Модель Сигмы

В физике сигма -модель — это теория поля , которая описывает поле как точечную частицу, способную двигаться по фиксированному многообразию. Это многообразие может быть любым римановым многообразием , хотя чаще всего оно считается либо группой Ли , либо симметрическим пространством . Модель может быть квантованной, а может и не быть квантованной. Примером неквантованной версии является модель Скирма ; его нельзя квантовать из-за нелинейности степени больше 4. В общем, сигма-модели допускают (классические) топологические солитонные решения, например, скирмион для модели Скирма. Когда сигма-поле связано с калибровочным полем, результирующая модель описывается теорией Гинзбурга – Ландау . Данная статья посвящена в первую очередь классической теории поля сигма-модели; соответствующая квантовая теория представлена ​​в статье « Нелинейная сигма-модель ».

Обзор

Название имеет корни в физике элементарных частиц, где сигма-модель описывает взаимодействия пионов . К сожалению, «сигма-мезон» не описывается сигма-моделью, а лишь ее компонент.

Сигма-модель была представлена ​​Гелл-Манном и Леви (1960 , раздел 5); Название σ-модель происходит от поля в их модели, соответствующего бесспиновому мезону под названием σ , скалярному мезону, введенному ранее Джулианом Швингером . Модель служила доминирующим прототипом спонтанного нарушения симметрии от O (4) до O (3): три нарушенных осевых генератора являются простейшим проявлением нарушения киральной симметрии , а сохранившийся ненарушенный O (3) представляет собой изоспин .

В традиционных установках физики элементарных частиц поле обычно принимается равным SU(N) или векторному подпространству частного $(SU(N)_{L}\times SU(N)_{R})/SU(N)$ произведения левого и правого киральных полей. В теориях конденсированного состояния поле принимается равным O(N) . Для группы вращения O(3) сигма-модель описывает изотропный ферромагнетик ; В более общем плане модель O(N) проявляется в квантовом эффекте Холла , сверхтекучем гелии-3 и спиновых цепочках .

В моделях супергравитации поле считается симметричным пространством . Поскольку симметрические пространства определяются в терминах их инволюции , их касательное пространство естественным образом распадается на подпространства четной и нечетной четности. Это расщепление помогает способствовать уменьшению размерностей теорий Калуцы – Клейна .

В своей самой базовой форме сигма-модель можно рассматривать как чисто кинетическую энергию точечной частицы; как поле это просто энергия Дирихле в евклидовом пространстве.

В двух пространственных измерениях модель O(3) полностью интегрируема .

Определение

Лагранжева плотность сигма-модели может быть записана множеством различных способов, каждый из которых подходит для конкретного типа приложения. Самое простое и общее определение описывает лагранжиан как метрический след обратного образа метрического тензора на римановом многообразии . Для $\phi :M\to \Phi$ поле времени в пространстве- $M$, это можно записать как

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}(\phi )\;\partial ^{\mu }\phi _{i}\partial _{\mu }\phi _{j}$

где $g_{ij}(\phi )$ - метрический тензор в пространстве полей $\phi \in \Phi$и $\partial _{\mu }$ являются производными на базовом пространственно-временном многообразии .

Это выражение можно немного распаковать. Полевое пространство $\Phi$ можно выбрать любое риманово многообразие . Исторически это «сигма» сигма-модели; исторически подходящий символ $\sigma$ здесь избегается, чтобы предотвратить конфликты со многими другими распространенными вариантами использования $\sigma$ по геометрии. Римановы многообразия всегда имеют метрический тензор. $g$. Учитывая атлас карт на $\Phi$пространство полей всегда можно локально тривиализировать , при этом задано $U\subset \Phi$ в атласе можно написать карту $U\to \mathbb {R} ^{n}$ предоставление явных местных координат $\phi =(\phi ^{1},\cdots ,\phi ^{n})$ на этом патче. Метрический тензор на этом участке представляет собой матрицу, имеющую компоненты $g_{ij}(\phi ).$

Базовый коллектор $M$ должно быть дифференцируемым многообразием ; по соглашению, это либо пространство Минковского в приложениях физики элементарных частиц , плоское двумерное евклидово пространство для приложений конденсированного состояния , либо риманова поверхность , мировой лист в теории струн . $\partial _{\mu }\phi =\partial \phi /\partial x^{\mu }$ это просто старая добрая ковариантная производная на базовом пространственно-временном многообразии $M.$ Когда $M$ плоский, $\partial _{\mu }\phi =\nabla \phi$ это просто обычный градиент скалярной функции (как $\phi$ является скалярным полем с точки зрения $M$ себя.) Говоря более точным языком, $\partial _{\mu }\phi$ представляет часть реактивного пучка собой $M\times \Phi$.

Пример: нелинейная сигма-модель O(N)

принимая $g_{ij}=\delta _{ij}$ , дельта Кронекера т.е. скалярное скалярное произведение в евклидовом пространстве, получается $O(n)$ нелинейная сигма-модель. То есть напишите $\phi ={\hat {u}}$ быть единичным вектором в $\mathbb {R} ^{n}$, так что ${\hat {u}}\cdot {\hat {u}}=1$, с $\cdot$ обычное евклидово скалярное произведение. Затем ${\hat {u}}\in S^{n-1}$ тот $(n-1)$— сфера , изометриями которой являются группы вращения $O(n)$. Тогда лагранжиан можно записать как

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\nabla _{\mu }{\hat {u}}\cdot \nabla _{\mu }{\hat {u}}$

Для $n=3$, это континуальный предел изотропного . ферромагнетика на решетке, т.е. модели Гейзенберга классической Для $n=2$Это предел континуума классической модели XY . См. также n-векторную модель и модель Поттса для обзоров эквивалентов решетчатой ​​модели . Предел континуума берется записью

$\delta _{h}[{\hat {u}}](i,j)={\frac {{\hat {u}}_{i}-{\hat {u}}_{j}}{h}}$

как конечная разность в соседних положениях решетки $i,j.$ Затем $\delta _{h}[{\hat {u}}]\to \partial _{\mu }{\hat {u}}$ в пределе $h\to 0$, и ${\hat {u}}_{i}\cdot {\hat {u}}_{j}\to \partial _{\mu }{\hat {u}}\cdot \partial _{\mu }{\hat {u}}$ после отказа от постоянных членов ${\hat {u}}_{i}\cdot {\hat {u}}_{i}=1$ («объемное намагничивание»).

В геометрических обозначениях

Сигма-модель также можно записать в более полной геометрической форме, как пучок волокон с волокнами $\Phi$ над дифференцируемым многообразием $M$. Учитывая раздел $\phi :M\to \Phi$, исправь точку $x\in M.$ Продвижение вперед в $x$ представляет собой отображение касательных расслоений

$\mathrm {d} _{x}\phi :T_{x}M\to T_{\phi (x)}\Phi \quad$ принимая $\quad \partial _{\mu }\mapsto {\frac {\partial \phi ^{i}}{\partial x^{\mu }}}\partial _{i}$

где $\partial _{\mu }=\partial /\partial x^{\mu }$ в качестве базиса ортонормированного векторного пространства на $TM$ и $\partial _{i}=\partial /\partial q^{i}$ базис векторного пространства на $T\Phi$. $\mathrm {d} \phi$ является дифференциальной формой . сигма-модели В таком случае действие представляет собой просто обычный внутренний продукт векторнозначных k -форм.

${\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\int _{M}\mathrm {d} \phi \wedge {*\mathrm {d} \phi }$

где $\wedge$ является произведением клина , а $*$ это звезда Ходжа . Это внутренний продукт в двух разных смыслах. Первый способ: для любых двух дифференцируемых форм $\alpha ,\beta$ в $M$, двойственный Ходж определяет инвариантный скалярный продукт в пространстве дифференциальных форм, обычно записываемый как

$\langle \!\langle \alpha ,\beta \rangle \!\rangle \ =\ \int _{M}\alpha \wedge {*\beta }$

Вышеупомянутое является внутренним произведением в пространстве интегрируемых с квадратом форм, которое условно принято называть пространством Соболева. $L^{2}.$ Таким образом, можно написать

${\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\langle \!\langle \mathrm {d} \phi ,\mathrm {d} \phi \rangle \!\rangle$

Это делает очевидным и очевидным, что сигма-модель — это всего лишь кинетическая энергия точечной частицы. С точки зрения многообразия $M$, поле $\phi$ является скаляром, и поэтому $\mathrm {d} \phi$ можно признать просто обычным градиентом скалярной функции. Звезда Ходжа — это всего лишь причудливое устройство для отслеживания формы объема при интегрировании в искривленном пространстве-времени. В случае, если $M$ плоский, его можно полностью игнорировать, поэтому действие

${\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\int _{M}\Vert \nabla \phi \Vert ^{2}d^{m}x$

что представляет собой Дирихле энергию $\phi$. Классическими экстремумами действия (решениями уравнений Лагранжа ) являются тогда те конфигурации поля, которые минимизируют энергию Дирихле $\phi$. Другой способ преобразовать это выражение в более легко узнаваемую форму — заметить, что для скалярной функции $f:M\to \mathbb {R}$ у одного есть $\mathrm {d} *f=0$ и поэтому можно также написать

${\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\langle \!\langle \phi ,\Delta \phi \rangle \!\rangle$

где $\Delta$ – оператор Лапласа–Бельтрами , т.е. обычный лапласиан , когда $M$ плоский.

Для того, чтобы в игре присутствует еще один , второй внутренний продукт, просто необходимо не забывать, что $\mathrm {d} \phi$ является вектором с точки зрения $\Phi$ сам. То есть, учитывая любые два вектора $v,w\in T\Phi$, риманова метрика $g_{ij}$ определяет внутренний продукт

$\langle v,w\rangle =g_{ij}v^{i}w^{j}$

С $\mathrm {d} \phi$ является векторным $\mathrm {d} \phi =(\mathrm {d} \phi ^{1},\cdots ,\mathrm {d} \phi ^{n})$ на локальных графиках туда же берется и внутренний продукт. Более многословно,

${\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\int _{M}g_{ij}(\phi )\;\mathrm {d} \phi ^{i}\wedge {*\mathrm {d} \phi ^{j}}$

Напряженность между этими двумя внутренними продуктами можно сделать еще более явной, если отметить, что

$B_{\mu \nu }(\phi )=g_{ij}\partial _{\mu }\phi ^{i}\partial _{\nu }\phi ^{j}$

является билинейной формой ; это откат метрики Римана $g_{ij}$. Индивидуум $\partial _{\mu }\phi ^{i}$ можно принять за вильбейны . Лагранжева плотность сигма-модели тогда равна

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }B_{\mu \nu }$

для $g_{\mu \nu }$ метрика на $M.$ Учитывая такое склеивание, $\mathrm {d} \phi$ можно интерпретировать как форму припоя ; более подробно это сформулировано ниже.

Мотивации и основные интерпретации

По поводу классической (неквантованной) сигма-модели можно сделать несколько интерпретационных и основополагающих замечаний. Первое из них заключается в том, что классическую сигма-модель можно интерпретировать как модель невзаимодействующей квантовой механики. Второе касается интерпретации энергии.

Интерпретация как квантовая механика

Это следует непосредственно из выражения

${\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\langle \!\langle \phi ,\Delta \phi \rangle \!\rangle$

приведено выше. принимая $\Phi =\mathbb {C}$, функция $\phi :M\to \mathbb {C}$ можно интерпретировать как волновую функцию , а ее лапласиан — как кинетическую энергию этой волновой функции. $\langle \!\langle \cdot ,\cdot \rangle \!\rangle$ — это всего лишь некий геометрический механизм, напоминающий о необходимости интегрироваться во всем пространстве. Соответствующие квантовомеханические обозначения: $\phi =|\psi \rangle .$ В плоском пространстве лапласиан обычно записывается как $\Delta =\nabla ^{2}$. Собрав все эти части вместе, действие сигма-модели эквивалентно

${\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\int _{M}\langle \psi |\nabla ^{2}|\psi \rangle dx^{m}={\frac {1}{2}}\int _{M}\psi ^{\dagger }(x)\nabla ^{2}\psi (x)dx^{m}$

что представляет собой просто общую кинетическую энергию волновой функции $\psi (x)$, до коэффициента $\hbar /m$. В заключение классическая сигма-модель $\mathbb {C}$ можно интерпретировать как квантовую механику свободной, невзаимодействующей квантовой частицы. Очевидно, что добавление члена $V(\phi )$ к результатам Лагранжа в квантовой механике волновой функции в потенциале. принимая $\Phi =\mathbb {C} ^{n}$ недостаточно, чтобы описать $n$-система частиц, в которой $n$ частицы требуют $n$ отдельные координаты, которые не предоставляются базовым многообразием. Это можно решить, взяв $n$ копии базового коллектора.

Форма припоя

Очень хорошо известно, что геодезическая структура риманова многообразия описывается уравнениями Гамильтона–Якоби . В эскизном виде конструкция выглядит следующим образом. Оба $M$ и $\Phi$ являются римановыми многообразиями; ниже написано для $\Phi$, то же самое можно сделать и для $M$. Котангенс расслоение $T^{*}\Phi$, поставляемая с координатными картами , всегда может быть локально тривиализирована , т.е.

$\left.T^{*}\Phi \right|_{U}\cong U\times \mathbb {R} ^{n}$

Тривиализация предоставляет канонические координаты. $(q^{1},\cdots ,q^{n},p_{1},\cdots ,p_{n})$ на котангенсе. Учитывая метрический тензор $g_{ij}$ на $\Phi$, определим функцию Гамильтона

$H(q,p)={\frac {1}{2}}g^{ij}(q)p_{i}p_{j}$

где, как всегда, следует отметить, что в этом определении используется обратная метрика: $g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}.$ Как известно, геодезический поток на $\Phi$ задается уравнениями Гамильтона – Якоби

${\dot {q}}^{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\quad$ и $\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}$

Геодезический поток является гамильтоновым потоком ; решения вышесказанного являются геодезическими многообразия. Заметьте, кстати, что $dH/dt=0$ по геодезическим; параметр времени $t$ — расстояние по геодезической.

Сигма-модель учитывает импульсы в двух многообразиях. $T^{*}\Phi$ и $T^{*}M$ и спаивает их вместе, в этом $\mathrm {d} \phi$ это форма припоя . В этом смысле интерпретация сигма-модели как энергетического функционала неудивительна; на самом деле это склейка двух энергетических функционалов. Внимание: точное определение формы припоя требует, чтобы она была изоморфизмом; это может произойти только если $M$ и $\Phi$ имеют одинаковое реальное измерение. Кроме того, традиционное определение формы припоя принимает $\Phi$ быть группой Ли. Оба условия выполняются в различных приложениях.

Результаты на различных пространствах

Пространство $\Phi$ часто принимается за группу Ли , обычно SU(N) в традиционных моделях физики элементарных частиц, O(N) в теориях конденсированного состояния или как симметричное пространство в моделях супергравитации . Поскольку симметрические пространства определяются в терминах их инволюции , их касательное пространство (т. е. место, где $\mathrm {d} \phi$ жизни) естественным образом распадается на подпространства четной и нечетной четности. Это расщепление помогает способствовать уменьшению размерностей теорий Калуцы – Клейна .

О группах Лия

Для частного случая $\Phi$ будучи группой Ли , $g_{ij}$ — метрический тензор группы Ли, формально называемый тензором Картана или формой Киллинга . Тогда лагранжиан можно записать как обратную форму Киллинга. Заметим, что форму Киллинга можно записать в виде следа по двум матрицам из соответствующей алгебры Ли ; таким образом, лагранжиан также можно записать в форме, включающей след. С небольшими перестановками ее также можно записать как откат формы Маурера-Картана .

О симметричных пространствах

Распространенным вариантом сигма-модели является ее представление в симметричном пространстве . Прототипическим примером является киральная модель , которая принимает произведение

$G=SU(N)\times SU(N)$

«левых» и «правых» киральных полей, а затем строит сигма-модель на «диагонали»

$\Phi ={\frac {SU(N)\times SU(N)}{SU(N)}}$

Такое факторпространство является симметричным пространством, поэтому в общем случае можно взять $\Phi =G/H$ где $H\subset G$ является максимальной подгруппой $G$ которое инвариантно относительно инволюции Картана . Лагранжиан по-прежнему записывается точно так же, как указано выше, либо через откат метрики на $G$ к метрике на $G/H$ или как откат формы Маурера – Картана.

Обозначение трассировки

В физике наиболее распространенное и общепринятое изложение сигма-модели начинается с определения

$L_{\mu }=\pi _{\mathfrak {m}}\circ \left(g^{-1}\partial _{\mu }g\right)$

Здесь $g^{-1}\partial _{\mu }g$ является возвратом формы Маурера–Картана , для $g\in G$, на многообразие пространства-времени. $\pi _{\mathfrak {m}}$ является проекцией на нечетный фрагмент инволюции Картана. То есть, учитывая алгебру Ли ${\mathfrak {g}}$ из $G$, инволюция разлагает пространство на компоненты четности и нечетности ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {m}}\oplus {\mathfrak {h}}$ соответствующие двум собственным состояниям инволюции. Тогда лагранжиан сигма-модели можно записать как

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\mathrm {tr} \left(L_{\mu }L^{\mu }\right)$

Это сразу можно узнать как первый член модели Скирма .

Метрическая форма

Эквивалентной метрической формой этого является запись элемента группы $g\in G$ как геодезическая $g=\exp(\theta ^{i}T_{i})$ элемента $\theta ^{i}T_{i}\in {\mathfrak {g}}$ алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$. $[T_{i},T_{j}]={f_{ij}}^{k}T_{k}$ являются базисными элементами алгебры Ли; тот ${f_{ij}}^{k}$ являются константами структурными ${\mathfrak {g}}$.

Подключение этого непосредственно к приведенному выше и применение бесконечно малой формы формулы Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа быстро приводит к эквивалентному выражению

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}g_{ij}(\phi )\;\mathrm {d} \phi _{i}\wedge {*\mathrm {d} \phi _{j}}={\frac {1}{2}}\;{W_{i}}^{m}{W^{n}}_{j}\;\;\mathrm {d} \phi _{i}\wedge {*\mathrm {d} \phi _{j}}\;\;\mathrm {tr} (T_{m}T_{n})$

где $\mathrm {tr} (T_{m}T_{n})$ теперь очевидно (пропорционально) форме Киллинга, а ${W_{i}}^{m}$ - это вьельбейны , выражающие «кривую» метрику $g_{ij}$ в терминах «плоской» метрики $\mathrm {tr} (T_{m}T_{n})$. Статья о формуле Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа дает явное выражение для вильбейнов. Их можно записать как

$W=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}M^{n}}{(n+1)!}}=(I-e^{-M})M^{-1}$

где $M$ – матрица, матричными элементами которой являются ${M_{j}}^{k}=\theta ^{i}{f_{ij}}^{k}$.

Для сигма-модели в симметричном пространстве, в отличие от группы Ли, $T_{i}$ ограничены охватом подпространства ${\mathfrak {m}}$ вместо всего ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {m}}\oplus {\mathfrak {h}}$. Коммутатор Ли включен ${\mathfrak {m}}$ будет не внутри ${\mathfrak {m}}$; действительно, у человека есть $[{\mathfrak {m}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {h}}$ и поэтому прогноз все еще необходим.

Расширения

Модель может быть расширена различными способами. Помимо вышеупомянутой модели Скирма , которая вводит члены четвертой степени, модель может быть дополнена торсионным членом, чтобы получить модель Весса-Зумино-Виттена .

Другая возможность часто встречается в моделях супергравитации . Здесь можно отметить, что форма Маурера–Картана $g^{-1}dg$ выглядит как «чистая калибровка». В приведенной выше конструкции для симметричных пространств можно рассмотреть и другую проекцию

$A_{\mu }=\pi _{\mathfrak {h}}\circ \left(g^{-1}\partial _{\mu }g\right)$

где, как и раньше, симметрическое пространство соответствовало расколу ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {m}}\oplus {\mathfrak {h}}$. Этот дополнительный термин можно интерпретировать как соединение в пучке волокон. $M\times H$ (оно преобразуется как калибровочное поле). Это то, что «осталось» от соединения на $G$. Ему можно придать собственную динамику, написав

${\mathcal {L}}=g_{ij}F^{i}\wedge *F^{j}$

с $F^{i}=dA^{i}$. Обратите внимание, что дифференциал здесь — это просто «d», а не ковариантная производная; это не тензор энергии-импульса Янга – Миллса. Этот член сам по себе не является калибровочным инвариантом; его надо брать вместе с той частью связи, которая встраивается в $L_{\mu }$, так что, вместе взятые, $L_{\mu }$, теперь вместе со связностью вместе с этим членом образует полный калибровочно-инвариантный лагранжиан (который в развернутом виде действительно содержит члены Янга–Миллса).

Ссылки

• Гелл-Манн, М.; Леви, М. (1960), «Аксиальный векторный ток при бета-распаде», Il Nuovo Cimento , 16 (4): 705–726, Бибкод : 1960NCim...16..705G , doi : 10.1007/BF02859738 , S2CID   122945049

• Кетов, Сергей (2009). «Нелинейная сигма-модель» . Схоларпедия . 4 (1): 8508. Бибкод : 2009SchpJ...4.8508K . doi : 10.4249/scholarpedia.8508 .