Модель Поттса

В статистической механике модель Поттса — обобщение модели Изинга — представляет собой модель взаимодействующих спинов на кристаллической решетке . Изучая модель Поттса, можно получить представление о поведении ферромагнетиков и некоторых других явлениях физики твердого тела . Сила модели Поттса не столько в том, что она хорошо моделирует эти физические системы; скорее, одномерный случай точно разрешим и имеет богатую математическую формулировку, которая тщательно изучалась.

Модель названа в честь Ренфри Поттса , который описал ее в конце своей докторской диссертации в 1951 году. диссертация. Модель была связана с «плоской Поттсом» или « моделью часов », которую ему предложил его советник Сирил Домб . Модель Поттса с четырьмя состояниями иногда называют моделью Эшкина-Теллера . после Юлиуса Эшкина и Эдварда Теллера , которые рассматривали эквивалентную модель в 1943 году.

Модель Поттса связана с несколькими другими моделями и обобщается ими, включая модель XY , модель Гейзенберга и модель N-вектора . Модель Поттса с бесконечным диапазоном известна как модель Каца . Когда считается, что спины взаимодействуют неабелевым образом , модель связана с моделью трубки потока , которая используется для обсуждения удержания в квантовой хромодинамике . Обобщения модели Поттса также использовались для моделирования роста зерен в металлах, укрупнения в пенопластах и ​​статистических свойств белков . Дальнейшее обобщение этих методов Джеймсом Глейзером и Франсуа Гранером , известное как клеточная модель Поттса , использовался для моделирования статических и кинетических явлений в пене и биологическом морфогенезе .

Определение

Поттса

Модель Поттса состоит из спинов , помещенных на решетку ; решетка обычно считается двумерной прямоугольной евклидовой решеткой, но часто обобщается на другие измерения и решетчатые структуры.

Первоначально Домб предположил, что вращение занимает один из $q$ возможные значения , распределенные равномерно по окружности , под углами

$\theta _{s}={\frac {2\pi s}{q}},$

где $s=0,1,...,q-1$ взаимодействия и что гамильтониан определяется выражением

$H_{c}=J_{c}\sum _{\langle i,j\rangle }\cos \left(\theta _{s_{i}}-\theta _{s_{j}}\right)$

с суммой, пробегающей пары ближайших соседей $\langle i,j\rangle$ по всем узлам решетки и $J_{c}$ – константа связи, определяющая силу взаимодействия. Эта модель теперь известна как векторная модель Поттса или модель часов . Поттс указал место фазового перехода в двух измерениях для $q=3,4$. В пределе $q\to \infty$, это становится моделью XY .

Поттса

То, что сейчас известно как стандартная модель Поттса, было предложено Поттсом в ходе изучения приведенной выше модели и определяется более простым гамильтонианом:

$H_{p}=-J_{p}\sum _{(i,j)}\delta (s_{i},s_{j})\,$

где $\delta (s_{i},s_{j})$ – это дельта Кронекера , которая равна единице всякий раз, когда $s_{i}=s_{j}$ и ноль в противном случае.

The $q=2$ стандартная модель Поттса эквивалентна модели Изинга и векторной модели Поттса с двумя состояниями, с $J_{p}=-2J_{c}$. $q=3$ стандартная модель Поттса эквивалентна векторной модели Поттса с тремя состояниями, с $J_{p}=-{\frac {3}{2}}J_{c}$.

Поттса

Обобщение модели Поттса часто используется в статистических выводах и биофизике, особенно для моделирования белков посредством анализа прямого связывания . Эта обобщенная модель Поттса состоит из «спинов», каждый из которых может принимать $q$ говорится: $s_{i}\in \{1,\dots ,q\}$ (без особого заказа). Гамильтониан это,

$H=\sum _{i<j}J_{ij}(s_{i},s_{j})+\sum _{i}h_{i}(s_{i}),$

где $J_{ij}(k,k')$ это энергетическая стоимость вращения $i$ находясь в состоянии $k$ во время вращения $j$ находится в состоянии $k'$, и $h_{i}(k)$ это энергетическая стоимость вращения $i$ находясь в состоянии $k$. Примечание: $J_{ij}(k,k')=J_{ji}(k',k)$. Эта модель напоминает модель Шеррингтона-Киркпатрика тем, что связи могут быть гетерогенными и нелокальными. В этой модели нет явной решетчатой ​​структуры.

Физические свойства

Фазовые переходы

Несмотря на свою простоту как модели физической системы, модель Поттса полезна как модельная система для изучения фазовых переходов . Например, для стандартной ферромагнитной модели Поттса в $2d$, фазовый переход существует для всех действительных значений $q\geq 1$, с критической точкой в $\beta J=\log(1+{\sqrt {q}})$. Фазовый переход непрерывен (второй род) при $1\leq q\leq 4$ и прерывистый (первый порядок) для $q>4$.

Для модели часов есть свидетельства того, что соответствующие фазовые переходы представляют собой переходы БКТ бесконечного порядка , и непрерывный фазовый переход наблюдается, когда $q\leq 4$. Дальнейшее использование можно найти благодаря связи модели с перколяции задачами , а также с помощью Тутте и хроматических полиномов, обнаруженных в комбинаторике. Для целочисленных значений $q\geq 3$, модель отображает явление «межфазной адсорбции». с интригующими критическими свойствами смачивания при фиксации противоположных границ в двух разных состояниях .

с моделью

Модель Поттса имеет тесное отношение к Фортьюна- Кастеляна модели случайных кластеров , еще одной модели статистической механики . Понимание этой взаимосвязи помогло разработать эффективные методы Монте-Карло для численного исследования модели при небольших размерах. $q$и привело к строгому доказательству критической температуры модели.

На уровне статистической суммы $Z_{p}=\sum _{\{s_{i}\}}e^{-H_{p}}$, соотношение сводится к преобразованию суммы по спиновым конфигурациям $\{s_{i}\}$ в сумму по рёберным конфигурациям $\omega ={\Big \{}(i,j){\Big |}s_{i}=s_{j}{\Big \}}$ т.е. наборы пар ближайших соседей одного цвета. Преобразование осуществляется с использованием тождества

$e^{J_{p}\delta (s_{i},s_{j})}=1+v\delta (s_{i},s_{j})\qquad {\text{ with }}\qquad v=e^{J_{p}}-1\ .$

Это приводит к переписыванию функции раздела как

$Z_{p}=\sum _{\omega }v^{\#{\text{edges}}(\omega )}q^{\#{\text{clusters}}(\omega )}$

где кластеры FK — компоненты связности объединения замкнутых отрезков $\cup _{(i,j)\in \omega }[i,j]$. Это пропорционально статистической сумме модели случайного кластера с вероятностью открытого края $p={\frac {v}{1+v}}=1-e^{-J_{p}}$. Преимущество формулировки случайного кластера состоит в том, что $q$ может быть произвольным комплексным числом, а не натуральным целым числом.

Альтернативно, вместо FK-кластеров модель можно сформулировать в терминах спиновых кластеров , используя тождество

$e^{J_{p}\delta (s_{i},s_{j})}=(1-\delta (s_{i},s_{j}))+e^{J_{p}}\delta (s_{i},s_{j})\ .$

Спиновый кластер — это объединение соседних FK-кластеров одного цвета: два соседних спиновых кластера имеют разные цвета, а два соседних FK-кластера окрашены независимо.

-

Одномерная модель Поттса может быть выражена через сдвиг конечного типа и, таким образом, получает доступ ко всем математическим методам, связанным с этим формализмом. В частности, ее можно решить именно методами трансфер-операторов . (Однако Эрнст Изинг в своей докторской диссертации 1924 года использовал комбинаторные методы для решения модели Изинга , которая является «предком» модели Поттса). В этом разделе развивается математический формализм, основанный на теории меры , лежащий в основе этого решения.

Хотя приведенный ниже пример разработан для одномерного случая, многие аргументы и почти все обозначения легко обобщаются на любое количество измерений. Некоторый формализм также достаточно широк, чтобы обрабатывать связанные модели, такие как модель XY , модель Гейзенберга и модель N-вектора .

Топология пространства состояний

Пусть Q = {1, ..., q } — конечное множество символов, и пусть

$Q^{\mathbf {Z} }=\{s=(\ldots ,s_{-1},s_{0},s_{1},\ldots ):s_{k}\in Q\;\forall k\in \mathbf {Z} \}$

быть набором всех бибесконечных строк значений из множества Q . Этот набор называется полной сменой . Для определения модели Поттса может быть использовано либо все это пространство, либо определенное его подмножество — подсдвиг конечного типа . Сдвиги получили это название потому, что в этом пространстве существует естественный оператор — оператор сдвига τ : Q. ^С → Вопрос ^С , действуя как

$\tau (s)_{k}=s_{k+1}$

Этот набор имеет топологию натурального продукта ; основой этой топологии являются наборы цилиндров

$C_{m}[\xi _{0},\ldots ,\xi _{k}]=\{s\in Q^{\mathbf {Z} }:s_{m}=\xi _{0},\ldots ,s_{m+k}=\xi _{k}\}$

то есть набор всех возможных строк, в которых k +1 спинов, точно соответствует заданному конкретному набору значений ξ ₀ , ..., ξ _k . Явное представление наборов цилиндров можно получить, заметив, что строка значений соответствует q -адическому числу , однако естественная топология q-адических чисел тоньше, чем приведенная выше топология произведения.

Энергия взаимодействия

Тогда взаимодействие между спинами задается непрерывной функцией V : Q ^С → R в этой топологии. любая Подойдет непрерывная функция; например

$V(s)=-J\delta (s_{0},s_{1})$

будет рассматриваться для описания взаимодействия между ближайшими соседями. Конечно, разные функции дают разные взаимодействия; поэтому функция s ₀ , s ₁ и s ₂ будет описывать взаимодействие следующего ближайшего соседа. Функция V дает энергию взаимодействия между набором спинов; это не гамильтониан, но он используется для его построения. Аргументом функции V является элемент s ∈ Q ^С , то есть бесконечная цепочка вращений. В приведенном выше примере функция V только что выбрала два спина из бесконечной строки: значения s ₀ и s ₁ . В общем, функция V может зависеть от некоторых или всех спинов; в настоящее время точно разрешимы только те задачи, которые зависят от конечного числа.

Определим функцию H _n : Q ^С → Р как

$H_{n}(s)=\sum _{k=0}^{n}V(\tau ^{k}s)$

Можно видеть, что эта функция состоит из двух частей: собственная энергия конфигурации [ s ₀ , s ₁ , ..., s _n ] спинов плюс энергия взаимодействия этого набора и всех остальных спинов в решетке. . Предел этой функции при n → ∞ является гамильтонианом системы; для конечного n их иногда называют гамильтонианами конечных состояний .

Функция разделения и мера

Соответствующая статистическая сумма с конечным состоянием определяется выражением

$Z_{n}(V)=\sum _{s_{0},\ldots ,s_{n}\in Q}\exp(-\beta H_{n}(C_{0}[s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}]))$

где C ₀ представляет собой наборы цилиндров, определенные выше. Здесь β = 1/ kT , где k — постоянная Больцмана , а T — температура . В математических расчетах очень часто устанавливают β = 1, поскольку его легко восстановить путем изменения масштаба энергии взаимодействия. Эта статистическая сумма записана как функция взаимодействия V, чтобы подчеркнуть, что она является функцией только взаимодействия, а не какой-либо конкретной конфигурации спинов. Статистическая сумма вместе с гамильтонианом используются для определения меры борелевской σ-алгебры следующим образом: Мера цилиндрического множества, т. е. элемента базы, определяется выражением

$\mu (C_{k}[s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}])={\frac {1}{Z_{n}(V)}}\exp(-\beta H_{n}(C_{k}[s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}]))$

Затем можно расширить счетной аддитивностью до полной σ-алгебры. Эта мера является вероятностной мерой ; он дает вероятность появления данной конфигурации в конфигурационном пространстве Q ^С . Наделяя конфигурационное пространство вероятностной мерой, построенной таким образом из гамильтониана, конфигурационное пространство превращается в канонический ансамбль .

Большинство термодинамических свойств можно выразить непосредственно через статистическую сумму. Так, например, свободная энергия Гельмгольца определяется выражением

$A_{n}(V)=-kT\log Z_{n}(V)$

Другой важной связанной величиной является топологическое давление , определяемое как

$P(V)=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\log Z_{n}(V)$

который будет отображаться как логарифм главного собственного значения передаточного оператора решения.

Свободное полевое решение

Простейшей моделью является модель, в которой взаимодействие вообще отсутствует, поэтому V = c и H _n = c (с константой c и независимой от какой-либо спиновой конфигурации). Функция распределения становится

$Z_{n}(c)=e^{-c\beta }\sum _{s_{0},\ldots ,s_{n}\in Q}1$

Если все состояния разрешены, то есть базовый набор состояний задается полным сдвигом , то сумму можно тривиально оценить как

$Z_{n}(c)=e^{-c\beta }q^{n+1}$

Если соседние спины разрешены только в определенных конкретных конфигурациях, то пространство состояний задается сдвигом конечного типа . Тогда функцию распределения можно записать как

$Z_{n}(c)=e^{-c\beta }|{\mbox{Fix}}\,\tau ^{n}|=e^{-c\beta }{\mbox{Tr}}A^{n}$

где card — мощность или количество набора, а Fix — набор фиксированных точек итерированной функции сдвига:

${\mbox{Fix}}\,\tau ^{n}=\{s\in Q^{\mathbf {Z} }:\tau ^{n}s=s\}$

Матрица q × q представляет A собой матрицу смежности, определяющую, какие соседние значения спина разрешены.

Взаимодействующая модель

Простейшим случаем взаимодействующей модели является модель Изинга , где спин может принимать только одно из двух значений, s _n ∈ {−1, 1} и взаимодействуют только спины ближайших соседей. Потенциал взаимодействия определяется выражением

$V(\sigma )=-J_{p}s_{0}s_{1}\,$

Этот потенциал может быть отражен в матрице 2 × 2 с матричными элементами

$M_{\sigma \sigma '}=\exp \left(\beta J_{p}\sigma \sigma '\right)$

с индексом σ, σ′ ∈ {−1, 1}. Тогда статистическая сумма определяется выражением

$Z_{n}(V)={\mbox{Tr}}\,M^{n}$

Общее решение для произвольного числа спинов и произвольного конечного взаимодействия имеет тот же общий вид. В этом случае точное выражение для матрицы M немного сложнее.

Целью решения такой модели, как модель Поттса, является получение точного выражения в замкнутой форме для статистической суммы и выражения для состояний Гиббса или состояний равновесия в пределе n → ∞, термодинамическом пределе .

Приложения

Обработка сигналов и изображений

Модель Поттса находит применение при реконструкции сигналов. Предположим, что нам дано зашумленное наблюдение кусочно-постоянного сигнала g в R ^н . Чтобы восстановить g из зашумленного вектора наблюдения f в R ^н , ищется минимизатор соответствующей обратной задачи, L ^п - Функционал Поттса P _γ ( u ), который определяется формулой

$P_{\gamma }(u)=\gamma \|\nabla u\|_{0}+\|u-f\|_{p}^{p}=\gamma \#\{i:u_{i}\neq u_{i+1}\}+\sum _{i=1}^{n}|u_{i}-f_{i}|^{p}$

Штраф за прыжок $\|\nabla u\|_{0}$ заставляет кусочно-постоянные решения и член данных $\|u-f\|_{p}^{p}$ соединяет минимизирующего кандидата u с данными f . Параметр γ > 0 определяет компромисс между регулярностью и точностью данных . Существуют быстрые алгоритмы точной минимизации L ¹ и Л ² -Поттс функциональный.

При обработке изображений функционал Поттса связан с проблемой сегментации. Однако в двух измерениях задача NP-трудна.

См. также

• Случайная модель кластера
• Критическая модель Поттса с тремя состояниями
• Модель Кирала Поттса
• Модель Изинга с квадратной решеткой
• Минимальные модели
• Модель ZN
• Модель сотовой связи Поттса

Внешние ссылки

• Хаггард, Гэри; Пирс, Дэвид Дж.; Ройл, Гордон. «Код для эффективного вычисления Тутте, хроматических полиномов и полиномов потока» .