0$ для каждого ненулевого вектора $v$ . Многообразие, снабженное положительно определенным метрическим тензором, называется римановым многообразием . Такой метрический тензор можно рассматривать как задающий бесконечно малое расстояние на многообразии. На римановом многообразии $M$ длина гладкой кривой между двумя точками $p$ и $q$ может быть определена путем интегрирования, а расстояние между $p$ и $q$ может быть определено как нижняя грань длин всех таких кривых; это делает $M$ метрическим пространством . И наоборот, сам метрический тензор является производной функции расстояния (взятой подходящим образом). ^{[ нужна цитата ]}

Хотя понятие метрического тензора было в некотором смысле известно математикам, таким как Гаусс, с начала 19 века, только в начале 20 века его свойства как тензора были поняты, в частности, Грегорио Риччи-Курбастро и Туллио. Леви-Чивита , который впервые систематизировал понятие тензора. Метрический тензор является примером тензорного поля .

Компоненты метрического тензора в координатном базисе принимают вид симметричной матрицы , элементы которой ковариантно преобразуются при изменении системы координат. Таким образом, метрический тензор является ковариантным симметричным тензором . С точки зрения , не зависящей от координат , метрическое тензорное поле определяется как невырожденная симметричная билинейная форма в каждом касательном пространстве, которая плавно меняется от точки к точке.

Введение [ править ]

Карл Фридрих Гаусс в своих Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas 1827 года ( Общие исследования искривленных поверхностей ) рассматривал поверхность параметрически , с декартовыми координатами $x$ , $y$ и $z$ точек на поверхности, зависящими от двух вспомогательных переменных $u$ и $v$ . Таким образом, параметрическая поверхность представляет собой (в сегодняшних терминах) векторную функцию.

{\vec {r}}(u,\,v)={\bigl (}x(u,\,v),\,y(u,\,v),\,z(u,\,v){\bigr )}

зависит от упорядоченной пары действительных переменных $(u, v)$ и определяется в открытом множестве $D$ в $uv$ -плоскости. Одной из главных целей исследований Гаусса было выведение тех особенностей поверхности, которые можно было бы описать функцией, которая осталась бы неизменной, если бы поверхность претерпела трансформацию в пространстве (например, изгиб поверхности без ее растяжения) или изменение особая параметрическая форма одной и той же геометрической поверхности.

Одной из таких естественных инвариантных величин является длина кривой, проведенной вдоль поверхности. Другой — это угол между парой кривых, проведенных вдоль поверхности и встречающихся в общей точке. Третья такая величина — это площадь куска поверхности. Изучение этих инвариантов поверхности привело Гаусса к введению предшественника современного понятия метрического тензора.

Метрический тензор ${\textstyle {\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}}$ в описании ниже; E, F и G в матрице могут содержать любое число, если матрица положительно определена.

Длина дуги [ править ]

Если считать, что переменные $u$ и $v$ зависят от третьей переменной $t$ , принимающей значения в интервале $[a, b]$ , то $r \to (u (t), v (t))$ будет отслеживать параметрическую кривую в параметрическом поверхность $М.$ Длина дуги этой кривой определяется интегралом

{\begin{aligned}s&=\int _{a}^{b}\left\|{\frac {d}{dt}}{\vec {r}}(u(t),v(t))\right\|\,dt\\[5pt]&=\int _{a}^{b}{\sqrt {u'(t)^{2}\,{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u}+2u'(t)v'(t)\,{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v}+v'(t)^{2}\,{\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}}}\,dt\,,\end{aligned}}

где $\left\|\cdot \right\|$ представляет собой евклидову норму . Здесь цепное правило применено , а индексы обозначают частные производные :

{\vec {r}}_{u}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u}}\,,\quad {\vec {r}}_{v}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial v}}\,.

Подынтегральная функция является ограничением ^[1] к кривой квадратного корня из ( квадратичного ) дифференциала

(ds)^{2}=E\,(du)^{2}+2F\,du\,dv+G\,(dv)^{2},

( 1 )

где

E={\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u},\quad F={\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v},\quad G={\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}.

( 2 )

Величина $ds$ в ( 1 ) называется линейным элементом , а $ds 2$ называется фундаментальной формой $М.$ первой Интуитивно понятно, что он представляет собой главную часть квадрата смещения, которому подвергается $r \to (u, v)$ , когда $u$ увеличивается на $du$ единицы $, а v$ увеличивается на $единицы dv$ .

Используя матричную запись, первая фундаментальная форма становится

ds^{2}={\begin{bmatrix}du&dv\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du\\dv\end{bmatrix}}

Преобразования координат [ править ]

Предположим теперь, что выбрана другая параметризация, позволяющая $u$ и $v$ зависеть от другой пары переменных $u'$ и $v'$ . Тогда аналог ( 2 ) для новых переменных будет

E'={\vec {r}}_{u'}\cdot {\vec {r}}_{u'},\quad F'={\vec {r}}_{u'}\cdot {\vec {r}}_{v'},\quad G'={\vec {r}}_{v'}\cdot {\vec {r}}_{v'}.

( 2' )

Цепное правило связывает $E'$ , $F'$ и $G'$ с $E$ , $F$ и $G$ через матричное уравнение

{\begin{bmatrix}E'&F'\\F'&G'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial u}{\partial u'}}&{\frac {\partial u}{\partial v'}}\\{\frac {\partial v}{\partial u'}}&{\frac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {\partial u}{\partial u'}}&{\frac {\partial u}{\partial v'}}\\{\frac {\partial v}{\partial u'}}&{\frac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}

( 3 )

где верхний индекс T обозначает транспонирование матрицы . Таким образом , матрица с $коэффициентами E$ , $F$ и $G$ расположенными таким образом преобразуется по матрице Якобиана изменения координат

J={\begin{bmatrix}{\frac {\partial u}{\partial u'}}&{\frac {\partial u}{\partial v'}}\\{\frac {\partial v}{\partial u'}}&{\frac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}\,.

Матрица, которая преобразуется таким образом, является разновидностью того, что называется тензором . Матрица

{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}

с законом преобразования ( 3 ) известен как метрический тензор поверхности.

Инвариантность длины дуги при преобразованиях координат [ править ]

Риччи-Курбастро и Леви-Чивита (1900) впервые заметили значение системы коэффициентов $E$ , $F$ и $G$ , которая преобразуется таким образом при переходе от одной системы координат к другой. В результате первая фундаментальная форма ( 1 ) инвариантна относительно изменений системы координат, и это следует исключительно из свойств $E$ , $F$ и $G.$ преобразования Действительно, по правилу цепочки

{\begin{bmatrix}du\\dv\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial u}{\partial v'}}\\{\dfrac {\partial v}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du'\\dv'\end{bmatrix}}

так что

{\begin{aligned}ds^{2}&={\begin{bmatrix}du&dv\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du\\dv\end{bmatrix}}\\[6pt]&={\begin{bmatrix}du'&dv'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial u}{\partial v'}}\\[6pt]{\dfrac {\partial v}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial u}{\partial v'}}\\[6pt]{\dfrac {\partial v}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du'\\dv'\end{bmatrix}}\\[6pt]&={\begin{bmatrix}du'&dv'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E'&F'\\F'&G'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du'\\dv'\end{bmatrix}}\\[6pt]&=(ds')^{2}\,.\end{aligned}}

Длина и угол [ править ]

Другая интерпретация метрического тензора, также рассмотренная Гауссом, заключается в том, что он позволяет вычислить длину касательных векторов к поверхности, а также угол между двумя касательными векторами. Говоря современным языком, метрический тензор позволяет вычислять скалярное произведение (неевклидова геометрия) касательных векторов независимо от параметрического описания поверхности. Любой касательный вектор в точке параметрической поверхности $M$ можно записать в виде

\mathbf {p} =p_{1}{\vec {r}}_{u}+p_{2}{\vec {r}}_{v}

для подходящих действительных чисел $p 1$ и $p 2$ . Если даны два касательных вектора:

{\begin{aligned}\mathbf {a} &=a_{1}{\vec {r}}_{u}+a_{2}{\vec {r}}_{v}\\\mathbf {b} &=b_{1}{\vec {r}}_{u}+b_{2}{\vec {r}}_{v}\end{aligned}}

затем, используя билинейность скалярного произведения,

{\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=a_{1}b_{1}{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u}+a_{1}b_{2}{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v}+a_{2}b_{1}{\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{u}+a_{2}b_{2}{\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}\\[8pt]&=a_{1}b_{1}E+a_{1}b_{2}F+a_{2}b_{1}F+a_{2}b_{2}G.\\[8pt]&={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{bmatrix}}\,.\end{aligned}}

функция четырех переменных $a1,$ , $b1,$ , $a2 и$ очевидно $b2 Это$ . Однако более выгодно рассматривать ее как функцию, которая принимает пару аргументов $a = [a 1 a 2]$ и $b = [b 1 b 2]$ , которые являются векторами в $uv$ -плоскости. То есть положить

g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=a_{1}b_{1}E+a_{1}b_{2}F+a_{2}b_{1}F+a_{2}b_{2}G\,.

Это симметричная функция относительно $a$ и $b$ , что означает, что

g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=g(\mathbf {b} ,\mathbf {a} )\,.

Он также билинейен , что означает, что он линейен по каждой переменной $a$ и $b$ отдельно. То есть,

{\begin{aligned}g\left(\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {a} ',\mathbf {b} \right)&=\lambda g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )+\mu g\left(\mathbf {a} ',\mathbf {b} \right),\quad {\text{and}}\\g\left(\mathbf {a} ,\lambda \mathbf {b} +\mu \mathbf {b} '\right)&=\lambda g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )+\mu g\left(\mathbf {a} ,\mathbf {b} '\right)\end{aligned}}

для любых векторов $a$ , $a'$ , $b$ и $b'$ в $плоскости uv$ и любых действительных чисел $μ$ и $λ$ .

В частности, длина касательного вектора $a$ определяется выражением

\left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {g(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )}}

а угол $θ$ между двумя векторами $a$ и $b$ вычисляется по формуле

\cos(\theta )={\frac {g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}\,.

Площадь [ править ]

Площадь поверхности — еще одна числовая величина, которая должна зависеть только от самой поверхности, а не от того, как она параметризована. Если поверхность $M$ параметризована функцией $r \to (u, v)$ в области $D$ в $uv$ -плоскости, то площадь поверхности $M$ определяется интегралом

\iint _{D}\left|{\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}\right|\,du\,dv

где $\times$ обозначает векторное произведение , а абсолютное значение обозначает длину вектора в евклидовом пространстве. По тождеству Лагранжа для векторного произведения интеграл можно записать

{\begin{aligned}&\iint _{D}{\sqrt {\left({\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u}\right)\left({\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}\right)-\left({\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v}\right)^{2}}}\,du\,dv\\[5pt]={}&\iint _{D}{\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv\\[5pt]={}&\iint _{D}{\sqrt {\det {\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}}}\,du\,dv\end{aligned}}

где $det$ – определитель .

Определение [ править ]

Пусть $M$ — гладкое многообразие размерности $n$ ; например, поверхность (в случае $n = 2$ ) или гиперповерхность в декартовом пространстве $\mathbb {R} ^{n+1}$ . В каждой точке $p \in M$ существует векторное пространство $TpM,,$ называемое касательным пространством состоящее из всех касательных векторов к многообразию в точке $p$ . Метрический тензор в $точке p$ — это функция $g p (X p, Y p),$ которая принимает в качестве входных данных пару касательных векторов $X p$ и $Y p$ в $точке p$ и выдает на выходе действительное число ( скаляр ), так что следующее условия выполнены:

$g p$ билинейна . Функция двух векторных аргументов называется билинейной, если она линейна отдельно по каждому аргументу. если $Up Vp$ , $Yp,$ Таким образом , $, —$ три касательных вектора в точке $p$ а $a$ и $b$ — действительные числа, то ${\begin{aligned}g_{p}(aU_{p}+bV_{p},Y_{p})&=ag_{p}(U_{p},Y_{p})+bg_{p}(V_{p},Y_{p})\,,\quad {\text{and}}\\g_{p}(Y_{p},aU_{p}+bV_{p})&=ag_{p}(Y_{p},U_{p})+bg_{p}(Y_{p},V_{p})\,.\end{aligned}}$
$g p$ симметричен . ^[2] Функция двух векторных аргументов симметрична при условии, что для всех $X p$ и $Y p$ векторов $g_{p}(X_{p},Y_{p})=g_{p}(Y_{p},X_{p})\,.$
$g p$ невырожден . Билинейная функция является невырожденной, если для каждого касательного вектора $X p \neq 0$ функция $Y_{p}\mapsto g_{p}(X_{p},Y_{p})$ полученное при сохранении $постоянного значения X p$ и изменении $Y p$ , не является тождественным нулем . То есть для каждого $X p \neq 0$ существует $Y p$ такой, что $g p (X p, Y p) \neq 0$ .

Метрическое тензорное поле $g$ на $M$ сопоставляет каждой точке $p$ из $M$ метрический тензор $g p$ в касательном пространстве в точке $p$ таким образом, который плавно меняется с $p$ . Точнее, для любого открытого подмножества $U$ многообразия $M$ и любых (гладких) векторных полей $X$ и $Y$ на $U$ действительная функция

g(X,Y)(p)=g_{p}(X_{p},Y_{p})

является гладкой функцией от

p

.

Компоненты метрики [ править ]

Компоненты метрики в любом базисе векторных полей или системе координат f $= (X 1, ..., X n)$ задаются формулой ^[3]

g_{ij}[\mathbf {f} ]=g\left(X_{i},X_{j}\right).

( 4 )

Затем $ 2$ Функции $g ij [f]$ образуют элементы $n \times n$ симметричной матрицы размера $G [f]$ . Если

v=\sum _{i=1}^{n}v^{i}X_{i}\,,\quad w=\sum _{i=1}^{n}w^{i}X_{i}

— два вектора в $точке p \in U$ , то значение метрики, примененной к $v$ и $w$ , определяется коэффициентами ( 4 ) по билинейности:

g(v,w)=\sum _{i,j=1}^{n}v^{i}w^{j}g\left(X_{i},X_{j}\right)=\sum _{i,j=1}^{n}v^{i}w^{j}g_{ij}[\mathbf {f} ]

Обозначая матрицу $(g ij [f] )$ через $G [f]$ и располагая компоненты векторов $v$ и $w$ в векторы-столбцы $v [f]$ и $w [f]$ ,

g(v,w)=\mathbf {v} [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]\mathbf {w} [\mathbf {f} ]=\mathbf {w} [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]\mathbf {v} [\mathbf {f} ]

где $v [ж]$ ^Т и $ж [ж]$ ^Тобозначают транспонирование векторов $v [f]$ и $w [f]$ соответственно. При изменении основы формы

\mathbf {f} \mapsto \mathbf {f} '=\left(\sum _{k}X_{k}a_{k1},\dots ,\sum _{k}X_{k}a_{kn}\right)=\mathbf {f} A

для некоторой обратимой $размера n \times n$ матрицы $A = (a ij)$ матрица компонентов метрики $меняется на A.$ также То есть,

G[\mathbf {f} A]=A^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]A

или, с точки зрения элементов этой матрицы,

g_{ij}[\mathbf {f} A]=\sum _{k,l=1}^{n}a_{ki}g_{kl}[\mathbf {f} ]a_{lj}\,.

система величин $gij По этой причине говорят, что [f]$ преобразуется ковариантно относительно изменений в системе отсчета $f$ .

Метрика в координатах [ править ]

Система $n$ вещественных функций $(x 1, ..., Икс н)$ , задавая локальную систему координат на открытом множестве $U$ в $M$ , определяет базис векторных полей на $U$

\mathbf {f} =\left(X_{1}={\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\dots ,X_{n}={\frac {\partial }{\partial x^{n}}}\right)\,.

Метрика $g$ имеет компоненты относительно этой системы координат, заданные выражением

g_{ij}\left[\mathbf {f} \right]=g\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}},{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right)\,.

Относительно новой системы локальных координат, скажем

y^{i}=y^{i}(x^{1},x^{2},\dots ,x^{n}),\quad i=1,2,\dots ,n

метрический тензор будет определять другую матрицу коэффициентов,

g_{ij}\left[\mathbf {f} '\right]=g\left({\frac {\partial }{\partial y^{i}}},{\frac {\partial }{\partial y^{j}}}\right).

Эта новая система функций связана с исходной $g ij (f)$ посредством цепного правила

{\frac {\partial }{\partial y^{i}}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial x^{k}}{\partial y^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}

так что

g_{ij}\left[\mathbf {f} '\right]=\sum _{k,l=1}^{n}{\frac {\partial x^{k}}{\partial y^{i}}}g_{kl}\left[\mathbf {f} \right]{\frac {\partial x^{l}}{\partial y^{j}}}.

Или, используя матрицы $G [f] = (g ij [f])$ и $G [f'] = (g ij [f'])$ ,

G\left[\mathbf {f} '\right]=\left((Dy)^{-1}\right)^{\mathsf {T}}G\left[\mathbf {f} \right](Dy)^{-1}

где $Dy$ обозначает матрицу Якоби замены координат.

Сигнатура метрики [ править ]

С любым метрическим тензором связана квадратичная форма , определяемая в каждом касательном пространстве формулой

q_{m}(X_{m})=g_{m}(X_{m},X_{m})\,,\quad X_{m}\in T_{m}M.

Если $q m$ положителен для всех ненулевых $X m$ , то метрика положительно определена в точке $m$ . Если метрика положительно определена для каждого $m \in M$ , то $g$ называется римановой метрикой . В более общем смысле, если квадратичные формы $qm независимую$ имеют постоянную сигнатуру, от $m$ , то сигнатура $g$ является этой сигнатурой, и $g$ называется псевдоримановой метрикой . ^[4] Если $M$ связно , сигнатура $qm то$ не зависит от $m$ . ^[5]

По закону инерции Сильвестра базис касательных векторов $X i$ можно выбрать локально так, чтобы квадратичная форма диагонализовалась следующим образом:

q_{m}\left(\sum _{i}\xi ^{i}X_{i}\right)=\left(\xi ^{1}\right)^{2}+\left(\xi ^{2}\right)^{2}+\cdots +\left(\xi ^{p}\right)^{2}-\left(\xi ^{p+1}\right)^{2}-\cdots -\left(\xi ^{n}\right)^{2}

для некоторого $p$ между 1 и $n$ . Любые два таких выражения $q$ (в одной и той же точке $m$ из $M$ ) будут иметь одинаковое количество $p$ положительных знаков. Сигнатура $g$ — это пара целых чисел $(p, n - p)$ есть $p$ положительных знаков и $n — p$ , означающая, что в любом таком выражении отрицательных знаков. Эквивалентно, метрика имеет сигнатуру $(p, n - p)$ , если матрица $g ij$ метрики имеет $p$ положительных и $n - p$ отрицательных собственных значений .

Некоторые сигнатуры метрик, которые часто возникают в приложениях:

Если $g$ имеет сигнатуру $(n, 0)$ , то $g$ — риманова метрика, а $M$ называется римановым многообразием . В противном случае $g$ — псевдориманова метрика, а $M$ называется псевдоримановым многообразием (также используется термин полуриманово).
Если $M$ четырехмерна с сигнатурой $(1, 3)$ или $(3, 1)$ , то метрика называется лоренцевой . В более общем смысле, метрический тензор в размерности $n$ , отличной от 4, сигнатуры $(1, n - 1)$ или $(n - 1, 1)$ иногда также называют лоренцевым.
Если $M$ 2n $- мерна$ и $g$ имеет сигнатуру $(n, n)$ , то метрика называется ультрагиперболической .

Обратная метрика [ править ]

Пусть $f = (X 1, ..., X n)$ — базис векторных полей, и, как указано выше, пусть $G [f]$ — матрица коэффициентов

g_{ij}[\mathbf {f} ]=g\left(X_{i},X_{j}\right)\,.

Можно рассмотреть обратную матрицу $G [f] -1$ , которая отождествляется с обратной метрикой (или сопряженной или двойственной метрикой ). Обратная метрика удовлетворяет закону преобразования, когда кадр $f$ заменяется матрицей $A$ через

G[\mathbf {f} A]^{-1}=A^{-1}G[\mathbf {f} ]^{-1}\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {T}}.

( 5 )

Обратная метрика преобразуется контравариантно или относительно обратного изменения базисной $A.$ матрицы В то время как сама метрика позволяет измерить длину векторных полей (или угол между ними), обратная метрика обеспечивает средство измерения длины ковекторных полей (или угла между ними); т. е. поля линейных функционалов .

Чтобы убедиться в этом, предположим, что $α$ — ковекторное поле. То есть для каждой точки $p$ , $α$ определяет функцию $α p$ определенную на касательных векторах в точке $p,$ выполняется следующее условие линейности так что для всех касательных векторов $X p$ и $Y p$ и всех действительных чисел $a$ и $b$ :

\alpha _{p}\left(aX_{p}+bY_{p}\right)=a\alpha _{p}\left(X_{p}\right)+b\alpha _{p}\left(Y_{p}\right)\,.

При $p$ изменении $, что α$ предполагается является гладкой функцией в том смысле, что

p\mapsto \alpha _{p}\left(X_{p}\right)

является гладкой функцией от $p$ для любого гладкого векторного поля $X$ .

Любое ковекторное поле $α$ имеет компоненты в базисе векторных полей $f$ . Они определяются

\alpha _{i}=\alpha \left(X_{i}\right)\,,\quad i=1,2,\dots ,n\,.

Обозначим вектор-строку этих компонентов через

\alpha [\mathbf {f} ]={\big \lbrack }{\begin{array}{cccc}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\dots &\alpha _{n}\end{array}}{\big \rbrack }\,.

При замене $f$ матрицу $A$ на $α [f]$ изменяется по правилу

\alpha [\mathbf {f} A]=\alpha [\mathbf {f} ]A\,.

То есть вектор-строка компонентов $α [f]$ преобразуется как ковариантный вектор.

Для пары $α$ и $β$ ковекторных полей определите обратную метрику, применяемую к этим двум ковекторам, формулой

{\tilde {g}}(\alpha ,\beta )=\alpha [\mathbf {f} ]G[\mathbf {f} ]^{-1}\beta [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}.

( 6 )

Полученное определение, хотя и включает выбор базиса $f$ , на самом деле не зависит от $f$ существенным образом. Действительно, замена базиса на $f A$ дает

{\begin{aligned}&\alpha [\mathbf {f} A]G[\mathbf {f} A]^{-1}\beta [\mathbf {f} A]^{\mathsf {T}}\\={}&\left(\alpha [\mathbf {f} ]A\right)\left(A^{-1}G[\mathbf {f} ]^{-1}\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {T}}\right)\left(A^{\mathsf {T}}\beta [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}\right)\\={}&\alpha [\mathbf {f} ]G[\mathbf {f} ]^{-1}\beta [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}.\end{aligned}}

Таким образом, на правую часть уравнения ( 6 ) не влияет замена базиса $f$ другой базис $f A.$ на любой Следовательно, уравнению можно придать смысл независимо от выбора базиса. Элементы матрицы $G [f]$ обозначаются $g ij$ , где индексы $i$ и $j$ повышены для обозначения закона преобразования ( 5 ).

Повышение и понижение индексов [ править ]

В базисе векторных полей $f = (X 1, ..., X n)$ любое гладкое касательное векторное поле $X$ можно записать в виде

X=v^{1}[\mathbf {f} ]X_{1}+v^{2}[\mathbf {f} ]X_{2}+\dots +v^{n}[\mathbf {f} ]X_{n}=\mathbf {f} {\begin{bmatrix}v^{1}[\mathbf {f} ]\\v^{2}[\mathbf {f} ]\\\vdots \\v^{n}[\mathbf {f} ]\end{bmatrix}}=\mathbf {f} v[\mathbf {f} ]

( 7 )

для некоторых однозначно определенных гладких функций $v 1, ..., v н$ . При замене базиса $f$ на неособую матрицу $A$ коэффициенты $v я$ измениться таким образом, чтобы уравнение ( 7 ) оставалось верным. То есть,

X=\mathbf {fA} v[\mathbf {fA} ]=\mathbf {f} v[\mathbf {f} ]\,.

Следовательно, $v [f A] = A -1 v [ж]$ . Другими словами, компоненты вектора преобразуются контравариантно (т. е. обратно или наоборот) при замене базиса на неособую матрицу $A$ . Контравариантность компонентов $v [f]$ условно обозначается размещением индексов $v я [f]$ в верхнем положении.

Фрейм также позволяет выражать ковекторы через их компоненты. Для базиса векторных полей $f = (X 1, ..., X n)$ определим двойственный базис как линейные функционалы $(θ 1 [ж], ..., я н [f])$ такой, что

\theta ^{i}[\mathbf {f} ](X_{j})={\begin{cases}1&\mathrm {if} \ i=j\\0&\mathrm {if} \ i\not =j.\end{cases}}

То есть $θ я [ж](Икс j) знак равно δ j я$ , дельта Кронекера . Позволять

\theta [\mathbf {f} ]={\begin{bmatrix}\theta ^{1}[\mathbf {f} ]\\\theta ^{2}[\mathbf {f} ]\\\vdots \\\theta ^{n}[\mathbf {f} ]\end{bmatrix}}.

При замене базиса $f \mapsto f A$ для неособой матрицы $A$ θ $] [f через$ преобразуется

\theta [\mathbf {f} A]=A^{-1}\theta [\mathbf {f} ].

Любой линейный функционал $α$ на касательных векторах можно разложить в терминах двойственного базиса $θ$

{\begin{aligned}\alpha &=a_{1}[\mathbf {f} ]\theta ^{1}[\mathbf {f} ]+a_{2}[\mathbf {f} ]\theta ^{2}[\mathbf {f} ]+\cdots +a_{n}[\mathbf {f} ]\theta ^{n}[\mathbf {f} ]\\[8pt]&={\big \lbrack }{\begin{array}{cccc}a_{1}[\mathbf {f} ]&a_{2}[\mathbf {f} ]&\dots &a_{n}[\mathbf {f} ]\end{array}}{\big \rbrack }\theta [\mathbf {f} ]\\[8pt]&=a[\mathbf {f} ]\theta [\mathbf {f} ]\end{aligned}}

( 8 )

где $a [f]$ обозначает вектор-строку $[a 1 [f] ... a n [f] ]$ . Компоненты $ai преобразуются$ , когда базис $f$ заменяется на $fA 8$ таким образом, что уравнение ( ) продолжает выполняться. То есть,

\alpha =a[\mathbf {f} A]\theta [\mathbf {f} A]=a[\mathbf {f} ]\theta [\mathbf {f} ]

откуда, поскольку $θ [f A] = A -1 θ [ж]$ , отсюда следует, что $а [ж А] знак равно а [ж] А$ . То есть компоненты $преобразуются$ , ковариантно (с помощью матрицы $A$ а не с помощью ее обратной). Ковариация компонентов $a [f]$ условно обозначается размещением индексов $a i [f]$ в нижней позиции.

Теперь метрический тензор дает возможность идентифицировать векторы и ковекторы следующим образом. При $фиксированном X p$ функция

g_{p}(X_{p},-):Y_{p}\mapsto g_{p}(X_{p},Y_{p})

касательного вектора $Y p$ определяет линейный функционал в касательном пространстве в точке $p$ . Эта операция берет вектор $X p$ в точке $p$ и создает ковектор $g p (X p, -)$ . В базисе векторных полей $f$ , если векторное поле $X$ имеет компоненты $v [f]$ , то компоненты ковекторного поля $g (X, -)$ в двойственном базисе задаются элементами вектора-строки

a[\mathbf {f} ]=v[\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ].

При замене базиса $f \mapsto f A$ правая часть этого уравнения преобразуется через

v[\mathbf {f} A]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} A]=v[\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {T}}A^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]A=v[\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]A

так что $a [f A] = a [f] A$ : $a$ преобразуется ковариантно. Операция сопоставления (контравариантным) компонентам векторного поля $v [f] = [v 1 [ж] в 2 [ж] ... в н [ж] ]$ ^Т (ковариантные) компоненты ковекторного поля $a [f] = [a 1 [f] a 2 [f] \dots a n [f] ]$ , где

a_{i}[\mathbf {f} ]=\sum _{k=1}^{n}v^{k}[\mathbf {f} ]g_{ki}[\mathbf {f} ]

называется понижением индекса .

Для повышения индекса применяется та же конструкция, но вместо метрики используется обратная метрика. Если $a [f] = [a 1 [f] a 2 [f] ... a n [f] ]$ являются компонентами ковектора в двойственном базисе $θ [f]$ , то вектор-столбец

v[\mathbf {f} ]=G^{-1}[\mathbf {f} ]a[\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}

( 9 )

имеет компоненты, которые преобразуются контравариантно:

v[\mathbf {f} A]=A^{-1}v[\mathbf {f} ].

Следовательно, величина $X = f v [f]$ от выбора базиса $f$ не зависит существенным образом $и, таким образом, определяет векторное поле на M$ . Операция ( 9 ), сопоставляющая (ковариантным) компонентам ковектора $a [f]$ заданные (контравариантные) компоненты вектора $v [f]$ , называется повышением индекса . В компонентах ( 9 ) есть

v^{i}[\mathbf {f} ]=\sum _{k=1}^{n}g^{ik}[\mathbf {f} ]a_{k}[\mathbf {f} ].

Индуцированная метрика [ править ]

Пусть $U$ — открытое множество в $ℝ н$ , и пусть $φ$ — непрерывно дифференцируемая функция из $U$ в евклидово пространство $ℝ м$ , где $m > n$ . Отображение $φ$ называется погружением , если его дифференциал инъективен в каждой точке $U$ . Образ $φ$ называется погруженным подмногообразием . Точнее, для $m = 3$ , что означает, что окружающее евклидово пространство равно $ℝ 3$ индуцированный метрический тензор называется первой фундаментальной формой .

Предположим, что $φ$ — погружение на подмногообразие $M \subset R м$ . Обычное евклидово скалярное произведение в $ℝ м$ - это метрика, которая, будучи ограничена векторами, касающимися $M$ , дает возможность получить скалярное произведение этих касательных векторов. Это называется индуцированной метрикой .

Предположим, что $v$ — касательный вектор в точке $U$ , скажем

v=v^{1}\mathbf {e} _{1}+\dots +v^{n}\mathbf {e} _{n}

где $e i$ — стандартные координатные векторы в $ℝ н$ . Когда $φ$ применяется к $U$ , вектор $v$ переходит в вектор, касательный к $M$ , заданный формулой

\varphi _{*}(v)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{a=1}^{m}v^{i}{\frac {\partial \varphi ^{a}}{\partial x^{i}}}\mathbf {e} _{a}\,.

называется продвижением v $( Это$ вдоль $φ$ .) Учитывая два таких вектора, $v$ и $w$ , индуцированная метрика определяется формулой

g(v,w)=\varphi _{*}(v)\cdot \varphi _{*}(w).

Из несложного расчета следует, что матрица индуцированной метрики в базисе координатных векторных полей $e$ имеет вид

G(\mathbf {e} )=(D\varphi )^{\mathsf {T}}(D\varphi )

где $Dφ$ — матрица Якобиана:

D\varphi ={\begin{bmatrix}{\frac {\partial \varphi ^{1}}{\partial x^{1}}}&{\frac {\partial \varphi ^{1}}{\partial x^{2}}}&\dots &{\frac {\partial \varphi ^{1}}{\partial x^{n}}}\\[1ex]{\frac {\partial \varphi ^{2}}{\partial x^{1}}}&{\frac {\partial \varphi ^{2}}{\partial x^{2}}}&\dots &{\frac {\partial \varphi ^{2}}{\partial x^{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial \varphi ^{m}}{\partial x^{1}}}&{\frac {\partial \varphi ^{m}}{\partial x^{2}}}&\dots &{\frac {\partial \varphi ^{m}}{\partial x^{n}}}\end{bmatrix}}.

Внутренние определения метрики [ править ]

Понятие метрики можно определить внутренне, используя язык расслоений и векторных расслоений . В этих терминах метрический тензор — это функция

g:\mathrm {T} M\times _{M}\mathrm {T} M\to \mathbf {R}

( 10 )

из произведения слоев касательного расслоения M $,$ с самим собой к $R$ такого, что ограничение $g$ на каждый слой является невырожденным билинейным отображением

g_{p}:\mathrm {T} _{p}M\times \mathrm {T} _{p}M\to \mathbf {R} .

Отображение ( 10 ) должно быть непрерывным и часто непрерывно дифференцируемым , гладким или действительно аналитическим , в зависимости от интересующего случая и от того, может ли $M$ поддерживать такую структуру.

Метрика как часть пакета [ править ]

В силу тензорного произведения любое билинейное отображение ( 10 сечение ) естественным образом g⊗ двойственного $универсального порождает$ расслоения тензорных произведений TM с $свойства собой$ самим

g_{\otimes }\in \Gamma \left((\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M)^{*}\right).

Сечение $g \otimes$ определяется на простых элементах $TM \otimes TM формулой$ из

g_{\otimes }(v\otimes w)=g(v,w)

и определяется на произвольных элементах из $\otimes TM TM путем$ линейного расширения до линейных комбинаций простых элементов. Исходная билинейная форма $g$ симметрична тогда и только тогда, когда

g_{\otimes }\circ \tau =g_{\otimes }

где

\tau :\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M{\stackrel {\cong }{\to }}TM\otimes TM

это карта переплетения .

Поскольку $M$ конечномерно, существует естественный изоморфизм

(\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M)^{*}\cong \mathrm {T} ^{*}M\otimes \mathrm {T} ^{*}M,

так что $g \otimes$ рассматривается также как сечение расслоения $T* M \otimes T* M$ кокасательного расслоения $T* M$ с самим собой. Поскольку $g$ симметрично как билинейное отображение, отсюда следует, что $g \otimes$ является симметричным тензором .

Метрика в векторном пакете [ править ]

В более общем смысле можно говорить о метрике в векторном расслоении . Если $E$ — векторное расслоение над многообразием $M$ , то метрика — это отображение

g:E\times _{M}E\to \mathbf {R}

из произведения слоев E $,$ на $R$ которое билинейно в каждом волокне:

g_{p}:E_{p}\times E_{p}\to \mathbf {R} .

метрика часто отождествляется с частью расслоения тензорных произведений Используя описанную выше двойственность , $E * \otimes E *$ .

- изоморфизм Касательный кокасательный

Метрический тензор дает естественный изоморфизм касательного расслоения кокасательному расслоению , иногда называемый музыкальным изоморфизмом . ^[6] Этот изоморфизм получается, если для каждого касательного вектора $p \in T p M$ X установить

S_{g}X_{p}\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,g(X_{p},-),

линейный функционал на $TpM ,$ касательный $Yp точке$ в $p$ к $gp (который Xp, . Yp вектор)$ направляет То есть, с точки зрения спаривания $[-, -]$ между $T p M$ и его двойственным пространством $T * вечера $ ,

[S_{g}X_{p},Y_{p}]=g_{p}(X_{p},Y_{p})

для всех касательных векторов $X p$ и $Y p$ . Отображение $S g$ является линейным преобразованием из $T p M$ в $T * вечера $ . Из определения невырожденности следует, что Sg сведено $ядро о$ к нулю, и поэтому по ранге-нулевости Sg $является теореме$ изоморфизмом линейным . Более того, $Sg что$ является симметричным линейным преобразованием в том смысле,

[S_{g}X_{p},Y_{p}]=[S_{g}Y_{p},X_{p}]

для всех касательных векторов $X p$ и $Y p$ .

Обратно, любой линейный изоморфизм $S : T p M \to T * p M$ определяет невырожденную билинейную форму на $T p M$ с помощью

g_{S}(X_{p},Y_{p})=[SX_{p},Y_{p}]\,.

Эта билинейная форма симметрична тогда и только тогда, когда $S$ симметрична. Таким образом, существует естественное взаимно однозначное соответствие между симметричными билинейными формами на $T p M$ и симметричными линейными изоморфизмами $T p M$ к двойственному $T * вечера $ .

Поскольку $p$ меняется над $M$ , $S g$ определяет сечение расслоения $Hom(TM, T* M)$ касательного изоморфизмов векторного расслоения расслоения и кокасательного расслоения. Этот участок имеет ту же гладкость, что и $g$ : он непрерывен, дифференцируем, гладок или вещественно-аналитичен в зависимости от $g$ . Отображение $S g$ , которое сопоставляет каждому векторному полю на $M$ ковекторное поле на $M,$ дает абстрактную формулировку «понижения индекса» векторного поля. Обратным к $S g$ является отображение $T* M \to TM$ , которое аналогично дает абстрактную формулировку «повышения индекса» на ковекторном поле.

Обратное $S -1 g$ определяет линейное отображение

S_{g}^{-1}:\mathrm {T} ^{*}M\to \mathrm {T} M

которое неособо и симметрично в том смысле, что

\left[S_{g}^{-1}\alpha ,\beta \right]=\left[S_{g}^{-1}\beta ,\alpha \right]

для всех ковекторов $α$ , $β$ . Такое неособое симметрическое отображение порождает (благодаря присоедине- нию тензора к рому ) отображение

\mathrm {T} ^{*}M\otimes \mathrm {T} ^{*}M\to \mathbf {R}

или двойным дуальным изоморфизмом сечению тензорного произведения

\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M.

Длина дуги и элемент линии [ править ]

Предположим, что $—$ риманова метрика на $M.$ g В местной системе координат $x я$ , $i = 1, 2, \dots, n$ , метрический тензор появляется как матрица , обозначенная здесь $G$ , элементы которой являются компонентами $g ij$ метрического тензора относительно координатных векторных полей.

Пусть $γ (t)$ — кусочно-дифференцируемая параметрическая кривая в $M$ для $a \leq t \leq b$ . Длина дуги кривой определяется выражением

L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\gamma (t))\left({\frac {d}{dt}}x^{i}\circ \gamma (t)\right)\left({\frac {d}{dt}}x^{j}\circ \gamma (t)\right)}}\,dt\,.

В связи с этим геометрическим применением квадратичная дифференциальная форма

ds^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(p)dx^{i}dx^{j}

называется первой фундаментальной формой , связанной с метрикой, а $ds$ — линейным элементом . Когда $дс 2$ возвращается к образу кривой в $M$ , он представляет собой квадрат дифференциала относительно длины дуги.

Для псевдоримановой метрики приведенная выше формула длины не всегда определена, поскольку член под квадратным корнем может стать отрицательным. Обычно мы определяем длину кривой только тогда, когда величина под квадратным корнем всегда имеет тот или иной знак. В этом случае определите

L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left|\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\gamma (t))\left({\frac {d}{dt}}x^{i}\circ \gamma (t)\right)\left({\frac {d}{dt}}x^{j}\circ \gamma (t)\right)\right|}}\,dt\,.

Хотя в этих формулах используются координатные выражения, на самом деле они не зависят от выбранных координат; они зависят только от метрики и кривой, по которой интегрируется формула.

Энергия, вариационные принципы и геодезика [ править ]

Учитывая сегмент кривой, другой часто определяемой величиной является (кинетическая) энергия кривой:

E={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\gamma (t))\left({\frac {d}{dt}}x^{i}\circ \gamma (t)\right)\left({\frac {d}{dt}}x^{j}\circ \gamma (t)\right)\,dt\,.

Это использование происходит из физики , в частности, из классической механики , где можно увидеть, что интеграл $E$ напрямую соответствует кинетической энергии точечной частицы, движущейся по поверхности многообразия. Так, например, в формулировке Якоби принципа Мопертюи можно увидеть, что метрический тензор соответствует тензору массы движущейся частицы.

Во многих случаях, когда для расчета требуется использовать длину, можно также выполнить аналогичный расчет с использованием энергии. Это часто приводит к более простым формулам, избегая необходимости извлечения квадратного корня. Так, например, уравнения геодезических можно получить, применяя вариационные принципы либо к длине, либо к энергии. В последнем случае уравнения геодезических, как видно, возникают из принципа наименьшего действия : они описывают движение «свободной частицы» (частицы, не испытывающей никаких сил), которая ограничена в движении по многообразию, но в остальном движется свободно. с постоянным импульсом внутри многообразия. ^[7]

Каноническая мера и форма объёма [ править ]

По аналогии со случаем поверхностей метрический тензор на $n$ -мерном паракомпактном многообразии $M$ порождает естественный способ измерения $n$ -мерного объема подмножеств многообразия. Полученная естественная положительная борелевская мера позволяет развить теорию интегрирующих функций на многообразии с помощью ассоциированного интеграла Лебега .

Меру можно определить по теореме о представлении Рисса , задав положительный линейный функционал $Λ$ в пространстве $C0 на (M)$ компактным носителем непрерывных функций M $с$ . Точнее, если $M$ — многообразие с (псевдо)римановым метрическим тензором $g$ , то существует единственная положительная борелевская мера $µ g$ такая, что для любой карты $(U, φ)$ координатной

\Lambda f=\int _{U}f\,d\mu _{g}=\int _{\varphi (U)}f\circ \varphi ^{-1}(x){\sqrt {\left|\det g\right|}}\,dx

для всех

f,

в

U.

поддерживаемых Здесь

det g

— определитель матрицы, образованной компонентами метрического тензора координатной карты. То, что

Λ

корректно определено на функциях, поддерживаемых в координатных окрестностях, подтверждается якобианской заменой переменных . Он продолжается до единственного положительного линейного функционала на

(C0 M) посредством

разбиения единицы .

Если $M$ также ориентировано можно определить естественную форму объема , то из метрического тензора . В положительно ориентированной системе координат $(x 1, ..., Икс н)$ форма объема представляется как

\omega ={\sqrt {\left|\det g\right|}}\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}

где

dx я

являются координатными дифференциалами , а

\land

обозначает внешнее произведение в алгебре дифференциальных форм . Форма объема также позволяет интегрировать функции на многообразии, и этот геометрический интеграл согласуется с интегралом, полученным с помощью канонической меры Бореля.

Примеры [ править ]

Евклидова метрика [ править ]

Самый известный пример — элементарная евклидова геометрия : двумерный евклидов метрический тензор. В обычных декартовых $координатах (x, y)$ мы можем написать

g={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\,.

Длина кривой сводится к формуле:

L=\int _{a}^{b}{\sqrt {(dx)^{2}+(dy)^{2}}}\,.

Евклидову метрику в некоторых других распространенных системах координат можно записать следующим образом.

Полярные координаты $(r, θ)$ :

{\begin{aligned}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta \\J&={\begin{bmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{bmatrix}}\,.\end{aligned}}

Так

g=J^{\mathsf {T}}J={\begin{bmatrix}\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta &-r\sin \theta \cos \theta +r\sin \theta \cos \theta \\-r\cos \theta \sin \theta +r\cos \theta \sin \theta &r^{2}\sin ^{2}\theta +r^{2}\cos ^{2}\theta \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&r^{2}\end{bmatrix}}

по тригонометрическим тождествам .

В общем случае в декартовой системе координат $x я$ в евклидовом пространстве частные производные $\partial/\partial x я$ ортонормированы . относительно евклидовой метрики Таким образом, метрический тензор представляет собой дельту Кронекера δ _ij в этой системе координат. Метрический тензор по произвольным (возможно, криволинейным) координатам $q я$ дан кем-то

g_{ij}=\sum _{kl}\delta _{kl}{\frac {\partial x^{k}}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial x^{l}}{\partial q^{j}}}=\sum _{k}{\frac {\partial x^{k}}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial x^{k}}{\partial q^{j}}}.

Круглая метрика на сфере [ править ]

Единичная сфера в $ℝ 3$ поставляется с естественной метрикой, индуцированной из окружающей евклидовой метрики с помощью процесса, описанного в разделе индуцированной метрики . В стандартных сферических координатах $(θ, φ)$ , где $θ$ , — широта угол, измеренный от $оси z$ , и $φ —$ угол от $оси x$ в $плоскости xy$ , метрика принимает вид

g={\begin{bmatrix}1&0\\0&\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}\,.

Обычно это записывается в виде

ds^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\,.

Лоренцевы метрики из теории относительности [ править ]

В плоском пространстве Минковского ( специальная теория относительности ) с координатами

r^{\mu }\rightarrow \left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)=(ct,x,y,z)\,,

метрика, в зависимости от выбора сигнатуры метрики ,

g={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}\quad {\text{or}}\quad g={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\,.

Для кривой, например, с постоянной временной координатой, формула длины с этой метрикой сводится к обычной формуле длины. Для времениподобной кривой формула длины дает собственное время вдоль кривой.

В этом случае пространственно-временной интервал записывается как

ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}=dr^{\mu }dr_{\mu }=g_{\mu \nu }dr^{\mu }dr^{\nu }\,.

описывает Метрика Шварцшильда пространство-время вокруг сферически-симметричного тела, такого как планета или черная дыра . С координатами

\left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)=(ct,r,\theta ,\varphi )\,,

мы можем записать метрику как

g_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)&0&0&0\\0&-\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)^{-1}&0&0\\0&0&-r^{2}&0\\0&0&0&-r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}\,,

где $G$ (внутри матрицы) — гравитационная постоянная , а $M$ представляет собой общее содержание массы и энергии центрального объекта.

См. также [ править ]

Базовое введение в математику искривленного пространства-времени
Алгебра Клиффорда
Многообразие Финслера
Список координатных карт
Фигурное исчисление
Индикатриса Тиссо — метод визуализации метрического тензора.

Примечания [ править ]

^ Точнее, подынтегральная функция — это возврат этого дифференциала к кривой.
^ В нескольких формулировках классических единых теорий поля метрический тензор допускался несимметричным; однако антисимметричная часть такого тензора не играет роли в описанных здесь контекстах, поэтому далее она рассматриваться не будет.
^ Обозначение использования квадратных скобок для обозначения основы, в которой рассчитываются компоненты, не является универсальным. Используемые здесь обозначения созданы по образцу Уэллса (1980) . Обычно такая явная зависимость от базиса полностью подавляется.
^ Додсон и Постон 1991 , Глава VII §3.04
^ Вон 2007 , §3.4.3
^ Терминологию «музыкальный изоморфизм» см. в Gallot, Hulin & Lafontaine (2004 , стр. 75). См. также Ли (1997 , стр. 27–29).
^ Штернберг 1983

Ссылки [ править ]

Додсон, CTJ; Постон, Т. (1991), Тензорная геометрия , Тексты для аспирантов по математике, том. 130 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-3-642-10514-2 , ISBN 978-3-540-52018-4 , МР 1223091
Галло, Сильвестр; Хулин, Доминик ; Лафонтен, Жак (2004), Риманова геометрия (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-20493-0 .
Гаусс, Карл Фридрих (1827 г.), Общие исследования изогнутых поверхностей , Нью-Йорк: Raven Press (опубликовано в 1965 г.), перевод А. М. Хилтебейтеля и Дж. К. Морхеда; «Общие дискуссии относительно криволинейных поверхностей» , Труды Королевского общества наук Геттингена, Vol. 6 (1827), с. 99–146.
Хокинг, Юго-Запад ; Эллис, GFR (1973), Крупномасштабная структура пространства-времени , Издательство Кембриджского университета .
Кей, Дэвид (1988), Очерк теории и проблем тензорного исчисления Шаума , McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-033484-7 .
Клайн, Моррис (1990), Математическая мысль от древних до наших дней, Том 3 , Oxford University Press .
Ли, Джон (1997), Римановы многообразия , Springer Verlag, ISBN 978-0-387-98322-6 .
Михор, Питер В. (2008), Темы дифференциальной геометрии , Аспирантура по математике , том. 93, Провиденс: Американское математическое общество ( появится ).
Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип С .; Уиллер, Джон А. (1973), Гравитация , WH Freeman, ISBN 0-7167-0344-0
Риччи-Курбастро, Грегорио ; Леви-Чивита, Туллио (1900), «Методы абсолютного дифференциального исчисления и их приложения» , Mathematische Annalen , 54 (1): 125–201, doi : 10.1007/BF01454201 , ISSN 1432-1807 , S2CID 120009332
Штернберг, С. (1983), Лекции по дифференциальной геометрии (2-е изд.), Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co., ISBN 0-8218-1385-4
Вон, Майкл Т. (2007), Введение в математическую физику (PDF) , Вайнхайм: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co., doi : 10.1002/9783527618859 , ISBN 978-3-527-40627-2 , МР 2324500
Уэллс, Раймонд (1980), Дифференциальный анализ сложных многообразий , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag

[1] Точнее, подынтегральная функция — это возврат этого дифференциала к кривой.

[2] В нескольких формулировках классических единых теорий поля метрический тензор допускался несимметричным; однако антисимметричная часть такого тензора не играет роли в описанных здесь контекстах, поэтому далее она рассматриваться не будет.

[3] Обозначение использования квадратных скобок для обозначения основы, в которой рассчитываются компоненты, не является универсальным. Используемые здесь обозначения созданы по образцу Уэллса (1980) . Обычно такая явная зависимость от базиса полностью подавляется.

[4] Додсон и Постон 1991 , Глава VII §3.04

[5] Вон 2007 , §3.4.3

[6] Терминологию «музыкальный изоморфизм» см. в Gallot, Hulin & Lafontaine (2004 , стр. 75). См. также Ли (1997 , стр. 27–29).

[7] Штернберг 1983

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

v т Это Риманова геометрия ( Глоссарий )
Basic concepts	Curvature tensor Scalar Ricci Sectional Exponential map Geodesic Inner product Metric tensor Levi-Civita connection Covariant derivative Signature Raising and lowering indices/Musical isomorphism Parallel transport Riemannian manifold Pseudo-Riemannian manifold Riemannian volume form
Types of manifolds	Hermitian Hyperbolic Kähler Kenmotsu
Main results	Fundamental theorem of Riemannian geometry Gauss's lemma Gauss–Bonnet theorem Hopf–Rinow theorem Nash embedding theorem Ricci flow Schur's lemma
Generalizations	Finsler Hilbert Sub-Riemannian
Applications	General relativity Geometrization conjecture Poincaré conjecture Uniformization theorem