n -векторная модель

В статистической механике или n- векторная модель модель O( n ) представляет собой простую систему взаимодействующих спинов на кристаллической решетке . Она была разработана Х. Юджином Стэнли как обобщение модели Изинга , модели XY и модели Гейзенберга . В n -векторной модели n единичной длины -компонентные классические спины $\mathbf {s} _{i}$ размещены в вершинах d -мерной решетки. Гамильтониан модели -векторной n определяется выражением:

$H=K{\sum }_{\langle i,j\rangle }\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}$

где сумма пробегает все пары соседних спинов $\langle i,j\rangle$ и $\cdot$ обозначает стандартное евклидово внутреннее произведение. Особыми случаями n -векторной модели являются:

$n=0$: Прогулка, избегающая самого себя

$n=1$: Модель Изинга

$n=2$: Модель XY

$n=3$: Модель Гейзенберга

$n=4$: Игрушечная модель для сектора Хиггса Стандартной модели.

Общий математический формализм, используемый для описания и решения n -векторной модели, и некоторые обобщения развиты в статье о модели Поттса .

Реформулировка как петлевая модель

При небольшом расширении связи вес конфигурации можно переписать как

$e^{H}{\underset {K\to 0}{\sim }}\prod _{\langle i,j\rangle }\left(1+K\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\right)$

Интегрирование по вектору $\mathbf {s} _{i}$ порождает такие выражения, как

$\int d\mathbf {s} _{i}\ \prod _{j=1}^{4}\left(\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\right)=\left(\mathbf {s} _{1}\cdot \mathbf {s} _{2}\right)\left(\mathbf {s} _{3}\cdot \mathbf {s} _{4}\right)+\left(\mathbf {s} _{1}\cdot \mathbf {s} _{4}\right)\left(\mathbf {s} _{2}\cdot \mathbf {s} _{3}\right)+\left(\mathbf {s} _{1}\cdot \mathbf {s} _{3}\right)\left(\mathbf {s} _{2}\cdot \mathbf {s} _{4}\right)$

которая интерпретируется как сумма по 3 возможным способам соединения вершин $1,2,3,4$ попарно, используя 2 линии, проходящие через вершину $i$. Интегрируя по всем векторам, соответствующие линии объединяются в замкнутые контуры, и статистическая сумма становится суммой по конфигурациям цикла:

$Z=\sum _{L\in {\mathcal {L}}}K^{E(L)}n^{|L|}$

где ${\mathcal {L}}$ представляет собой набор конфигураций цикла, с $|L|$ количество петель в конфигурации $L$, и $E(L)$ общее количество ребер решетки.

В двух измерениях принято предполагать, что петли не пересекаются: либо путем выбора трехвалентной решетки, либо путем рассмотрения модели в разбавленной фазе, где пересечения не имеют значения, либо путем запрета пересечений вручную. Полученную модель непересекающихся петель можно затем изучить с помощью мощных алгебраических методов, и ее спектр будет точно известен. Более того, модель тесно связана с моделью случайного кластера , которую также можно сформулировать в терминах непересекающихся петель. Гораздо меньше известно о моделях, в которых петли могут пересекаться, и в более чем двух измерениях.

Предел непрерывности

можно Предел континуума понимать как сигма-модель . Это легко получить, записав гамильтониан через произведение

$-{\tfrac {1}{2}}(\mathbf {s} _{i}-\mathbf {s} _{j})\cdot (\mathbf {s} _{i}-\mathbf {s} _{j})=\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}-1$

где $\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{i}=1$ это термин «объемная намагниченность». Отбросив этот член как общий постоянный коэффициент, добавляемый к энергии, предел получается путем определения конечной разности Ньютона как

$\delta _{h}[\mathbf {s} ](i,j)={\frac {\mathbf {s} _{i}-\mathbf {s} _{j}}{h}}$

на соседних позициях решетки $i,j.$ Затем $\delta _{h}[\mathbf {s} ]\to \nabla _{\mu }\mathbf {s}$ в пределе $h\to 0$, где $\nabla _{\mu }$ это градиент в $(i,j)\to \mu$ направление. Таким образом, в пределе

$-\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\to {\tfrac {1}{2}}\nabla _{\mu }\mathbf {s} \cdot \nabla _{\mu }\mathbf {s}$

которую можно принять за кинетическую энергию поля $\mathbf {s}$ в модели сигмы . У одного все еще есть две возможности для вращения $\mathbf {s}$: либо берётся из дискретного набора спинов ( модель Поттса ), либо берётся как точка на сфере $S^{n-1}$; то есть, $\mathbf {s}$ представляет собой непрерывнозначный вектор единичной длины. В последнем случае это называется $O(n)$ нелинейная сигма-модель, как группа вращения $O(n)$ собой группу изометрий представляет $S^{n-1}$и, очевидно, $S^{n-1}$ не является «плоским», т.е. не является линейным полем .