Двадцать проекционных операторов

Оператор проекции Цванцига — математический аппарат, используемый в статистической механике . ^[1] Этот оператор проектирования действует в линейном пространстве функций фазового пространства и проецируется на линейное подпространство «медленных» функций фазового пространства. Оно было введено Робертом Цванцигом для вывода общего основного уравнения . Чаще всего он используется в этом или подобном контексте формальным способом для вывода уравнений движения для некоторых «медленных» коллективных переменных . ^[2]

Медленные переменные и скалярное произведение

Оператор проекции Цванцига работает с функциями из $6N$ -мерное фазовое пространство $\Gamma =\{\mathbf {q} _{i},\mathbf {p} _{i}\}$ из $N$ точечные частицы с координатами $\mathbf {q} _{i}$ и импульс $\mathbf {p} _{i}$ . Специальным подмножеством этих функций является перечислимый набор «медленных переменных». $A(\Gamma )=\{A_{n}(\Gamma )\}$ . Кандидатами на роль некоторых из этих переменных могут быть длинноволновые компоненты Фурье. $\rho _{k}(\Gamma )$ плотности массы и длинноволновых компонент Фурье $\mathbf {\pi } _{\mathbf {k} }(\Gamma )$ плотности импульса с волновым вектором $\mathbf {k}$ идентифицируется с $n$ . Оператор проекции Цванцига опирается на эти функции, но не говорит, как найти медленные переменные данного гамильтониана. $H(\Gamma )$ .

Скалярное произведение ^[3] между двумя произвольными функциями фазового пространства $f_{1}(\Gamma )$ и $f_{2}(\Gamma )$ определяется равновесным соотношением

\left(f_{1},f_{2}\right)=\int d\Gamma \rho _{0}\left(\Gamma \right)f_{1}\left(\Gamma \right)f_{2}\left(\Gamma \right),

где

\rho _{0}\left(\Gamma \right)={\frac {\delta \left(H\left(\Gamma \right)-E\right)}{\int d\Gamma ^{\prime }\delta \left(H\left(\Gamma ^{\prime }\right)-E\right)}},

обозначает микроканоническое равновесное распределение. «Быстрые» переменные по определению ортогональны всем функциям. $G(A(\Gamma ))$ из $A(\Gamma )$ под этим скалярным произведением. Это определение гласит, что флуктуации быстрых и медленных переменных некоррелированы, и согласно эргодической гипотезе это также верно для средних по времени. Если универсальная функция $f(\Gamma )$ коррелирует с некоторыми медленными переменными, то можно вычитать функции медленных переменных до тех пор, пока не останется некоррелированная быстрая часть $f(\Gamma )$ . Произведение медленной и быстрой переменной является быстрой переменной.

Оператор проекции

Рассмотрим непрерывный набор функций $\Phi _{a}(\Gamma )=\delta (A(\Gamma )-a)=\prod _{n}\delta (A_{n}(\Gamma )-a_{n})$ с $a=a_{n}$ постоянный. Любая функция фазового пространства $G(A(\Gamma ))$ в зависимости от $\Gamma$ только через $A(\Gamma )$ является функцией $\Phi _{a}$ , а именно

G(A\left(\Gamma \right))=\int daG\left(a\right)\delta \left(A\left(\Gamma \right)-a\right).

Общая функция фазового пространства $f(\Gamma )$ разлагается по

f\left(\Gamma \right)=F\left(A\left(\Gamma \right)\right)+R\left(\Gamma \right),

где $R(\Gamma )$ это быстрая часть $f(\Gamma )$ . Чтобы получить выражение для медленной части $F(\Gamma )$ из $f$ возьмите скалярное произведение с медленной функцией $\delta (A(\Gamma )-a)$ ,

\int d\Gamma \rho _{0}\left(\Gamma \right)f\left(\Gamma \right)\delta \left(A\left(\Gamma \right)-a\right)=\int d\Gamma \rho _{0}\left(\Gamma \right)F\left(A\left(\Gamma \right)\right)\delta \left(A\left(\Gamma \right)-a\right)=F\left(a\right)\int d\Gamma \rho _{0}\left(\Gamma \right)\delta \left(A\left(\Gamma \right)-a\right).

Это дает выражение для $F(\Gamma )$ , и, следовательно, для оператора $P$ проецирование произвольной функции $f(\Gamma )$ к его «медленной» части в зависимости от $\Gamma$ только через $A(\Gamma )$ ,

P\cdot f\left(\Gamma \right)=F\left(A\left(\Gamma \right)\right)={\frac {\int d\Gamma ^{\prime }\rho _{0}\left(\Gamma ^{\prime }\right)f\left(\Gamma ^{\prime }\right)\delta \left(A\left(\Gamma ^{\prime }\right)-A\left(\Gamma \right)\right)}{\int d\Gamma ^{\prime }\rho _{0}\left(\Gamma ^{\prime }\right)\delta \left(A\left(\Gamma ^{\prime }\right)-A\left(\Gamma \right)\right)}}.

Это выражение согласуется с выражением Цванцига: ^[1] за исключением того, что Двадцать включает в себя $H(\Gamma )$ в медленных переменных. Оператор проекции Цванцига выполняет $PG(A(\Gamma ))=G(A(\Gamma ))$ и $P^{2}=P$ . Быстрая часть $f(\Gamma )$ является $(1-P)f(\Gamma )$ . Функции медленных переменных и, в частности, произведения медленных переменных являются медленными переменными. Таким образом, пространство медленных переменных является алгеброй. Алгебра вообще не замкнута относительно скобки Пуассона, включая скобку Пуассона с гамильтонианом .

Связь с уравнением Лиувилля и Мастера

Окончательное обоснование определения $P$ как указано выше, это то, что это позволяет вывести основное уравнение для вероятности, зависящей от времени распределение $p(a,t)$ медленных переменных (или уравнения Ланжевена для самих медленных переменных).

Чтобы набросать типичные шаги, позвольте $\rho (\Gamma ,t)=\rho _{0}(\Gamma )\sigma (\Gamma ,t)$ обозначают зависящее от времени распределение вероятностей в фазовом пространстве. Фазовая пространственная плотность $\sigma (\Gamma ,t)$ (а также $\rho (\Gamma ,t)$ ) является решением уравнения Лиувилля

i{\frac {\partial }{\partial t}}\sigma (\Gamma ,t)=L\sigma (\Gamma ,t).

Тогда решающим шагом будет запись $\rho _{1}=P\sigma$ , $\rho _{2}=(1-P)\sigma$ и спроецировать уравнение Лиувилля на медленную и быстрое подпространство, ^[1]

i{\frac {\partial }{\partial t}}\rho _{1}=PL\rho _{1}+PL\rho _{2},

i{\frac {\partial }{\partial t}}\rho _{2}=\left(1-P\right)L\rho _{2}+\left(1-P\right)L\rho _{1}.

Решая второе уравнение для $\rho _{2}$ и вставка $\rho _{2}(\Gamma ,t)$ в первый уравнение дает замкнутое уравнение для $\rho _{1}$ (см. уравнение Накадзимы – Цванцига ). Последнее уравнение, наконец, дает уравнение для $p(A(\Gamma ),t)=p_{0}(A(\Gamma ))\rho _{1}(\Gamma ,t),$ где $p_{0}(a)$ обозначает равновесное распределение медленных переменных.

Нелинейные уравнения Ланжевена

Отправной точкой стандартного вывода уравнения Ланжевена является тождество $1=P+Q$ , где $Q$ проецируется на быстрое подпространство. Рассмотрим дискретные малые шаги по времени. $\tau$ с оператором эволюции $U\cong 1+i\tau L$ , где $L$ — оператор Лиувилля . Цель – выразить $U^{n}$ с точки зрения $U^{k}P$ и $Q(UQ)^{m}$ . Мотивация в том, что $U^{k}P$ является функционалом медленных переменных и что $Q(UQ)^{m}$ генерирует выражения, которые являются быстрыми переменными на каждом временном шаге. Ожидается, что изолированные таким образом быстрые переменные могут быть представлены некоторыми модельными данными, например, гауссовским белым шумом. Разложение достигается умножением $1=P+Q$ слева с $U$ , за исключением последнего члена, который умножается на $U=PU+QU$ . Итерация дает

{\begin{aligned}1&=P+Q,\\U&=UP+PUQ+QUQ,\\...&=...\\U^{n}&=U^{n}P+\sum _{m=1}^{n}U^{n-m}P\left(UQ\right)^{m}+Q\left(UQ\right)^{n}.\end{aligned}}

Последняя строка также может быть доказана по индукции. Предполагая $U=1+itL/n$ и выполнение лимита $n\rightarrow \infty$ напрямую ведет к личности оператора Кавасаки ^[2]

e^{itL}=e^{itL}P+i\int _{0}^{t}dse^{i\left(t-s\right)L}PLQe^{isLQ}+Qe^{itLQ}.

Общее уравнение Ланжевена получается путем применения этого уравнения к производной по времени медленной переменной. $A$ , $dA(\Gamma ,t)/dt=e^{itL}(dA(\Gamma ,t)/dt)_{t=0}$ ,

{\begin{aligned}{\frac {dA}{dt}}\left(\Gamma ,t\right)&=V+K+R,\\V&=e^{itL}P{\dot {A}}\left(\Gamma ,0\right),\\K&=i\int _{0}^{t}dse^{i\left(t-s\right)L}PLQe^{isLQ}{\dot {A}}\left(\Gamma ,0\right)=i\int _{0}^{t}dse^{i\left(t-s\right)L}PLR\left(s\right),\\R&=Qe^{itLQ}{\dot {A}}\left(\Gamma ,0\right).\end{aligned}}

Здесь $R$ — флуктуирующая сила (она зависит только от быстрых переменных). Условия связи мод $V$ и срок затухания $K$ являются функционалами $A(t)$ и $A(t-s)$ и может быть значительно упрощено. ^[1]^[2]^[4]

Дискретный набор функций, относящийся к оператору проекции Мори

Вместо расширения медленной части $f(\Gamma )$ в непрерывном множестве $\Phi _{a}(\Gamma )=\delta (A(\Gamma )-a)$ функций, можно также использовать некоторый перечислимый набор функций $\Phi _{n}(A(\Gamma ))$ . Если эти функции составляют полный набор ортонормированных функций, тогда оператор проектирования просто читает

P\cdot f\left(\Gamma \right)=\sum _{n}\left(f,\Phi _{n}\right)\Phi _{n}\left(A\left(\Gamma \right)\right).

Особый выбор для $\Phi _{n}(A(\Gamma ))$ представляют собой ортонормированные линейные комбинации медленных переменных $A(\Gamma )$ . Это приводит к оператору проекции Мори. ^[3] Однако набор линейных функций не является полным, а ортогональные переменные не являются быстрыми или случайными, если нелинейность в $A$ вступает в игру.

См. также

Формализм Мори-Двадцати

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Цванциг, Роберт (1961). «Эффекты памяти в необратимой термодинамике». Физ. Преподобный . 124 (4): 983–992. Бибкод : 1961PhRv..124..983Z . дои : 10.1103/physrev.124.983 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Кавасаки, К. (1973). «Простые выводы обобщенных линейных и нелинейных уравнений Ланжевена». Дж. Физ. А: Математика. Нукл. Ген . 6 (9): 1289–1295. Бибкод : 1973JPhA....6.1289K . дои : 10.1088/0305-4470/6/9/004 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Мори, Х. (1965). «Транспорт, коллективное движение и броуновское движение» . Прог. Теор. Физ . 33 (3): 423–455. Бибкод : 1965ПТФ..33..423М . дои : 10.1143/ptp.33.423 .
^ Гантон, доктор юридических наук (1979). «Теория связи мод по отношению к методу динамической ренормгруппы». Динамические критические явления и связанные с ними темы . Конспект лекций по физике. Том. 104. стр. 1–24. Бибкод : 1979ЛНП...104....1Г . дои : 10.1007/3-540-09523-3_1 . ISBN 978-3-540-09523-1 .

[Zwanzig1961-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Цванциг, Роберт (1961). «Эффекты памяти в необратимой термодинамике». Физ. Преподобный . 124 (4): 983–992. Бибкод : 1961PhRv..124..983Z . дои : 10.1103/physrev.124.983 .

[Kawasaki1973-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с Кавасаки, К. (1973). «Простые выводы обобщенных линейных и нелинейных уравнений Ланжевена». Дж. Физ. А: Математика. Нукл. Ген . 6 (9): 1289–1295. Бибкод : 1973JPhA....6.1289K . дои : 10.1088/0305-4470/6/9/004 .

[Mori1965-3] Перейти обратно: ^а ^б Мори, Х. (1965). «Транспорт, коллективное движение и броуновское движение» . Прог. Теор. Физ . 33 (3): 423–455. Бибкод : 1965ПТФ..33..423М . дои : 10.1143/ptp.33.423 .

[Gunton1979-4] Гантон, доктор юридических наук (1979). «Теория связи мод по отношению к методу динамической ренормгруппы». Динамические критические явления и связанные с ними темы . Конспект лекций по физике. Том. 104. стр. 1–24. Бибкод : 1979ЛНП...104....1Г . дои : 10.1007/3-540-09523-3_1 . ISBN 978-3-540-09523-1 .

[1]

[2]

[3]

[4]