Формализм Мори-Двадцати

Формализм Мори-Цванцига , названный в честь физиков Хадзиме Мори и Роберта Цванцига , представляет собой метод статистической физики . Он позволяет с помощью операторов проектирования разделить динамику системы на релевантную и нерелевантную части, что помогает найти замкнутые уравнения движения для соответствующей части. Он используется, например, в механике жидкости или физике конденсированного состояния .

Идея

Макроскопические системы с большим количеством микроскопических степеней свободы часто хорошо описываются небольшим количеством соответствующих переменных, например намагниченностью в системе спинов. Формализм Мори-Цванцига позволяет находить макроскопические уравнения, которые зависят только от соответствующих переменных, на основе микроскопических уравнений движения системы, которые обычно определяются гамильтонианом . Несущественная часть появляется в уравнениях как шум. Формализм не определяет, какие переменные являются значимыми, их обычно можно получить из свойств системы.

Наблюдаемые, описывающие систему, образуют гильбертово пространство . Затем оператор проецирования проецирует динамику на подпространство, охватываемое соответствующими переменными. Тогда нерелевантная часть динамики зависит от наблюдаемых, ортогональных соответствующим переменным. Корреляционная функция используется как скалярное произведение : поэтому формализм можно использовать и для анализа динамики корреляционных функций.

Вывод

Наблюдаемая, не зависящая явно от времени $A$ подчиняется уравнению движения Гейзенберга

${\frac {d}{dt}}A=iLA,$

где оператор Лиувилля $L$ определяется с помощью коммутатора $L={\frac {1}{\hbar }}[H,\cdot ]$ в квантовом случае и с помощью скобки Пуассона $L=-i\{H,\cdot \}$ в классическом случае. Здесь мы предполагаем, что гамильтониан не имеет явной зависимости от времени. Вывод также можно обобщить на гамильтонианы, зависящие от времени. Это уравнение формально решается формулой

$A(t)=e^{iLt}A.$

Оператор проектирования, действующий на наблюдаемую $X$ определяется как

$PX=(A,A)^{-1}(X,A)A,$

где $A$ — соответствующая переменная (которая также может быть вектором различных наблюдаемых), и $(\;,\;)$ является некоторым скалярным произведением операторов. Для этого скалярного произведения обычно используется произведение Мори, обобщение обычной корреляционной функции. Для наблюдаемых $X,Y$, он определяется как

$(X,Y)={\frac {1}{\beta }}\int _{0}^{\beta }d\alpha {\text{Tr}}({\bar {\rho }}Xe^{-\alpha H}Ye^{\alpha H}),$

где $\beta =(k_{B}T)^{-1}$ – обратная температура, Tr – след (соответствующий интегралу по фазовому пространству в классическом случае) и $H$ является гамильтонианом. ${\bar {\rho }}$ — соответствующий оператор вероятности (или оператор плотности для квантовых систем). Он выбран таким образом, что его можно записать только как функцию соответствующих переменных, но он является хорошим приближением фактической плотности, в частности таким, что дает правильные средние значения.

Теперь мы применяем тождество оператора

$e^{iLt}=e^{i(1-P)Lt}+\int _{0}^{t}dse^{iL(t-s)}PiLe^{i(1-P)Ls}$

к

$(1-P)iLA.$

Используя введенный выше оператор проектирования и определения

$\Omega =(iLA,A)(A,A)^{-1}$

(частотная матрица),

$F(t)=e^{t(1-P)L}(1-P)iLA$

(случайная сила) и

$K(t)=(iLF(t),A)(A,A)^{-1}$

(функция памяти), результат можно записать в виде

${\dot {A}}(t)=\Omega A(t)+\int _{0}^{t}dsK(s)A(t-s)+F(t).$

Это уравнение движения наблюдаемой $A(t)$, который зависит от его значения в текущий момент времени $t$, значение в предыдущие моменты времени (член памяти) и случайная сила (шум) зависят от части динамики, которая ортогональна $A(t)$).

Марковское приближение

Выведенное выше уравнение обычно трудно решить из-за члена свертки. Поскольку нас обычно интересуют медленные макроскопические переменные, изменяющие временные масштабы, намного большие, чем микроскопический шум, это приводит к интегрированию в течение бесконечного срока без учета задержки в свертке. Мы видим это, разложив уравнение до второго порядка по $iLA(t)$, чтобы получить

${\dot {A}}(t)\approx \Omega A(t)+\int _{0}^{\infty }dsK(s)A(s)+F(t)$,

где

$K(t)=-(e^{iLt}(1-P)iLA,(1-P)iLA)(A,A)^{-1}$.

Обобщения

Для больших отклонений от термодинамического равновесия используется более общая форма формализма Мори–Цванцига, из которой предыдущие результаты могут быть получены путем линеаризации. В этом случае гамильтониан явно зависит от времени. В этом случае уравнение переноса переменной

$A(t)=a(t)-\delta A(t)$,

где $a(t)$ это среднее значение и $\delta A(t)$ — колебание, записывается как (используйте индексное обозначение с суммированием по повторяющимся индексам)

${\dot {A}}_{i}(t)=v_{i}(t)+\Omega _{ij}(t)\delta A_{j}(t)+\int _{0}^{t}dsK_{i}(t,s)+\phi _{ij}(t,s)\delta A_{j}(t)+F_{i}(t,0)$,

где

$v_{i}(t)={\text{Tr}}({\bar {\rho }}(t)A_{i})$,

$\Omega _{ij}(t)={\text{Tr}}({\frac {\partial {\bar {\rho }}(t)}{\partial a_{j}(t)}}{\dot {A}}_{i})$,

$K_{i}(t,s)={\text{Tr}}({\bar {\rho }}(s)iL(1-P(s))G(s,t){\dot {A}}_{i}),$

и

$\phi _{ij}(t,s)={\text{Tr}}({\frac {\partial {\bar {\rho }}(t)}{\partial a_{j}(t)}}iL(1-P(s))G(s,t){\dot {A}}_{i})-{\dot {a}}_{k}(t){\text{Tr}}({\frac {\partial ^{2}{\bar {\rho }}(t)}{\partial a_{k}(t)\partial a_{j}(t)}}G(s,t){\dot {A}}_{i})$.

Мы использовали упорядоченную по времени экспоненту

$G(s,t)=T_{-}\exp(\int _{s}^{t}duiL(1-P(u)))$

и оператор нестационарного проектирования

$P(t)X={\text{Tr}}({\bar {\rho }}(t)X)+(A_{i}-a_{i}(t)){\text{Tr}}({\frac {\partial {\bar {\rho }}(t)}{\partial a_{i}(t)}}X).$

Эти уравнения также можно переписать, используя обобщение произведения Мори. Дальнейшие обобщения можно использовать для применения формализма к гамильтонианам, зависящим от времени: общая теория относительности, и произвольные динамические системы

См. также

• Уравнение Накадзимы–Двадцати
• Двадцать проекционных операторов

Ссылки

• Герман Граберт Операторные методы проекции в неравновесной статистической механике , Springer Tracts in Modern Physics, Band 95, 1982
• Роберт Цванциг Неравновесная статистическая механика 3-е изд. , Издательство Оксфордского университета, Нью-Йорк, 2001 г.