Движущаяся рамка

Система Френе – Серре на кривой является простейшим примером движущейся системы отсчета.

В математике является движущаяся система отсчета гибким обобщением понятия упорядоченного базиса векторного пространства , часто используемого для изучения внешней дифференциальной геометрии , гладких многообразий вложенных в однородное пространство .

Введение

Проще говоря, система отсчета — это система измерительных стержней, используемых наблюдателем для измерения окружающего пространства путем определения координат . Движущаяся система отсчета — это система отсчета, которая движется вместе с наблюдателем по траектории ( кривой ). В этом простом примере метод движущейся системы отсчета стремится создать «предпочтительную» движущуюся систему отсчета на основе кинематических свойств наблюдателя. В геометрической постановке эта задача была решена в середине 19 века Жаном Фредериком Френе и Жозефом Альфредом Серре . Система Френе-Серре представляет собой движущуюся систему отсчета, определенную на кривой, которая может быть построена исключительно на основе скорости и ускорения кривой.

Фрейм Френе-Серре играет ключевую роль в дифференциальной геометрии кривых , что в конечном итоге приводит к более или менее полной классификации гладких кривых в евклидовом пространстве с точностью до конгруэнтности . Формулы Френе-Серре показывают, что существует пара функций, определенных на кривой, кручение и кривизна , которые получаются путем дифференцирования системы отсчета и которые полностью описывают, как система отсчета развивается во времени вдоль кривой. Ключевой особенностью общего метода является то, что предпочтительная движущаяся система отсчета, если ее можно найти, дает полное кинематическое описание кривой.

Трехгранник Дарбу, состоящий из точки P и тройки ортогональных единичных векторов e ₁ , e ₂ и e ₃ , который адаптирован к поверхности в том смысле, что P лежит на поверхности, а e ₃ перпендикулярен поверхности.

В конце 19 века Гастон Дарбу изучал проблему построения предпочтительной движущейся системы отсчета на поверхности в евклидовом пространстве вместо кривой, системы Дарбу (или триедровой подвижной системы , как ее тогда называли). Построить такой репер вообще оказалось невозможным и что существовали условия интегрируемости , которые необходимо было выполнить в первую очередь.

Позже движущиеся системы отсчета были широко развиты Эли Картаном и другими при изучении подмногообразий более общих однородных пространств (таких как проективное пространство ). В этом случае фрейм переносит геометрическую идею базиса векторного пространства на другие виды геометрических пространств ( геометрии Клейна ). Некоторые примеры кадров:

• — Линейный фрейм это упорядоченный базис векторного пространства .
• Ортонормированный фрейм векторного пространства — это упорядоченный базис, состоящий из ортогональных единичных векторов ( ортонормированный базис ).
• Аффинный фрейм аффинного пространства состоит из выбора начала координат и упорядоченного базиса векторов в соответствующем разностном пространстве .
• Евклидова система координат аффинного пространства — это выбор начала координат вместе с ортонормированным базисом разностного пространства.
• Проективная рамка в n -мерном проективном пространстве — это упорядоченный набор из n +2 точек такой, что любое подмножество из n +1 точки линейно независимо .
• Поля фреймов в общей теории относительности — это четырёхмерные фреймы, или vierbeins по-немецки.

В каждом из этих примеров совокупность всех кадров однородна в определенном смысле . Например, в случае линейных кадров любые два кадра связаны элементом общей линейной группы . Проективные рамки связаны проективной линейной группой . Эта однородность, или симметрия, класса фреймов отражает геометрические особенности линейного, аффинного, евклидова или проективного ландшафта. Движущийся кадр в этих обстоятельствах — это всего лишь кадр, который меняется от точки к точке.

Формально фрейм однородного пространства G / H состоит из точки тавтологического расслоения G → G / H . Движущийся кадр является частью этого связки. Оно движется что при изменении точки основания рамка в слое меняется на элемент группы симметрии G. в том смысле , Подвижная рамка на подмногообразии M группы G / H — это сечение образа тавтологического расслоения на M . По сути движущийся репер можно определить на главном расслоении P над многообразием. В этом случае движущаяся система отсчета задается G -эквивариантным отображением φ: P → G , тем самым оборудуя многообразие элементами группы G. Ли

Можно распространить понятие фреймов на более общий случай: можно « припаять » пучок волокон к гладкому многообразию таким образом, чтобы волокна вели себя так, как если бы они касались друг друга. Когда расслоение представляет собой однородное пространство, это сводится к описанному выше фрейму-полю. Когда однородное пространство представляет собой фактор специальных ортогональных групп , это сводится к стандартной концепции Вирбейна .

что движущаяся система отсчета всегда задается отображением в G. Хотя существует существенное формальное различие между внешними и внутренними движущимися системами отсчета, они оба схожи в том смысле , Стратегия метода движущихся систем отсчета Картана , кратко изложенная в методе эквивалентности Картана , состоит в том, чтобы найти естественную движущуюся систему отсчета на многообразии, а затем взять ее производную Дарбу , другими словами, вернуть форму Маурера -Картана от G к M (или P ) и тем самым получить полный набор структурных инвариантов многообразия.

Метод движущейся рамки

Картан (1937) сформулировал общее определение движущейся системы отсчета и метод движущейся системы отсчета, разработанный Вейлем (1938) . Элементами теории являются

• Группа Ли G .
• Пространство Клейна X , группа геометрических автоморфизмов которого равна G .
• Σ Гладкое многообразие , служащее пространством (обобщенных) координат для X .
• Совокупность кадров ƒ, каждая из которых определяет координатную функцию от X до Σ (точная природа системы координат остается неясной в общей аксиоматизации).

Предполагается, что между этими элементами выполняются следующие аксиомы:

• Существует свободное и транзитивное групповое действие G . наборе шкал: это главное однородное пространство для G на В частности, для любой пары кадров ƒ и ƒ′ существует уникальный переход кадра (ƒ→ƒ′) в G , определяемый требованием (ƒ→ƒ′)ƒ = ƒ′.
• Данной системе отсчета ƒ и точке A ∈ X соответствует точка x = ( A ,ƒ), принадлежащая Σ. Это отображение, определяемое фреймом ƒ, является биекцией точек X в точки Σ. Эта биекция совместима с законом композиции кадров в том смысле, что координата x ' точки A в другом кадре ƒ' возникает из ( A ,ƒ) путем применения преобразования (ƒ→ƒ'). То есть,
  $$(A,f')=(f\to f')\circ (A,f).$$

Интерес для метода представляют параметризованные подмногообразия X . Соображения в основном локальные, поэтому область параметров считается открытым подмножеством R. ^л . Применяются несколько разные методы в зависимости от того, интересует ли вас подмногообразие вместе с его параметризацией или подмногообразие вплоть до репараметризации.

Перемещение касательных кадров

Основная статья: Комплект рамок

Наиболее часто встречающийся случай движущейся системы отсчета - это связка касательных рамок (также называемая связкой рамок ) многообразия. В этом случае движущаяся касательная рамка на многообразии M состоит из набора векторных полей e ₁ , e ₂ , …, en _, образующих базис касательного пространства в каждой точке открытого множества U ⊂ M .

Если $(x^{1},x^{2},\dots ,x^{n})$ является системой координат на U , то каждое векторное поле e _j можно выразить как линейную комбинацию координатных векторных полей ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$:

$$e_{j}=\sum _{i=1}^{n}A_{j}^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}},$$

где каждый $A_{j}^{i}$является функцией на U . Их можно рассматривать как компоненты матрицы. $A$. Эта матрица полезна для нахождения координатного выражения двойного кофрейма, как описано в следующем разделе.

Кофреймы

Движущаяся система отсчета определяет двойственную систему отсчета или кофрейм кокасательного расслоения над U , который иногда также называют движущейся системой отсчета. Это n -кортеж гладких 1 -форм

я ¹ , я ² , ..., я ^н

которые линейно независимы в каждой точке q в U . Обратно, для такого кофрейма существует единственная движущаяся система отсчета e ₁ , e ₂ , …, en _, двойственная к ней, т. е. удовлетворяющая соотношению двойственности θ ^я ( е _j ) знак равно δ ^я _j , где δ ^я _j дельта - функция Кронекера на U. —

Если $(x^{1},x^{2},\dots ,x^{n})$ является системой координат на U , как и в предыдущем разделе, то каждое ковекторное поле θ ^я может быть выражено как линейная комбинация координатных ковекторных полей $dx^{i}$:

$$\theta ^{i}=\sum _{j=1}^{n}B_{j}^{i}dx^{j},$$

где каждый $B_{j}^{i}$ является функцией на U. Поскольку ${\textstyle dx^{i}\left({\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right)=\delta _{j}^{i}}$, два координатных выражения выше объединяются, чтобы дать ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}B_{k}^{i}A_{j}^{k}=\delta _{j}^{i}}$; с точки зрения матриц это просто говорит о том, что $A$ и $B$ являются инверсиями друг друга.

В условиях классической механики при работе с каноническими координатами канонический кофрейм задаётся тавтологической одноформой . Интуитивно он связывает скорости механической системы (задаваемые векторными полями на касательном расслоении координат) с соответствующими импульсами системы (задаваемыми векторными полями в кокасательном расслоении, т. е. заданными формами). Тавтологическая форма является частным случаем более общей формы пайки , которая обеспечивает поле (со)фрейма на общем расслоении волокон .

Использует

Движущиеся системы отсчета важны в общей теории относительности , где не существует привилегированного способа расширить выбор системы отсчета в момент события p (точка в пространстве-времени , которая представляет собой многообразие четырехмерного измерения) на близлежащие точки, и поэтому выбор должен быть сделан. В отличие от специальной теории относительности , M считается векторным пространством V (размерности четыре). В этом случае кадр в точке p может быть перенесен из p в любую другую точку q четко определенным способом. Вообще говоря, движущаяся система отсчёта соответствует наблюдателю, а выделенные системы отсчёта в специальной теории относительности представляют инерциальных наблюдателей .

В теории относительности и римановой геометрии наиболее полезным видом движущихся систем отсчета являются ортогональные и ортонормированные системы отсчета , то есть системы, состоящие из ортогональных (единичных) векторов в каждой точке. В данной точке р общая система координат может быть сделана ортонормированной путем ортонормировки ; на самом деле это можно сделать плавно, так что существование движущейся системы отсчета подразумевает существование движущейся ортонормированной системы отсчета.

Подробности

Движущаяся система отсчета всегда существует локально , т. е. в некоторой окрестности U любой точки p из M ; однако существование движущейся системы отсчета в глобальном масштабе на M требует топологических условий. Например, когда M — круг или, в более общем смысле, тор , такие рамки существуют; но не тогда, когда M является 2- сферой . Многообразие, имеющее глобальную подвижную систему отсчета, называется распараллеливаемым . Обратите внимание, например, как единицы направления широты и долготы на поверхности Земли распадаются на движущуюся систему координат на северном и южном полюсах.

Метод движущихся кадров Эли Картана основан на взятии движущейся системы отсчета, адаптированной к конкретной изучаемой задаче. Например, для кривой в пространстве первые три производных вектора кривой могут вообще определять систему отсчета в ее точке (ср. тензор кручения для количественного описания - здесь предполагается, что кручение не равно нулю). На самом деле в методе перемещения кадров чаще работают не с кадрами, а с кофреймами. В более общем смысле, движущиеся системы отсчета можно рассматривать как секции главных расслоений над открытыми множествами U . Общий метод Картана использует эту абстракцию, используя понятие связи Картана .

Атласы

Во многих случаях невозможно определить единую систему координат, действительную во всем мире. Чтобы преодолеть эту проблему, кадры обычно объединяются в атлас , что приводит к понятию локального кадра . Кроме того, часто желательно наделить эти атласы гладкой структурой , чтобы результирующие поля кадра были дифференцируемыми.

Обобщения

Хотя в этой статье поля репера строятся как система координат на касательном расслоении , многообразия общие идеи легко переходят к концепции векторного расслоения , которое представляет собой многообразие, наделенное векторным пространством в каждой точке, причем это векторное пространство является произвольным и, вообще говоря, не связанным с касательным расслоением.

Приложения

Главные оси вращения в пространстве

Маневры самолета могут быть выражены через движущуюся систему координат ( главные оси самолета ), когда они описаны пилотом.

См. также

• Рамка Дарбу
• Формулы Френе – Серре
• Рыскание, подача и крен

Ссылки

• Картан, Эли (1937), Теория конечных и непрерывных групп и дифференциальная геометрия, трактуемая методом движущейся системы отсчета , Париж: Готье-Вилларс .
• Картан, Эли (1983), Геометрия римановых пространств , Math Sci Press, Массачусетс .
• Черн, С.-С. (1985), «Движущиеся рамки», Эли Картан и современная математика , Asterisk, специальный выпуск, Soc. Математика. Франция, с. 67–77 .
• Коттон, Эмиль (1905), «Обобщение теории движущегося трехгранника», Bull. Соц. Математика. Франция , 33 : 1–23 .
• Дарбу, Гастон (1887), Уроки общей теории поверхностей , т. 1, с. Я, Готье-Виллар .
• Дарбу, Гастон (1915), Уроки общей теории поверхностей , вып. II, Готье-Виллар .
• Дарбу, Гастон (1894), Уроки общей теории поверхностей , вып. III, Готье-Виллар .
• Дарбу, Гастон (1896), Уроки общей теории поверхностей , т. 1, с. IV, Готье-Виллар .
• Эресманн, К. (1950), «Бесконечно-малые связи в дифференциальном расслоенном пространстве», Colloque de Topologie, Брюссель , стр. 29–55 .
• Евтушик, Е.Л. (2001) [1994], «Метод движущейся системы отсчета» , Энциклопедия Математики , EMS Press .
• Фелс, М.; Олвер, П.Дж. (1999), «Движущиеся кофреймы II: регуляризация и теоретические основы», Acta Applicandae Mathematicae , 55 (2): 127, doi : 10.1023/A:1006195823000 , S2CID   826629 .
• Грин, М. (1978), «Подвижная система отсчета, дифференциальные инварианты и теорема жесткости для кривых в однородных пространствах», Duke Mathematical Journal , 45 (4): 735–779, doi : 10.1215/S0012-7094-78-04535-0 , S2CID   120620785 .
• Гриффитс, Филлип (1974), «О методе Картана групп Ли и движущихся системах отсчета применительно к вопросам уникальности и существования в дифференциальной геометрии», Duke Mathematical Journal , 41 (4): 775–814, doi : 10.1215/S0012-7094- 74-04180-5 , S2CID   12966544
• Гуггенхаймер, Генрих (1977), Дифференциальная геометрия , Нью-Йорк: Dover Publications .
• Шарп, RW (1997), Дифференциальная геометрия: обобщение Картаном программы Эрлангена Кляйна , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-94732-7 .
• Спивак, Майкл (1999), Всестороннее введение в дифференциальную геометрию , том. 3, Хьюстон, Техас: Опубликуй или погибни .
• Штернберг, Шломо (1964), Лекции по дифференциальной геометрии , Прентис Холл .
• Вейль, Герман (1938), «Картан о группах и дифференциальной геометрии» , Бюллетень Американского математического общества , 44 (9): 598–601, doi : 10.1090/S0002-9904-1938-06789-4 .