Форма пайки

Припаиваем форму круга над тором.

В математике , точнее в дифференциальной геометрии , пайка (или иногда пайка ) пучка волокон к гладкому многообразию — это способ прикрепления волокон к многообразию таким образом, что их можно рассматривать как касательные. Интуитивно пайка в абстрактных терминах выражает идею о том, что многообразие может иметь точку контакта с определенной геометрией Клейна в каждой точке. Во внешней дифференциальной геометрии спайка просто выражается касанием модельного пространства к многообразию. Во внутренней геометрии для ее выражения необходимы другие методы. В этой общей форме пайка была представлена ​​Чарльзом Эресманном в 1950 году.

Пайка пучка волокон

Пусть M — гладкое многообразие, G группа Ли , и пусть E — гладкое расслоение над M со структурной группой G. — Предположим, что действует транзитивно на типичном слое F слоя E и что dim F = dim M. G Пайка E на M состоит из : следующих данных

1. Выдающийся раздел o : M → E. ​
2. Линейный изоморфизм векторных расслоений θ : TM → o ^* V E от касательного расслоения к M к обратному пути вертикального расслоения к E по выделенному сечению.

В частности, это последнее условие можно интерпретировать как утверждение, что θ определяет линейный изоморфизм

$\theta _{x}:T_{x}M\rightarrow V_{o(x)}E$

из касательного пространства M в точке x к (вертикальному) касательному пространству слоя в точке, определяемой выделенным сечением. Форма θ называется формой припоя для пайки.

Особые случаи

По соглашению, если выбор пайки уникален или канонически определен, форма пайки называется канонической формой или тавтологической формой.

Аффинные расслоения и векторные расслоения

Предположим, что E — аффинное векторное расслоение (векторное расслоение без выбора нулевого сечения). Тогда пайка на E сначала определяет выделенную секцию : то есть выбор нулевой секции o , чтобы E можно было идентифицировать как векторное расслоение. Тогда форма припоя представляет собой линейный изоморфизм.

$\theta \colon TM\to V_{o}E,$

Однако для векторного расслоения существует канонический изоморфизм между вертикальным пространством в начале координат и слоем V _o E ≈ E . При этой идентификации форма припоя определяется линейным изоморфизмом.

$TM\to E.$

Другими словами, пайка на аффинном расслоении E — это выбор изоморфизма E с касательным расслоением к M .

Часто говорят о форме пайки на векторном расслоении понимают , где априори , что выделенным участком пайки является нулевой участок расслоения. В этом случае структурная группа векторного расслоения часто неявно расширяется полупрямым произведением ( GL n ) с типичным слоем E (который является представлением GL ( n )).

Примеры

• Например, в частном случае касательное расслоение само по себе имеет каноническую форму спая, а именно тождество.
• Если M имеет риманову метрику (или псевдориманову метрику ), то ковариантный метрический тензор дает изоморфизм $g\colon TM\to T^{*}M$ от касательного расслоения к коткасательному расслоению , которое представляет собой форму припоя.
• В гамильтоновой механике форма припоя известна как тавтологическая форма или, попеременно, как форма Лиувилля , форма Пуанкаре , каноническая форма или симплектический потенциал .
• Рассмотрим ленту Мёбиуса как расслоение над окружностью. Вертикальный пучок o ^* V E по-прежнему является лентой Мёбиуса, а касательное расслоение TM является цилиндром, поэтому формы для пайки для этого не существует.

Приложения

• на векторном расслоении позволяет определить тензоры кручения и конторсии соединения Форма пайки .

• Формы спайки встречаются в сигма-модели , где они склеивают касательное пространство пространственно-временного многообразия с касательным пространством полевого многообразия.

• Вирбейны , или тетрады в общей теории относительности, выглядят как спаянные формы, поскольку они склеивают координатные карты на пространственно-временном многообразии с предпочтительным, обычно ортонормированным базисом в касательном пространстве, где вычисления могут быть значительно упрощены. То есть координатные карты - это $TM$ в определениях выше, а поле кадра представляет собой вертикальный пучок $VE$. В сигма-модели вирбейны явно представляют собой формы припоя.

Основные пакеты

На языке главных расслоений форма пайки на гладком главном G -расслоении P над гладким многообразием M — это горизонтальная и G -эквивариантная дифференциальная 1-форма на P со значениями в линейном представлении V группы G такая, что ассоциированное расслоение Отображение касательного расслоения TM в ассоциированное расслоение P × _G V является изоморфизмом расслоения . (В частности, V и M должны иметь одинаковую размерность.)

Мотивирующим примером формы пайки является тавтологическая или фундаментальная форма на связке рам коллектора.

Причина такого названия в том, что форма спайки припаивает (или прикрепляет) абстрактное главное расслоение к многообразию M путем отождествления ассоциированного расслоения с касательным расслоением. Формы припоя дают метод изучения G -структур и играют важную роль в теории соединений Картана . Терминология и подход особенно популярны в физической литературе.

Ссылки

• Эресманн, К. (1950). «Бесконечно малые связности в дифференциальном расслоенном пространстве». Конференция по топологии, Брюссель : 29–55.
• Кобаяши, Шошичи (1957). «Теория связей» . Энн. Мат. Приложение Pura . 43 (1): 119–194. дои : 10.1007/BF02411907 .
• Кобаяши, Шошичи и Номидзу, Кацуми (1996). Основы дифференциальной геометрии , Vol. 1 и 2 (Новое изд.). Уайли Интерсайенс . ISBN  0-471-15733-3 .