Подмногообразие

В математике подмногообразие многообразия $M$ является подмножеством $S$ которое само имеет структуру многообразия и для которого отображение включения $S\rightarrow M$ удовлетворяет определенным свойствам. Существуют разные типы подмногообразий в зависимости от того, какие именно свойства требуются. Разные авторы часто дают разные определения.

Формальное определение

Далее мы предполагаем, что все многообразия являются многообразиями класса дифференцируемыми $C^{r}$ за фиксированную $r\geq 1$ , и все морфизмы дифференцируемы класса $C^{r}$ .

Погруженные подмногообразия

Погруженное подмногообразие многообразия $M$ это изображение $S$ карты погружения $f:N\rightarrow M$ ; в общем случае это изображение не будет подмногообразием как подмножеством, и карта погружения даже не обязательно должна быть инъективной (взаимно однозначной) — она может иметь самопересечения. ^[1]

В более узком смысле можно потребовать, чтобы карта $f:N\rightarrow M$ быть инъекцией (взаимно однозначной), в которой мы называем это инъективным погружением и определяем погруженное подмногообразие как подмножество изображений $S$ вместе с топологией и дифференциальной структурой такой, что $S$ является многообразием и включение $f$ является диффеоморфизмом : это просто топология на $N$ , что в целом не согласуется с топологией подмножества: в общем случае подмножество $S$ не является подмногообразием $M$ , в топологии подмножества.

Учитывая любое инъективное погружение $f:N\rightarrow M$ образ $N$ в $M$ можно однозначно задать структуру погруженного подмногообразия так, что $f:N\rightarrow f(N)$ является диффеоморфизмом . Отсюда следует, что погруженные подмногообразия являются в точности образами инъективных погружений.

Топология подмногообразия на погруженном подмногообразии не обязательно должна быть топологией подпространства, унаследованной от $M$ . В общем, она будет тоньше, чем топология подпространства (т. е. будет иметь больше открытых множеств ).

Погруженные подмногообразия встречаются в теории групп Ли , где подгруппы Ли являются естественно погруженными подмногообразиями. Они также появляются при изучении слоений , где погруженные подмногообразия обеспечивают правильный контекст для доказательства теоремы Фробениуса .

Вложенные подмногообразия

( Вложенное подмногообразие также называемое регулярным подмногообразием ) — это погруженное подмногообразие, для которого карта включения является топологическим вложением . То есть топология подмногообразия на $S$ то же самое, что и топология подпространства.

Учитывая любое вложение $f:N\rightarrow M$ многообразия $N$ в $M$ изображение $f(N)$ естественно имеет структуру вложенного подмногообразия. То есть вложенные подмногообразия — это в точности образы вложений.

Существует внутреннее определение вложенного подмногообразия, которое часто оказывается полезным. Позволять $M$ быть $n$ -мерное многообразие, и пусть $k$ быть целым числом таким, что $0\leq k\leq n$ . А $k$ -мерное вложенное подмногообразие $M$ является подмножеством $S\subset M$ такой, что для каждой точки $p\in S$ существует диаграмма $U\subset M,\varphi :U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ содержащий $p$ такой, что $\varphi (S\cap U)$ является пересечением $k$ -мерная плоскость с $\varphi (U)$ . Пары $(S\cap U,\varphi \vert _{S\cap U})$ составить атлас дифференциальной структуры на $S$ .

Теорема Александера и теорема Джордана – Шенфлиса являются хорошими примерами гладких вложений.

Другие варианты

В литературе используются и другие варианты подмногообразий. — Аккуратное подмногообразие это многообразие, граница которого совпадает с границей всего многообразия. ^[2] Шарп (1997) определяет тип подмногообразия, который находится где-то между вложенным подмногообразием и погруженным подмногообразием.

Многие авторы также определяют топологические подмногообразия. Это то же самое, что и $C^{r}$ подмногообразия с $r=0$ . ^[3] Вложенное топологическое подмногообразие не обязательно является регулярным в смысле существования локальной карты в каждой точке, расширяющей вложение. Контрпримеры включают дикие дуги и дикие узлы .

Характеристики

Учитывая любое погруженное подмногообразие $S$ из $M$ , касательное пространство к точке $p$ в $S$ естественно можно рассматривать как линейное подпространство касательного пространства к $p$ в $M$ . Это следует из того, что отображение включения является погружением и обеспечивает инъекцию

i_{\ast }:T_{p}S\to T_{p}M.

Предположим, что S — погруженное подмногообразие в $M$ . Если карта включения $i:S\to M$ закрыто тогда $S$ на самом деле является вложенным подмногообразием $M$ . И наоборот, если $S$ является вложенным подмногообразием, которое также является замкнутым подмножеством, то отображение включения замкнуто. Карта включения $i:S\to M$ замкнуто тогда и только тогда, когда оно является собственным отображением (т. е. прообразы компактов компактны). Если $i$ тогда закрыто $S$ называется замкнутым вложенным подмногообразием в $M$ . Замкнутые вложенные подмногообразия образуют лучший класс подмногообразий.

Подмногообразия реального координатного пространства

Гладкие многообразия иногда определяют как вложенные подмногообразия реального координатного пространства. $\mathbb {R} ^{n}$ , для некоторых $n$ . Эта точка зрения эквивалентна обычному, абстрактному подходу, поскольку по теореме вложения Уитни любая со счётом секунд гладкая (абстрактная) $m$ -многообразие можно плавно встроить в $\mathbb {R} ^{2m}$ .

Примечания

^ Шарп 1997 , с. 26.
^ Косински 2007 , с. 27.
^ Ланг 1999 , стр. 25–26. Шоке-Брюа 1968 , с. 11

Ссылки

Шоке-Брюа, Ивонн (1968). Дифференциальная геометрия и внешние системы . Париж: Дюнод.
Косински, Антони Альберт (2007) [1993]. Дифференциальные многообразия . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46244-8 .
Ланг, Серж (1999). Основы дифференциальной геометрии . Тексты для аспирантов по математике . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-98593-0 .
Ли, Джон (2003). Введение в гладкие многообразия . Тексты для аспирантов по математике 218 . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-95495-3 .
Шарп, RW (1997). Дифференциальная геометрия: обобщение Картаном программы Эрлангена Клейна . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-94732-9 .
Уорнер, Фрэнк В. (1983). Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-90894-3 .

[1] Шарп 1997 , с. 26.

[2] Косински 2007 , с. 27.

[3] Ланг 1999 , стр. 25–26. Шоке-Брюа 1968 , с. 11

[1]

[2]

[3]