Метод Монте-Карло в статистической механике

Монте-Карло в статистической физике относится к применению метода Монте-Карло к задачам статистической физики или статистической механики .

Обзор

Общей мотивацией использования метода Монте-Карло в статистической физике является вычисление интеграла от многих переменных. Типичная задача начинается с системы, для которой известен гамильтониан, он находится при заданной температуре и следует статистике Больцмана . Чтобы получить среднее значение некоторой макроскопической переменной, скажем, A, общий подход состоит в вычислении по всему фазовому пространству PS для простоты среднего значения A с использованием распределения Больцмана:

\langle A\rangle =\int _{PS}A_{\vec {r}}{\frac {e^{-\beta E_{\vec {r}}}}{Z}}d{\vec {r}}

.

где $E({\vec {r}})=E_{\vec {r}}$ - энергия системы для данного состояния, определяемая формулой ${\vec {r}}$ - вектор со всеми степенями свободы (например, для механической системы, ${\vec {r}}=\left({\vec {q}},{\vec {p}}\right)$ ), $\beta \equiv 1/k_{b}T$ и

Z=\int _{PS}e^{-\beta E_{\vec {r}}}d{\vec {r}}

это функция распределения .

Один из возможных подходов к решению этого интеграла от многих переменных состоит в том, чтобы точно перечислить все возможные конфигурации системы и по желанию вычислить средние значения. Это делается в точно решаемых системах и при моделировании простых систем с небольшим количеством частиц. С другой стороны, в реалистичных системах точный подсчет может быть трудно или невозможно осуществить.

Для этих систем обычно используется интегрирование Монте-Карло (не путать с методом Монте-Карло , который используется для моделирования молекулярных цепей). Основной мотивацией его использования является тот факт, что при интеграции Монте-Карло ошибка выглядит следующим образом: $1/{\sqrt {N}}$ , независимо от размерности интеграла. Еще одна важная концепция, связанная с интеграцией Монте-Карло, — это выборка по важности , метод, который сокращает время вычислений при моделировании.

В следующих разделах обсуждается общая реализация интеграции Монте-Карло для решения такого рода задач.

Выборка по важности

Оценка при интегрировании Монте-Карло интеграла, определяемого как

\langle A\rangle =\int _{PS}A_{\vec {r}}e^{-\beta E_{\vec {r}}}d{\vec {r}}/Z

является

\langle A\rangle \simeq {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}A_{{\vec {r}}_{i}}e^{-\beta E_{{\vec {r}}_{i}}}/Z

где ${\vec {r}}_{i}$ равномерно получены из всего фазового пространства (PS), а N — количество точек выборки (или оценок функции).

Из всего фазового пространства некоторые его зоны вообще имеют большее значение для среднего значения переменной $A$ чем другие. В частности, те, которые имеют значение $e^{-\beta E_{{\vec {r}}_{i}}}$ достаточно высокие по сравнению с остальными энергетическими спектрами, являются наиболее важными для интеграла. Используя этот факт, возникает естественный вопрос: можно ли с большей частотой выбирать состояния, которые, как известно, более соответствуют интегралу? Ответ — да, если использовать метод выборки по важности .

Давайте предположим $p({\vec {r}})$ это распределение, которое выбирает состояния, которые, как известно, более соответствуют интегралу.

Среднее значение $A$ можно переписать как

\langle A\rangle =\int _{PS}p^{-1}({\vec {r}}){\frac {A_{\vec {r}}}{p^{-1}({\vec {r}})}}e^{-\beta E_{\vec {r}}}/Zd{\vec {r}}=\int _{PS}p^{-1}({\vec {r}})A_{\vec {r}}^{*}e^{-\beta E_{\vec {r}}}/Zd{\vec {r}}

,

где $A_{\vec {r}}^{*}$ являются выборочными значениями с учетом вероятности важности $p({\vec {r}})$ . Этот интеграл можно оценить по формуле

\langle A\rangle \simeq {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}p^{-1}({\vec {r}}_{i})A_{{\vec {r}}_{i}}^{*}e^{-\beta E_{{\vec {r}}_{i}}}/Z

где ${\vec {r}}_{i}$ теперь генерируются случайным образом с использованием $p({\vec {r}})$ распределение. Поскольку в большинстве случаев найти способ генерации состояний с заданным распределением непросто, алгоритм Метрополиса необходимо использовать .

Канонический

Поскольку известно, что наиболее вероятными состояниями являются те, которые максимизируют распределение Больцмана, хорошее распределение, $p({\vec {r}})$ , в качестве выборки по важности можно выбрать распределение Больцмана или каноническое распределение. Позволять

p({\vec {r}})={\frac {e^{-\beta E_{\vec {r}}}}{Z}}

быть дистрибутивом, который нужно использовать. Подставляя предыдущую сумму,

\langle A\rangle \simeq {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}A_{{\vec {r}}_{i}}^{*}

.

Итак, процедура получения среднего значения данной переменной с использованием алгоритма Метрополиса с каноническим распределением заключается в использовании алгоритма Метрополиса для генерации состояний, заданных распределением. $p({\vec {r}})$ и выполнить означает более $A_{\vec {r}}^{*}$ .

При использовании алгоритма метрополиса с каноническим распределением необходимо учитывать один важный вопрос: при выполнении заданной меры, т. е. реализации ${\vec {r}}_{i}$ , необходимо гарантировать, что эта реализация не коррелирует с предыдущим состоянием системы (в противном случае состояния не будут генерироваться «случайно»). В системах с соответствующими энергетическими зазорами это является основным недостатком использования канонического распределения, поскольку время, необходимое для декорреляции системы из предыдущего состояния, может стремиться к бесконечности.

Мультиканонический

Как говорилось ранее, микроканонический подход имеет серьезный недостаток, который становится актуальным в большинстве систем, использующих интеграцию Монте-Карло. Для систем с «грубым энергетическим ландшафтом» можно использовать мультиканонический подход.

Мультиканонический подход использует другой выбор для выборки по важности:

p({\vec {r}})={\frac {1}{\Omega (E_{\vec {r}})}}

где $\Omega (E)$ – плотность состояний системы. Основным преимуществом этого выбора является то, что энергетическая гистограмма плоская, т.е. генерируемые состояния равномерно распределены по энергии. Это означает, что при использовании алгоритма Метрополиса моделирование не видит «грубого энергетического ландшафта», поскольку каждая энергия рассматривается одинаково.

Основным недостатком этого выбора является тот факт, что в большинстве систем $\Omega (E)$ неизвестно. Чтобы преодолеть эту проблему, обычно используется алгоритм Ванга и Ландау для получения DOS во время моделирования. Обратите внимание, что после того, как DOS известен, средние значения каждой переменной могут быть рассчитаны для любой температуры, поскольку генерация состояний не зависит от $\beta$ .

Выполнение

В этом разделе реализация будет сосредоточена на модели Изинга . Давайте рассмотрим двумерную спиновую сеть с L спинами (узлами решетки) на каждой стороне. Есть, естественно, $N=L^{2}$ спинов, и поэтому фазовое пространство дискретно и характеризуется N спинами, ${\vec {r}}=(\sigma _{1},\sigma _{2},...,\sigma _{N})$ где $\sigma _{i}\in \{-1,1\}$ — спин каждого узла решетки. Энергия системы определяется выражением $E({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j\in viz_{i}}(1-J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j})$ , где $viz_{i}$ — набор первых спинов окрестностей i, а J — матрица взаимодействия (для ферромагнитной модели Изинга J — единичная матрица). Проблема заявлена.

В этом примере цель состоит в том, чтобы получить $\langle M\rangle$ и $\langle M^{2}\rangle$ (например, чтобы получить магнитную восприимчивость системы), поскольку ее легко обобщить на другие наблюдаемые. Согласно определению, $M({\vec {r}})=\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}$ .

Канонический

Сначала систему необходимо инициализировать: пусть $\beta =1/k_{b}T$ быть температурой Больцмана системы и инициализировать систему с начальным состоянием (которое может быть любым, поскольку конечный результат не должен зависеть от него).

При микроканоническом выборе необходимо использовать метод мегаполиса. Поскольку не существует правильного способа выбора того, какое состояние следует выбрать, можно конкретизировать и попытаться перевернуть одно вращение за раз. Этот выбор обычно называют флипом с одним вращением . Для выполнения одного измерения необходимо выполнить следующие шаги.

шаг 1: сгенерируйте состояние, которое следует за $p({\vec {r}})$ распределение:

шаг 1.1: Выполните TT несколько раз следующую итерацию:

шаг 1.1.1: выберите случайным образом (с вероятностью 1/N) узел решетки, который будет называться i, со спином $\sigma _{i}$ .

шаг 1.1.2: выберите случайное число $\alpha \in [0,1]$ .

шаг 1.1.3: вычислите изменение энергии при попытке перевернуть вращение i:

\Delta E=2\sigma _{i}\sum _{j\in viz_{i}}\sigma _{j}

и изменение его намагниченности: $\Delta M=-2\sigma _{i}$

шаг 1.1.4: если $\alpha <\min(1,e^{-\beta \Delta E})$ , переверните вращение ( $\sigma _{i}=-\sigma _{i}$ ), в противном случае не делайте этого.

шаг 1.1.5: обновить несколько макроскопических переменных на случай, если спин перевернулся: $E=E+\Delta E$ , $M=M+\Delta M$

после времени TT система считается не коррелированной со своим предыдущим состоянием, а это означает, что в этот момент вероятность нахождения системы в данном состоянии следует распределению Больцмана, что и является целью, предлагаемой этим методом.

шаг 2: выполнить измерение:

шаг 2.1: сохраните на гистограмме значения M и M. ².

В заключение следует отметить, что TT нелегко оценить, поскольку нелегко сказать, когда система декоррелирована из предыдущего состояния. Чтобы превзойти эту точку, обычно используют не фиксированное TT, а TT в качестве времени туннелирования . Одно время туннелирования определяется как количество шагов, которые должна сделать система, чтобы перейти от минимума своей энергии к максимуму своей энергии и вернуться обратно.

Основным недостатком этого метода с выбором одного переворота спина в таких системах, как модель Изинга, является то, что время туннелирования масштабируется по степенному закону: $N^{2+z}$ где z больше 0,5, явление, известное как критическое замедление .

Применимость

Таким образом, метод игнорирует динамику, которая может быть как серьезным недостатком, так и большим преимуществом. Действительно, метод можно применять только к статичным величинам, но свобода выбора ходов делает метод очень гибким. Дополнительным преимуществом является то, что некоторые системы, такие как модель Изинга , не имеют динамического описания и определяются только энергетическим предписанием; для них подход Монте-Карло является единственно возможным.

Обобщения

Большой успех этого метода в статистической механике привел к различным обобщениям, таким как метод имитации отжига для оптимизации, в котором вводится фиктивная температура, а затем постепенно ее понижают.

См. также

Ссылки

Аллен, депутат парламента и Тилдесли, диджей (1987). Компьютерное моделирование жидкостей . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-855645-4 .
Френкель Д. и Смит Б. (2001). Понимание молекулярного моделирования . Академическая пресса. ISBN 0-12-267351-4 .
Биндер, К. и Херманн, Д.В. (2002). Моделирование Монте-Карло в статистической физике. Введение (4-е изд.). Спрингер. ISBN 3-540-43221-3 .
Спэнье, Джером; Гелбард, Эли М. (2008). «Выборка по важности». Принципы Монте-Карло и проблемы нейтронного транспорта . Дувр. стр. 110–124. ISBN 978-0-486-46293-6 .