Статистическая механика

В физике статистическая механика — это математическая основа, которая применяет статистические методы и теорию вероятностей к большим собраниям микроскопических объектов. Иногда называемая статистической физикой или статистической термодинамикой , ее приложения включают множество проблем в области физики, биологии , ^[1] химия , нейробиология , ^[2] Информатика , ^[3]^[4] теория информации ^[5] и социология . ^[6] Его основная цель — прояснить свойства материи в совокупности с точки зрения физических законов, управляющих движением атомов. ^[7]^[8]

Статистическая механика возникла в результате развития классической термодинамики , области, в которой ей удалось объяснить макроскопические физические свойства, такие как температура , давление и теплоемкость , с точки зрения микроскопических параметров, которые колеблются около средних значений и характеризуются вероятностными распределениями. . ^{[ нужна цитата ]}

В то время как классическая термодинамика в первую очередь занимается термодинамическим равновесием , статистическая механика применялась в неравновесной статистической механике для решения вопросов микроскопического моделирования скорости необратимых процессов , вызванных дисбалансом. Примеры таких процессов включают химические реакции и потоки частиц и тепла. Теорема о флуктуации-диссипации представляет собой базовые знания, полученные в результате применения неравновесной статистической механики для изучения простейшей неравновесной ситуации установившегося течения тока в системе многих частиц. ^{[ нужна цитата ]}

История [ править ]

В 1738 году швейцарский физик и математик Даниэль Бернулли опубликовал «Гидродинамику» , которая заложила основу кинетической теории газов . В этой работе Бернулли выдвинул аргумент, используемый до сих пор, что газы состоят из огромного количества молекул, движущихся во всех направлениях, что их воздействие на поверхность вызывает давление газа, которое мы ощущаем, и что то, что мы воспринимаем как тепло , представляет собой просто кинетическая энергия их движения. ^[9]

Основателя статистической механики обычно приписывают трем физикам:

Людвиг Больцман , разработавший фундаментальную интерпретацию энтропии с точки зрения набора микросостояний.
Джеймс Клерк Максвелл , разработавший модели распределения вероятностей таких состояний.
Джозайя Уиллард Гиббс , придумавший название поля в 1884 году.

о диффузии молекул В 1859 году, прочитав статью Рудольфа Клаузиуса , шотландский физик Джеймс Клерк Максвелл сформулировал Максвелловское распределение молекулярных скоростей, которое давало долю молекул, имеющих определенную скорость в определенном диапазоне. ^[10] Это был первый статистический закон в физике. ^[11] Максвелл также привел первый механический аргумент в пользу того, что молекулярные столкновения влекут за собой выравнивание температур и, следовательно, тенденцию к равновесию. ^[12] Пять лет спустя, в 1864 году, Людвиг Больцман , молодой студент из Вены, наткнулся на статью Максвелла и посвятил большую часть своей жизни дальнейшему развитию этой темы.

Статистическая механика была инициирована в 1870-х годах работами Больцмана, большая часть которых была коллективно опубликована в его « Лекциях по теории газа» 1896 года . ^[13]Оригинальные статьи Больцмана по статистической интерпретации термодинамики, Н-теоремы , теории переноса , теплового равновесия , уравнения состояния газов и подобных тем занимают около 2000 страниц в трудах Венской академии и других обществ. Больцман ввел понятие равновесного статистического ансамбля, а также впервые исследовал неравновесную статистическую механику с помощью своей H -теоремы .

Термин «статистическая механика» был введен американским физиком-математиком Дж. Уиллардом Гиббсом в 1884 году. ^[14] По мнению Гиббса, термин «статистический» в контексте механики, т. е. статистической механики, впервые был использован шотландским физиком Джеймсом Клерком Максвеллом в 1871 году:

«Имея дело с массами материи, пока мы не воспринимаем отдельные молекулы, мы вынуждены принять то, что я назвал статистическим методом расчета, и отказаться от строгого динамического метода, в котором мы следим за каждым движением с помощью исчисления. ."
— Дж. Клерк Максвелл ^[15]

«Вероятностная механика» сегодня может показаться более подходящим термином, но «статистическая механика» прочно укоренилась. ^[16] Незадолго до своей смерти Гиббс опубликовал в 1902 году «Элементарные принципы статистической механики» — книгу, которая формализовала статистическую механику как полностью общий подход к рассмотрению всех механических систем — макроскопических или микроскопических, газообразных или негазообразных. ^[17] Методы Гиббса первоначально были выведены в рамках классической механики , однако они были настолько общны, что, как выяснилось, легко адаптировались к более поздней квантовой механике и до сих пор составляют основу статистической механики. ^[18]

Принципы: механика и ансамбли [ править ]

В физике обычно рассматривают два типа механики: классическую механику и квантовую механику . Для обоих типов механики стандартный математический подход заключается в рассмотрении двух концепций:

Полное состояние механической системы в данный момент времени, математически закодированное как фазовая точка (классическая механика) или чисто квантовый вектор состояния (квантовая механика).
Уравнение движения, которое переносит состояние вперед во времени: уравнения Гамильтона (классическая механика) или уравнение Шредингера (квантовая механика).

Используя эти две концепции, в принципе можно вычислить состояние в любой другой момент времени, в прошлом или будущем. Однако существует разрыв между этими законами и опытом повседневной жизни, поскольку мы не считаем необходимым (и даже теоретически возможным) точно знать на микроскопическом уровне одновременные положения и скорости каждой молекулы при осуществлении процессов в человеческом масштабе ( например, при проведении химической реакции). Статистическая механика заполняет этот разрыв между законами механики и практическим опытом неполного знания, добавляя некоторую неопределенность относительно того, в каком состоянии находится система.

В то время как обычная механика рассматривает поведение только одного состояния, статистическая механика вводит статистический ансамбль , который представляет собой большую коллекцию виртуальных независимых копий системы в различных состояниях. Статистический ансамбль представляет собой распределение вероятностей по всем возможным состояниям системы. В классической статистической механике ансамбль представляет собой распределение вероятностей по фазовым точкам (в отличие от одной фазовой точки в обычной механике), обычно представляемое как распределение в фазовом пространстве с каноническими осями координат. В квантовой статистической механике ансамбль представляет собой распределение вероятностей по чистым состояниям и может быть компактно резюмирован как матрица плотности .

Как обычно для вероятностей, ансамбль можно интерпретировать по-разному: ^[17]

ансамбль может быть использован для представления различных возможных состояний, в которых отдельная система может находиться ( эпистемическая вероятность , форма знания), или
под членами ансамбля можно понимать состояния систем в экспериментах, повторяемых на независимых системах, приготовленных сходным, но несовершенно контролируемым способом ( эмпирическая вероятность ), в пределе бесконечного числа испытаний.

Эти два значения эквивалентны для многих целей и в этой статье будут использоваться как взаимозаменяемые.

Как бы ни интерпретировалась вероятность, каждое состояние в ансамбле развивается с течением времени в соответствии с уравнением движения. Таким образом, сам ансамбль (распределение вероятностей по состояниям) также развивается, поскольку виртуальные системы в ансамбле постоянно покидают одно состояние и входят в другое. Эволюция ансамбля задается уравнением Лиувилля (классическая механика) или уравнением фон Неймана (квантовая механика). Эти уравнения просто выводятся путем применения механического уравнения движения отдельно к каждой виртуальной системе, содержащейся в ансамбле, с вероятностью того, что виртуальная система сохраняется с течением времени по мере ее развития от состояния к состоянию.

Особый класс ансамблей — это ансамбли, которые не развиваются с течением времени. Эти ансамбли известны как равновесные ансамбли , а их состояние известно как статистическое равновесие . Статистическое равновесие наступает, если для каждого состояния ансамбля ансамбль также содержит все его будущие и прошлые состояния с вероятностями, равными вероятности нахождения в этом состоянии. (Напротив, механическое равновесие — это состояние с балансом сил, которое перестало развиваться.) Изучение равновесных ансамблей изолированных систем находится в центре внимания статистической термодинамики. Неравновесная статистическая механика рассматривает более общий случай ансамблей, которые изменяются с течением времени, и/или ансамблей неизолированных систем.

Статистическая термодинамика [ править ]

Основная цель статистической термодинамики (также известной как равновесная статистическая механика) — вывести классическую термодинамику материалов с точки зрения свойств составляющих их частиц и взаимодействий между ними. Другими словами, статистическая термодинамика обеспечивает связь между макроскопическими свойствами материалов, находящихся в термодинамическом равновесии , и микроскопическим поведением и движениями, происходящими внутри материала.

Если собственно статистическая механика предполагает динамику, то здесь внимание сосредоточено на статистическом равновесии (стационарном состоянии). Статистическое равновесие не означает, что частицы прекратили движение ( механическое равновесие ), а лишь то, что ансамбль не развивается.

Фундаментальный постулат [ править ]

Достаточным (но не необходимым) условием статистического равновесия с изолированной системой является то , что распределение вероятностей является функцией только сохраняющихся свойств (полной энергии, полного числа частиц и т. д.). ^[17] Можно рассматривать множество различных равновесных ансамблей, и лишь некоторые из них соответствуют термодинамике. ^[17] Дополнительные постулаты необходимы для обоснования того, почему ансамбль данной системы должен иметь ту или иную форму.

Общий подход, встречающийся во многих учебниках, заключается в принятии постулата априорной равной вероятности . ^[18] Этот постулат гласит, что

Для изолированной системы с точно известной энергией и точно известным составом система может с равной вероятностью находиться в любом микросостоянии, согласующемся с этим знанием.

Таким образом, постулат равной априорной вероятности обеспечивает мотивацию для микроканонического ансамбля, описанного ниже. Существуют различные аргументы в пользу постулата равной априорной вероятности:

Эргодическая гипотеза : Эргодическая система — это система, которая развивается с течением времени для исследования «всех доступных» состояний: всех тех, которые имеют одинаковую энергию и состав. В эргодической системе микроканонический ансамбль является единственно возможным равновесным ансамблем с фиксированной энергией. Этот подход имеет ограниченную применимость, поскольку большинство систем не являются эргодическими.
Принцип безразличия : при отсутствии какой-либо дополнительной информации мы можем только приписать равные вероятности каждой совместимой ситуации.
Максимальная информационная энтропия : более сложная версия принципа безразличия гласит, что правильный ансамбль — это ансамбль, который совместим с известной информацией и имеет наибольшую энтропию Гиббса ( информационную энтропию ). ^[19]

Были предложены и другие фундаментальные постулаты статистической механики. ^[9]^[20]^[21] Например, недавние исследования показывают, что теория статистической механики может быть построена без постулата равной априорной вероятности. ^[20]^[21] Один из таких формализмов основан на фундаментальном термодинамическом соотношении вместе со следующим набором постулатов: ^[20]

Функция плотности вероятности пропорциональна некоторой функции параметров ансамбля и случайных величин.
Термодинамические функции состояния описываются средними по ансамблю случайных величин.
Энтропия, определенная формулой энтропии Гиббса, совпадает с энтропией, определенной в классической термодинамике .

где третий постулат можно заменить следующим: ^[21]

При бесконечной температуре все микросостояния имеют одинаковую вероятность.

Три термодинамических ансамбля [ править ]

Существуют три равновесных ансамбля простой формы, которые можно определить для любой изолированной системы, ограниченной внутри конечного объема. ^[17]Это наиболее часто обсуждаемые ансамбли в статистической термодинамике. В макроскопическом пределе (определенном ниже) все они соответствуют классической термодинамике.

Микроканонический ансамбль: описывает систему с точно заданной энергией и фиксированным составом (точным числом частиц). Микроканонический ансамбль с равной вероятностью содержит все возможные состояния, соответствующие этой энергии и составу.
Канонический ансамбль: описывает систему фиксированного состава, находящуюся в тепловом равновесии с тепловой баней точной температуры . Канонический ансамбль содержит состояния разной энергии, но одинакового состава; различным состояниям ансамбля присваиваются разные вероятности в зависимости от их полной энергии.
Большой канонический ансамбль: описывает систему с нефиксированным составом (неопределенным количеством частиц), находящуюся в термическом и химическом равновесии с термодинамическим резервуаром. Резервуар имеет точную температуру и точный химический потенциал для различных типов частиц. Большой канонический ансамбль содержит состояния различной энергии и различного числа частиц; различным состояниям ансамбля присваиваются разные вероятности в зависимости от их полной энергии и общего числа частиц.

Для систем, содержащих много частиц ( термодинамический предел ), все три перечисленных выше ансамбля имеют тенденцию вести себя одинаково. Тогда это просто вопрос математического удобства, какой ансамбль использовать. ^[22] Теорема Гиббса об эквивалентности ансамблей ^[23] была развита в теорию явления концентрации меры , ^[24] который имеет приложения во многих областях науки, от функционального анализа до методов искусственного интеллекта и технологий больших данных . ^[25]

Важные случаи, когда термодинамические ансамбли не дают идентичных результатов, включают:

Микроскопические системы.
Большие системы при фазовом переходе.
Большие системы с дальнодействующими взаимодействиями.

В этих случаях необходимо выбрать правильный термодинамический ансамбль, поскольку между этими ансамблями существуют наблюдаемые различия не только в размере флуктуаций, но и в средних величинах, таких как распределение частиц. Правильный ансамбль — это тот, который соответствует способу подготовки и характеристики системы, другими словами, ансамбль, отражающий знания об этой системе. ^[18]

Термодинамические ансамбли ^[17]
	Микроканонический	Канонический	Великий канонический
Фиксированные переменные	$E,N,V$	$T,N,V$	$T,\mu ,V$
Микроскопические особенности	Количество микросостояний	Каноническая функция распределения	Функция грандиозного раздела
Микроскопические особенности	$W$	$Z=\sum _{k}e^{-E_{k}/k_{B}T}$	${\mathcal {Z}}=\sum _{k}e^{-(E_{k}-\mu N_{k})/k_{B}T}$
Макроскопическая функция	Энтропия Больцмана	Свободная энергия Гельмгольца	Большой потенциал
Макроскопическая функция	$S=k_{B}\log W$	$F=-k_{B}T\log Z$	$\Omega =-k_{B}T\log {\mathcal {Z}}$

Методы расчета [ править ]

После того, как характеристическая функция состояния ансамбля рассчитана для данной системы, эта система «решается» (макроскопические наблюдаемые могут быть извлечены из характеристической функции состояния). Однако вычисление характеристической функции состояния термодинамического ансамбля не обязательно является простой задачей, поскольку оно предполагает рассмотрение всех возможных состояний системы. Хотя некоторые гипотетические системы удалось точно решить, наиболее общий (и реалистичный) случай слишком сложен для точного решения. Существуют различные подходы для аппроксимации истинного ансамбля и расчета средних величин.

Точно [ править ]

Есть случаи, допускающие точные решения.

Для очень маленьких микроскопических систем ансамбли можно вычислить напрямую, просто перебрав все возможные состояния системы (с использованием точной диагонализации в квантовой механике или интеграла по всему фазовому пространству в классической механике).
Некоторые крупные системы состоят из множества разделимых микроскопических систем, и каждую из подсистем можно анализировать независимо. Примечательно, что идеализированные газы из невзаимодействующих частиц обладают этим свойством, что позволяет точно вывести статистику Максвелла-Больцмана , статистику Ферми-Дирака и статистику Бозе-Эйнштейна . ^[18]
Было решено несколько крупных систем с взаимодействием. С помощью тонких математических методов были найдены точные решения для нескольких игрушечных моделей . ^[26] Некоторые примеры включают анзац Бете , модель Изинга с квадратной решеткой в нулевом поле, модель жесткого шестиугольника .

Монте-Карло [ править ]

Хотя некоторые проблемы статистической физики можно решить аналитически с использованием аппроксимаций и расширений, в большинстве современных исследований для моделирования или аппроксимации решений используются большие вычислительные мощности современных компьютеров. Распространенный подход к статистическим задачам заключается в использовании моделирования Монте-Карло для получения информации о свойствах сложной системы . Методы Монте-Карло важны в вычислительной физике , физической химии и смежных областях и имеют разнообразные применения, включая медицинскую физику , где они используются для моделирования переноса радиации для расчетов дозиметрии радиации. ^[27]^[28]^[29]

Метод Монте-Карло исследует лишь несколько возможных состояний системы, причем состояния выбираются случайным образом (с достаточным весом). Поскольку эти состояния образуют репрезентативную выборку всего множества состояний системы, получается приближенная характеристическая функция. По мере включения все большего и большего количества случайных выборок ошибки уменьшаются до сколь угодно низкого уровня.

Алгоритм Метрополиса -Гастингса — это классический метод Монте-Карло, который первоначально использовался для выборки канонического ансамбля.
Интеграл по путям Монте-Карло , также используемый для выборки канонического ансамбля.

Другое [ править ]

Для разреженных неидеальных газов такие подходы, как кластерное расширение, используют теорию возмущений для учета эффекта слабых взаимодействий, приводящих к вириальному расширению . ^[30]
Для плотных жидкостей другой приближенный подход основан на приведенных функциях распределения, в частности радиальной функции распределения . ^[30]
Компьютерное моделирование молекулярной динамики можно использовать для расчета средних значений микроканонического ансамбля в эргодических системах. Благодаря подключению к стохастической тепловой бане они также могут моделировать канонические и великие канонические условия.
Могут быть полезны смешанные методы, включающие неравновесные статистические механические результаты (см. ниже).

Неравновесная механика статистическая

Многие физические явления включают квазитермодинамические процессы, выходящие из равновесия, например:

перенос тепла за счет внутренних движений в материале , вызванных температурным дисбалансом,
электрические токи, переносимые движением зарядов в проводнике , вызванным дисбалансом напряжений,
самопроизвольные химические реакции , вызванные уменьшением свободной энергии,
трение , диссипация , квантовая декогеренция ,
системы, накачиваемые внешними силами ( оптическая накачка и т.п.),
и необратимые процессы в целом.

Все эти процессы происходят во времени с характерными скоростями. Эти скорости важны в технике. Область неравновесной статистической механики занимается пониманием этих неравновесных процессов на микроскопическом уровне. (Статистическая термодинамика может быть использована для расчета окончательного результата только после того, как внешние дисбалансы будут устранены и ансамбль снова придет в равновесие.)

В принципе, неравновесная статистическая механика может быть математически точной: ансамбли изолированной системы развиваются с течением времени в соответствии с детерминированными уравнениями, такими как уравнение Лиувилля или его квантовый эквивалент, уравнение фон Неймана . Эти уравнения являются результатом применения механических уравнений движения независимо к каждому состоянию ансамбля. Эти уравнения эволюции ансамбля унаследовали большую часть сложности основного механического движения, поэтому получить точные решения очень сложно. ансамбля Более того, уравнения эволюции ансамбля полностью обратимы и не уничтожают информацию ( энтропия Гиббса сохраняется). Чтобы добиться успехов в моделировании необратимых процессов, необходимо учитывать дополнительные факторы, помимо вероятности и обратимой механики.

Поэтому неравновесная механика является активной областью теоретических исследований, поскольку область применимости этих дополнительных предположений продолжает изучаться. Несколько подходов описаны в следующих подразделах.

Стохастические методы [ править ]

Один из подходов к неравновесной статистической механике состоит в том, чтобы включить стохастическое в систему (случайное) поведение. Стохастическое поведение разрушает информацию, содержащуюся в ансамбле. Хотя это технически неточно (за исключением гипотетических ситуаций, связанных с черными дырами , система сама по себе не может вызвать потерю информации), случайность добавляется для отражения того, что интересующая информация со временем преобразуется в тонкие корреляции внутри системы или в корреляции между система и окружающая среда. Эти корреляции проявляются как хаотические или псевдослучайные влияния на интересующие переменные. Заменив эти корреляции собственно случайностью, расчеты можно значительно упростить.

Уравнение переноса Больцмана . Ранняя форма стохастической механики появилась еще до того, как был придуман термин «статистическая механика», в исследованиях кинетической теории . Джеймс Клерк Максвелл продемонстрировал, что молекулярные столкновения приводят к явно хаотическому движению внутри газа. Людвиг Больцман впоследствии показал, что, если принять этот молекулярный хаос как нечто само собой разумеющееся как полную рандомизацию, движения частиц в газе будут следовать простому уравнению переноса Больцмана , которое быстро восстановит газ в равновесное состояние (см. H-теорему ).
Уравнение переноса Больцмана и связанные с ним подходы являются важными инструментами неравновесной статистической механики из-за их чрезвычайной простоты. Эти приближения хорошо работают в системах, где «интересная» информация немедленно (всего после одного столкновения) сводится к тонким корреляциям, что по существу ограничивает их применение разреженными газами. Уравнение переноса Больцмана оказалось очень полезным при моделировании электронного транспорта в слаболегированных полупроводниках (в транзисторах ), где электроны действительно аналогичны разреженному газу.
Квантовая техника, связанная с этой темой, - это приближение случайной фазы .
Иерархия ББГКИ : В жидкостях и плотных газах нельзя сразу отбрасывать корреляции между частицами после одного столкновения. Иерархия BBGKY (иерархия Боголюбова – Борна – Грина – Кирквуда – Ивона) дает метод вывода уравнений типа Больцмана, но также расширяет их за пределы случая разбавленного газа, включая корреляции после нескольких столкновений.
Формализм Келдыша (он же NEGF — неравновесные функции Грина): Квантовый подход к включению стохастической динамики находится в формализме Келдыша. Этот подход часто используется в расчетах электронного квантового транспорта .
Стохастическое уравнение Лиувилля .

Околоравновесные методы [ править ]

Другой важный класс неравновесных статистико-механических моделей касается систем, которые лишь незначительно отклоняются от равновесия. При очень малых возмущениях отклик можно проанализировать в рамках теории линейного отклика . Замечательный результат, формализованный теоремой о флуктуации-диссипации , заключается в том, что реакция системы, находящейся близко к равновесию, точно связана с флуктуациями , которые происходят, когда система находится в полном равновесии. По сути, система, которая немного отодвинута от равновесия - независимо от того, введена ли она туда внешними силами или флуктуациями, - расслабляется в направлении равновесия таким же образом, поскольку система не может заметить разницу или «знать», как она вышла из равновесия. ^[30]^: 664

Это обеспечивает косвенный путь для получения таких чисел, как омическая проводимость и теплопроводность, путем извлечения результатов из равновесной статистической механики. Поскольку равновесная статистическая механика математически четко определена и (в некоторых случаях) более удобна для расчетов, связь флуктуации и диссипации может быть удобным ярлыком для расчетов в почти равновесной статистической механике.

Некоторые из теоретических инструментов, используемых для установления этой связи, включают:

Гибридные методы [ править ]

Усовершенствованный подход использует комбинацию стохастических методов и теории линейного отклика . Например, одним из подходов к вычислению эффектов квантовой когерентности ( слабая локализация , флуктуации проводимости ) в проводимости электронной системы является использование соотношений Грина-Кубо с учетом стохастической дефазировки за счет взаимодействий между различными электронами с помощью уравнения Метод Келдыша. ^[31]^[32]

Приложения [ править ]

Формализм ансамбля можно использовать для анализа общих механических систем с неопределенностью в знаниях о состоянии системы. Ансамбли также используются в:

распространение неопределенности во времени, ^[17]
регрессионный анализ гравитационных орбит ,
ансамблевый прогноз погоды,
динамика нейронных сетей ,
ограниченно-рациональные потенциальные игры в теории игр и экономике.

Статистическая физика объясняет и количественно описывает сверхпроводимость , сверхтекучесть , турбулентность , коллективные явления в твердых телах и плазме , структурные особенности жидкости . Оно лежит в основе современной астрофизики . В физике твердого тела статистическая физика помогает изучать жидкие кристаллы , фазовые переходы и критические явления . Многие экспериментальные исследования материи целиком основаны на статистическом описании системы. К ним относятся рассеяние холодных нейтронов , рентгеновское излучение , видимый свет и многое другое. Статистическая физика также играет роль в материаловедении, ядерной физике, астрофизике, химии, биологии и медицине (например, в изучении распространения инфекционных заболеваний). ^{[ нужна цитата ]}

Аналитические и вычислительные методы, основанные на статистической физике неупорядоченных систем, могут быть распространены на крупномасштабные задачи, включая машинное обучение, например, для анализа весового пространства глубоких нейронных сетей . ^[33] Таким образом, статистическая физика находит применение в области медицинской диагностики . ^[34]

Квантовая статистическая механика [ править ]

Квантовая статистическая механика — это статистическая механика, применяемая к квантово-механическим системам . В квантовой механике статистический ансамбль (распределение вероятностей по возможным квантовым состояниям ) описывается оператором плотности S , который является неотрицательным, самосопряженным , ядерным оператором следа 1 в гильбертовом пространстве H , описывающим квантовую систему. . Это можно показать с помощью различных математических формализмов квантовой механики . Один из таких формализмов обеспечивается квантовой логикой . ^{[ нужна цитата ]}

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Тешендорфф, Эндрю Э.; Файнберг, Эндрю П. (июль 2021 г.). «Статистическая механика встречается с одноклеточной биологией» . Обзоры природы Генетика . 22 (7): 459–476. дои : 10.1038/s41576-021-00341-z . ПМЦ 10152720 . PMID 33875884 .
^ Адвани, Мадху; Лахири, Субханил; Гангули, Сурья (12 марта 2013 г.). «Статистическая механика сложных нейронных систем и многомерных данных». Журнал статистической механики: теория и эксперимент . 2013 (3): P03014. arXiv : 1301.7115 . Бибкод : 2013JSMTE..03..014A . дои : 10.1088/1742-5468/2013/03/P03014 .
^ Хуан, Хайпин (2021). Статистическая механика нейронных сетей . дои : 10.1007/978-981-16-7570-6 . ISBN 978-981-16-7569-0 .
^ Бергер, Адам Л.; Пьетра, Винсент Дж. Делла; Пьетра, Стивен А. Делла (март 1996 г.). «Подход с максимальной энтропией к обработке естественного языка» (PDF) . Компьютерная лингвистика . 22 (1): 39–71. ИНИСТ 3283782 .
^ Джейнс, ET (15 мая 1957 г.). «Теория информации и статистическая механика». Физический обзор . 106 (4): 620–630. Бибкод : 1957PhRv..106..620J . дои : 10.1103/PhysRev.106.620 .
^ Дурлауф, Стивен Н. (14 сентября 1999 г.). «Как статистическая механика может внести вклад в социальные науки?» . Труды Национальной академии наук . 96 (19): 10582–10584. Бибкод : 1999PNAS...9610582D . дои : 10.1073/pnas.96.19.10582 . ПМК 33748 . ПМИД 10485867 .
^ Хуанг, Керсон (21 сентября 2009 г.). Введение в статистическую физику (2-е изд.). ЦРК Пресс. п. 15. ISBN 978-1-4200-7902-9 .
^ Джермано, Р. (2022). Статистическая физика равновесия: вводный курс (на португальском языке). Рио-де-Жанейро: Современная наука. П. 156. ИСБН 978-65-5842-144-3 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Уффинк, Джос (март 2006 г.). Сборник основ классической статистической физики (Препринт).
^
См.:
- Максвелл, Дж. К. (1860) «Иллюстрации динамической теории газов. Часть I. О движении и столкновениях совершенно упругих сфер», Философский журнал , 4-я серия, 19 : 19–32.
- Максвелл, Дж. К. (1860) «Иллюстрации динамической теории газов. Часть II. О процессе диффузии двух или более видов движущихся частиц между собой», Philosophical Magazine , 4-я серия, 20 : 21–37.
^ Махон, Бэзил (2003). Человек, который изменил всё – Жизнь Джеймса Клерка Максвелла . Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. ISBN 978-0-470-86171-4 . OCLC 52358254 .
^ Гиенис, Балаж (2017). «Максвелл и нормальное распределение: цветная история вероятности, независимости и тенденции к равновесию». Исследования по истории и философии современной физики . 57 : 53–65. arXiv : 1702.01411 . Бибкод : 2017ШПМП..57...53Г . дои : 10.1016/j.shpsb.2017.01.001 . S2CID 38272381 .
^ Эбелинг, Вернер; Соколов, Игорь М. (2005). Статистическая термодинамика и стохастическая теория неравновесных систем . Серия о достижениях статистической механики. Том. 8. Бибкод : 2005стст.книга.....Е . дои : 10.1142/2012 . ISBN 978-981-02-1382-4 .
^ Гиббс, JW (1885). Об основной формуле статистической механики с приложениями к астрономии и термодинамике . OCLC 702360353 .
^ Джеймс Клерк Максвелл, Теория тепла (Лондон, Англия: Longmans, Green и Co., 1871), стр. 309
^ Маянц, Лазарь (1984). Загадка вероятности и физики Спрингер. п. 174. ИСБН 978-90-277-1674-3 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г Гиббс, Джозайя Уиллард (1902). Элементарные начала статистической механики . Нью-Йорк: Сыновья Чарльза Скрибнера .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Толман, Ричард Чейс (1979). Принципы статистической механики . Курьерская корпорация. ISBN 978-0-486-63896-6 . ^{[ нужна страница ]}
^ Джейнс, Э. (1957). «Теория информации и статистическая механика». Физический обзор . 106 (4): 620–630. Бибкод : 1957PhRv..106..620J . дои : 10.1103/PhysRev.106.620 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Гао, Сян; Галликкио, Эмилио; Ройтберг, Адриан Э. (21 июля 2019 г.). «Обобщенное распределение Больцмана — единственное распределение, в котором энтропия Гиббса-Шеннона равна термодинамической энтропии». Журнал химической физики . 151 (3): 034113. arXiv : 1903.02121 . Бибкод : 2019JChPh.151c4113G . дои : 10.1063/1.5111333 . ПМИД 31325924 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Гао, Сян (март 2022 г.). «Математика теории ансамбля» . Результаты по физике . 34 : 105230. arXiv : 2006.00485 . Бибкод : 2022ResPh..3405230G . дои : 10.1016/j.rinp.2022.105230 . S2CID 221978379 .
^ Рейф, Ф. (1965). Основы статистической и теплофизики . МакГроу-Хилл. п. 227 . ISBN 978-0-07-051800-1 .
^ Тушетт, Хьюго (2015). «Эквивалентность и неэквивалентность ансамблей: термодинамика, макросостояние и уровни меры». Журнал статистической физики . 159 (5): 987–1016. arXiv : 1403.6608 . Бибкод : 2015JSP...159..987T . дои : 10.1007/s10955-015-1212-2 . S2CID 118534661 .
^ Феномен концентрации меры . Математические обзоры и монографии. Том. 89. 2005. doi : 10.1090/surv/089 . ISBN 978-0-8218-3792-4 . ^{[ нужна страница ]}
^ Горбань, АН; Тюкин И.Ю. (28 апреля 2018 г.). «Благословение размерности: математические основы статистической физики данных» . Философские труды Королевского общества A: Математические, физические и технические науки . 376 : 20170237.arXiv : 1801.03421 . (2118 ) Бибкод : 2018RSPTA.37670237G . дои : 10.1098/rsta.2017.0237 . ПМК 5869543 . ПМИД 29555807 .
^ Бакстер, Родни Дж. (1982). Точно решенные модели статистической механики . Academic Press Inc. ISBN 978-0-12-083180-7 . ^{[ нужна страница ]}
^ Цзя, Сюнь; Цигенхейн, Питер; Цзян, Стив Б. (2014). «Высокопроизводительные вычисления на базе графических процессоров для лучевой терапии» . Физика в медицине и биологии . 59 (4): Р151–Р182. Бибкод : 2014PMB....59R.151J . дои : 10.1088/0031-9155/59/4/R151 . ПМК 4003902 . ПМИД 24486639 .
^ Хилл, Р; Хили, Б; Холлоуэй, Л; Кунчич, З; Туэйтс, Д; Бэлдок, К. (март 2014 г.). «Достижения в области киловольтной рентгеновской дозиметрии». Физика в медицине и биологии . 59 (6): Р183–Р231. Бибкод : 2014PMB....59R.183H . дои : 10.1088/0031-9155/59/6/R183 . ПМИД 24584183 . S2CID 18082594 .
^ Роджерс, DWO (2006). «Пятьдесят лет моделирования Монте-Карло для медицинской физики». Физика в медицине и биологии . 51 (13): Р287–Р301. Бибкод : 2006ПМБ....51Р.287Р . дои : 10.1088/0031-9155/51/13/R17 . ПМИД 16790908 . S2CID 12066026 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Балеску, Раду (1975). Равновесная и неравновесная статистическая механика . Уайли. ISBN 978-0-471-04600-4 . ^{[ нужна страница ]}
^ Альтшулер, Б.Л.; Аронов, А.Г.; Хмельницкий, Д.Э. (30 декабря 1982 г.). «Влияние электрон-электронных столкновений с небольшой передачей энергии на квантовую локализацию». Журнал физики C: Физика твердого тела . 15 (36): 7367–7386. Бибкод : 1982JPhC...15.7367A . дои : 10.1088/0022-3719/15/36/018 .
^ Алейнер, Иллинойс; Блантер, Я. М. (28 февраля 2002 г.). «Время неупругого рассеяния флуктуаций проводимости» . Физический обзор B . 65 (11): 115317. arXiv : cond-mat/0105436 . Бибкод : 2002PhRvB..65k5317A . дои : 10.1103/PhysRevB.65.115317 .
^ Рамезанпур, Абольфазл; Бим, Эндрю Л.; Чен, Джонатан Х.; Машаги, Алиреза (19 ноября 2020 г.). «Статистическая физика для медицинской диагностики: алгоритмы обучения, вывода и оптимизации» . Диагностика . 10 (11): 972. doi : 10.3390/diagnostics10110972 . ПМЦ 7699346 . ПМИД 33228143 .
^ Машаги, Алиреза; Рамезанпур, Абольфазл (16 марта 2018 г.). «Статистическая физика медицинской диагностики: Исследование вероятностной модели». Физический обзор E . 97 (3): 032118. arXiv : 1803.10019 . Бибкод : 2018PhRvE..97c2118M . дои : 10.1103/PhysRevE.97.032118 . ПМИД 29776109 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Рейф, Ф. (2009). Основы статистической и теплофизики . Уэйвленд Пресс. ISBN 978-1-4786-1005-2 .
Мюллер-Кирстен, Харальд Дж. В. (2013). Основы статистической физики (PDF) . дои : 10.1142/8709 . ISBN 978-981-4449-53-3 .
Каданов, Лео П. «Статистическая физика и другие ресурсы» . Архивировано из оригинала 12 августа 2021 года . Проверено 18 июня 2023 г.
Каданов, Лео П. (2000). Статистическая физика: статика, динамика и перенормировка . Всемирная научная. ISBN 978-981-02-3764-6 .
Фламм, Дитер (1998). «История и перспективы статистической физики». arXiv : физика/9803005 .

Внешние ссылки [ править ]

Философия статистической механики» Статья Лоуренса Склара « для Стэнфордской энциклопедии философии .
Склогвики — Термодинамика, статистическая механика и компьютерное моделирование материалов. SklogWiki особенно ориентирован на жидкости и мягкие конденсированные вещества.
Термодинамика и статистическая механика Ричарда Фитцпатрика
Коэн, Дорон (2011). «Конспект лекций по статистической механике и мезоскопике». arXiv : 1107.0568 .
Видео серии лекций по статистической механике на YouTube , которые читает Леонард Сасскинд .
Ву-Куок, Л., Конфигурационный интеграл (статистическая механика) , 2008. Этот вики-сайт недоступен; эту статью смотрите в веб-архиве от 28 апреля 2012 года .

[1] Тешендорфф, Эндрю Э.; Файнберг, Эндрю П. (июль 2021 г.). «Статистическая механика встречается с одноклеточной биологией» . Обзоры природы Генетика . 22 (7): 459–476. дои : 10.1038/s41576-021-00341-z . ПМЦ 10152720 . PMID 33875884 .

[2] Адвани, Мадху; Лахири, Субханил; Гангули, Сурья (12 марта 2013 г.). «Статистическая механика сложных нейронных систем и многомерных данных». Журнал статистической механики: теория и эксперимент . 2013 (3): P03014. arXiv : 1301.7115 . Бибкод : 2013JSMTE..03..014A . дои : 10.1088/1742-5468/2013/03/P03014 .

[3] Хуан, Хайпин (2021). Статистическая механика нейронных сетей . дои : 10.1007/978-981-16-7570-6 . ISBN 978-981-16-7569-0 .

[4] Бергер, Адам Л.; Пьетра, Винсент Дж. Делла; Пьетра, Стивен А. Делла (март 1996 г.). «Подход с максимальной энтропией к обработке естественного языка» (PDF) . Компьютерная лингвистика . 22 (1): 39–71. ИНИСТ 3283782 .

[5] Джейнс, ET (15 мая 1957 г.). «Теория информации и статистическая механика». Физический обзор . 106 (4): 620–630. Бибкод : 1957PhRv..106..620J . дои : 10.1103/PhysRev.106.620 .

[6] Дурлауф, Стивен Н. (14 сентября 1999 г.). «Как статистическая механика может внести вклад в социальные науки?» . Труды Национальной академии наук . 96 (19): 10582–10584. Бибкод : 1999PNAS...9610582D . дои : 10.1073/pnas.96.19.10582 . ПМК 33748 . ПМИД 10485867 .

[7] Хуанг, Керсон (21 сентября 2009 г.). Введение в статистическую физику (2-е изд.). ЦРК Пресс. п. 15. ISBN 978-1-4200-7902-9 .

[8] Джермано, Р. (2022). Статистическая физика равновесия: вводный курс (на португальском языке). Рио-де-Жанейро: Современная наука. П. 156. ИСБН 978-65-5842-144-3 .

[uffink-9] Перейти обратно: ^а ^б Уффинк, Джос (март 2006 г.). Сборник основ классической статистической физики (Препринт).

[10] См.:
Максвелл, Дж. К. (1860) «Иллюстрации динамической теории газов. Часть I. О движении и столкновениях совершенно упругих сфер», Философский журнал , 4-я серия, 19 : 19–32.

Максвелл, Дж. К. (1860) «Иллюстрации динамической теории газов. Часть II. О процессе диффузии двух или более видов движущихся частиц между собой», Philosophical Magazine , 4-я серия, 20 : 21–37.

[11] Максвелл, Дж. К. (1860) «Иллюстрации динамической теории газов. Часть I. О движении и столкновениях совершенно упругих сфер», Философский журнал , 4-я серия, 19 : 19–32.

[12] Максвелл, Дж. К. (1860) «Иллюстрации динамической теории газов. Часть II. О процессе диффузии двух или более видов движущихся частиц между собой», Philosophical Magazine , 4-я серия, 20 : 21–37.

[11] Махон, Бэзил (2003). Человек, который изменил всё – Жизнь Джеймса Клерка Максвелла . Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. ISBN 978-0-470-86171-4 . OCLC 52358254 .

[12] Гиенис, Балаж (2017). «Максвелл и нормальное распределение: цветная история вероятности, независимости и тенденции к равновесию». Исследования по истории и философии современной физики . 57 : 53–65. arXiv : 1702.01411 . Бибкод : 2017ШПМП..57...53Г . дои : 10.1016/j.shpsb.2017.01.001 . S2CID 38272381 .

[13] Эбелинг, Вернер; Соколов, Игорь М. (2005). Статистическая термодинамика и стохастическая теория неравновесных систем . Серия о достижениях статистической механики. Том. 8. Бибкод : 2005стст.книга.....Е . дои : 10.1142/2012 . ISBN 978-981-02-1382-4 .

[14] Гиббс, JW (1885). Об основной формуле статистической механики с приложениями к астрономии и термодинамике . OCLC 702360353 .

[15] Джеймс Клерк Максвелл, Теория тепла (Лондон, Англия: Longmans, Green и Co., 1871), стр. 309

[16] Маянц, Лазарь (1984). Загадка вероятности и физики Спрингер. п. 174. ИСБН 978-90-277-1674-3 .

[gibbs-17] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г Гиббс, Джозайя Уиллард (1902). Элементарные начала статистической механики . Нью-Йорк: Сыновья Чарльза Скрибнера .

[tolman-18] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Толман, Ричард Чейс (1979). Принципы статистической механики . Курьерская корпорация. ISBN 978-0-486-63896-6 . ^{[ нужна страница ]}

[19] Джейнс, Э. (1957). «Теория информации и статистическая механика». Физический обзор . 106 (4): 620–630. Бибкод : 1957PhRv..106..620J . дои : 10.1103/PhysRev.106.620 .

[Gao2019-20] Перейти обратно: ^а ^б ^с Гао, Сян; Галликкио, Эмилио; Ройтберг, Адриан Э. (21 июля 2019 г.). «Обобщенное распределение Больцмана — единственное распределение, в котором энтропия Гиббса-Шеннона равна термодинамической энтропии». Журнал химической физики . 151 (3): 034113. arXiv : 1903.02121 . Бибкод : 2019JChPh.151c4113G . дои : 10.1063/1.5111333 . ПМИД 31325924 .

[Gao2022-21] Перейти обратно: ^а ^б ^с Гао, Сян (март 2022 г.). «Математика теории ансамбля» . Результаты по физике . 34 : 105230. arXiv : 2006.00485 . Бибкод : 2022ResPh..3405230G . дои : 10.1016/j.rinp.2022.105230 . S2CID 221978379 .

[Reif-22] Рейф, Ф. (1965). Основы статистической и теплофизики . МакГроу-Хилл. п. 227 . ISBN 978-0-07-051800-1 .

[23] Тушетт, Хьюго (2015). «Эквивалентность и неэквивалентность ансамблей: термодинамика, макросостояние и уровни меры». Журнал статистической физики . 159 (5): 987–1016. arXiv : 1403.6608 . Бибкод : 2015JSP...159..987T . дои : 10.1007/s10955-015-1212-2 . S2CID 118534661 .

[24] Феномен концентрации меры . Математические обзоры и монографии. Том. 89. 2005. doi : 10.1090/surv/089 . ISBN 978-0-8218-3792-4 . ^{[ нужна страница ]}

[25] Горбань, АН; Тюкин И.Ю. (28 апреля 2018 г.). «Благословение размерности: математические основы статистической физики данных» . Философские труды Королевского общества A: Математические, физические и технические науки . 376 : 20170237.arXiv : 1801.03421 . (2118 ) Бибкод : 2018RSPTA.37670237G . дои : 10.1098/rsta.2017.0237 . ПМК 5869543 . ПМИД 29555807 .

[26] Бакстер, Родни Дж. (1982). Точно решенные модели статистической механики . Academic Press Inc. ISBN 978-0-12-083180-7 . ^{[ нужна страница ]}

[27] Цзя, Сюнь; Цигенхейн, Питер; Цзян, Стив Б. (2014). «Высокопроизводительные вычисления на базе графических процессоров для лучевой терапии» . Физика в медицине и биологии . 59 (4): Р151–Р182. Бибкод : 2014PMB....59R.151J . дои : 10.1088/0031-9155/59/4/R151 . ПМК 4003902 . ПМИД 24486639 .

[28] Хилл, Р; Хили, Б; Холлоуэй, Л; Кунчич, З; Туэйтс, Д; Бэлдок, К. (март 2014 г.). «Достижения в области киловольтной рентгеновской дозиметрии». Физика в медицине и биологии . 59 (6): Р183–Р231. Бибкод : 2014PMB....59R.183H . дои : 10.1088/0031-9155/59/6/R183 . ПМИД 24584183 . S2CID 18082594 .

[29] Роджерс, DWO (2006). «Пятьдесят лет моделирования Монте-Карло для медицинской физики». Физика в медицине и биологии . 51 (13): Р287–Р301. Бибкод : 2006ПМБ....51Р.287Р . дои : 10.1088/0031-9155/51/13/R17 . ПМИД 16790908 . S2CID 12066026 .

[balescu-30] Перейти обратно: ^а ^б ^с Балеску, Раду (1975). Равновесная и неравновесная статистическая механика . Уайли. ISBN 978-0-471-04600-4 . ^{[ нужна страница ]}

[31] Альтшулер, Б.Л.; Аронов, А.Г.; Хмельницкий, Д.Э. (30 декабря 1982 г.). «Влияние электрон-электронных столкновений с небольшой передачей энергии на квантовую локализацию». Журнал физики C: Физика твердого тела . 15 (36): 7367–7386. Бибкод : 1982JPhC...15.7367A . дои : 10.1088/0022-3719/15/36/018 .

[32] Алейнер, Иллинойс; Блантер, Я. М. (28 февраля 2002 г.). «Время неупругого рассеяния флуктуаций проводимости» . Физический обзор B . 65 (11): 115317. arXiv : cond-mat/0105436 . Бибкод : 2002PhRvB..65k5317A . дои : 10.1103/PhysRevB.65.115317 .

[33] Рамезанпур, Абольфазл; Бим, Эндрю Л.; Чен, Джонатан Х.; Машаги, Алиреза (19 ноября 2020 г.). «Статистическая физика для медицинской диагностики: алгоритмы обучения, вывода и оптимизации» . Диагностика . 10 (11): 972. doi : 10.3390/diagnostics10110972 . ПМЦ 7699346 . ПМИД 33228143 .

[34] Машаги, Алиреза; Рамезанпур, Абольфазл (16 марта 2018 г.). «Статистическая физика медицинской диагностики: Исследование вероятностной модели». Физический обзор E . 97 (3): 032118. arXiv : 1803.10019 . Бибкод : 2018PhRvE..97c2118M . дои : 10.1103/PhysRevE.97.032118 . ПМИД 29776109 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

v т Это Статистическая механика
Theory	Principle of maximum entropy ergodic theory
Statistical thermodynamics	Ensembles partition functions equations of state thermodynamic potential: U H F G Maxwell relations
Models	Ferromagnetism models Ising Potts Heisenberg percolation Particles with force field depletion force Lennard-Jones potential
Mathematical approaches	Boltzmann equation H-theorem Vlasov equation BBGKY hierarchy stochastic process mean-field theory and conformal field theory
Critical phenomena	Phase transition Critical exponents correlation length size scaling
Entropy	Boltzmann Shannon Tsallis Rényi von Neumann
Applications	Statistical field theory elementary particle superfluidity Condensed matter physics Complex system chaos information theory Boltzmann machine

v т Это Основные разделы физики
Divisions	Pure Applied Engineering
Approaches	Experimental Theoretical Computational
Classical	Classical mechanics Newtonian Analytical Celestial Continuum Acoustics Classical electromagnetism Classical optics Ray Wave Thermodynamics Statistical Non-equilibrium
Modern	Relativistic mechanics Special General Nuclear physics Quantum mechanics Particle physics Atomic, molecular, and optical physics Atomic Molecular Modern optics Condensed matter physics
Interdisciplinary	Astrophysics Atmospheric physics Biophysics Chemical physics Geophysics Materials science Mathematical physics Medical physics Ocean physics Quantum information science
Related	History of physics Nobel Prize in Physics Philosophy of physics Physics education Timeline of physics discoveries

Базы данных авторитетного контроля
National	Spain France BnF data Germany Israel United States Japan Czech Republic
Other	IdRef