Уравнение Ланжевена

В физике уравнение Ланжевена (названное в честь Поля Ланжевена ) представляет собой стохастическое дифференциальное уравнение, описывающее, как система развивается под воздействием комбинации детерминированных и флуктуирующих («случайных») сил. Зависимые переменные в уравнении Ланжевена обычно представляют собой коллективные (макроскопические) переменные, изменяющиеся лишь медленно по сравнению с другими (микроскопическими) переменными системы. Быстрые (микроскопические) переменные ответственны за стохастический характер уравнения Ланжевена. Одним из применений является броуновское движение , которое моделирует колебательное движение маленькой частицы в жидкости.

Броуновское движение как прототип

Исходное уравнение Ланжевена описывает броуновское движение , очевидно случайное движение частицы в жидкости вследствие столкновений с молекулами жидкости,

$$m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=-\lambda \mathbf {v} +{\boldsymbol {\eta }}\left(t\right).$$

Здесь, $\mathbf {v}$ - скорость частицы, $\lambda$ - его коэффициент демпфирования, а $m$ это его масса. Сила, действующая на частицу, записывается как сумма вязкой силы, пропорциональной скорости частицы ( закон Стокса ), и шумового члена ${\boldsymbol {\eta }}\left(t\right)$ представляющий эффект столкновений с молекулами жидкости. Сила ${\boldsymbol {\eta }}\left(t\right)$ имеет гауссово распределение вероятностей с корреляционной функцией

$$\left\langle \eta _{i}\left(t\right)\eta _{j}\left(t'\right)\right\rangle =2\lambda k_{\text{B}}T\delta _{i,j}\delta \left(t-t'\right),$$

где $k_{\text{B}}$ – постоянная Больцмана , $T$ это температура и $\eta _{i}\left(t\right)$ — i-я компонента вектора ${\boldsymbol {\eta }}\left(t\right)$. $\delta$-функциональная форма временной корреляции означает, что сила в момент времени $t$ не коррелирует с силой в любое другое время. Это приближение: реальная случайная сила имеет ненулевое время корреляции, соответствующее времени столкновения молекул. Однако уравнение Ланжевена используется для описания движения «макроскопической» частицы в гораздо более длительном масштабе времени, и в этом пределе $\delta$-корреляция и уравнение Ланжевена становится практически точным.

Другой общей чертой уравнения Ланжевена является появление коэффициента затухания $\lambda$ в корреляционной функции случайной силы, которая в равновесной системе является выражением соотношения Эйнштейна .

Математические аспекты

Строго $\delta$-коррелированная колебательная сила ${\boldsymbol {\eta }}\left(t\right)$ не является функцией в обычном математическом смысле и даже не производной $\mathrm {d} \mathbf {v} /\mathrm {d} t$ в этом пределе не определен. Эта проблема исчезает, если уравнение Ланжевена записать в интегральной форме

$$m\mathbf {v} =\int ^{t}\left(-\lambda \mathbf {v} +{\boldsymbol {\eta }}\left(t\right)\right)\mathrm {d} t.$$

Следовательно, дифференциальная форма — это всего лишь сокращение от интеграла по времени. Общий математический термин для уравнений этого типа — « стохастическое дифференциальное уравнение ».

Другая математическая неоднозначность возникает в уравнениях Ланжевена с мультипликативным шумом, который относится к шумовым членам, которые умножаются на непостоянную функцию зависимых переменных, например: $\left|{\boldsymbol {v}}(t)\right|{\boldsymbol {\eta }}(t)$. Если системе присущ мультипликативный шум, то его определение неоднозначно, так как его одинаково справедливо интерпретировать по схеме Стратоновича или по схеме Ито (см. исчисление Ито ). Тем не менее, физические наблюдаемые не зависят от интерпретации, при условии, что последняя последовательно применяется при манипулировании уравнением. Это необходимо, поскольку символические правила исчисления различаются в зависимости от схемы интерпретации. Если шум является внешним по отношению к системе, подходящей интерпретацией является интерпретация Стратоновича.

Ланжевена

Существует формальный вывод общего уравнения Ланжевена из классической механики. Это общее уравнение играет центральную роль в теории критической динамики . и другие области неравновесной статистической механики. Приведенное выше уравнение броуновского движения представляет собой частный случай.

Существенным шагом в выводе является разделение степеней свободы на категории медленные и быстрые . Например, локальное термодинамическое равновесие в жидкости достигается за несколько времен столкновения, но для релаксации к равновесию плотности сохраняющихся величин, таких как масса и энергия, требуется гораздо больше времени. Таким образом, плотности сохраняющихся величин и, в частности, их длинноволновые компоненты являются кандидатами на медленные переменные. Это деление можно формально выразить с помощью оператора проекции Цванцига . Тем не менее, этот вывод не является полностью строгим с точки зрения математической физики, поскольку он основан на предположениях, которым не хватает строгих доказательств и вместо этого оправданы только как правдоподобные аппроксимации физических систем.

Позволять $A=\{A_{i}\}$ обозначают медленные переменные. Тогда общее уравнение Ланжевена будет иметь вид

$${\frac {\mathrm {d} A_{i}}{\mathrm {d} t}}=k_{\text{B}}T\sum \limits _{j}{\left[{A_{i},A_{j}}\right]{\frac {{\mathrm {d} }{\mathcal {H}}}{\mathrm {d} A_{j}}}}-\sum \limits _{j}{\lambda _{i,j}\left(A\right){\frac {\mathrm {d} {\mathcal {H}}}{\mathrm {d} A_{j}}}+}\sum \limits _{j}{\frac {\mathrm {d} {\lambda _{i,j}\left(A\right)}}{\mathrm {d} A_{j}}}+\eta _{i}\left(t\right).$$

Колеблющаяся сила $\eta _{i}\left(t\right)$ подчиняется гауссовскому распределению вероятностей с корреляционной функцией

$$\left\langle {\eta _{i}\left(t\right)\eta _{j}\left(t'\right)}\right\rangle =2\lambda _{i,j}\left(A\right)\delta \left(t-t'\right).$$

Отсюда следует соотношение взаимности Онзагера. $\lambda _{i,j}=\lambda _{j,i}$ для коэффициентов демпфирования $\lambda$. Зависимость $\mathrm {d} \lambda _{i,j}/\mathrm {d} A_{j}$ из $\lambda$ на $A$ в большинстве случаев ничтожно мала. Символ ${\mathcal {H}}=-\ln \left(p_{0}\right)$ обозначает гамильтониан системы, где $p_{0}\left(A\right)$ — равновесное распределение вероятностей переменных $A$. Окончательно, $[A_{i},A_{j}]$ — проекция скобки Пуассона медленных переменных $A_{i}$ и $A_{j}$ на пространство медленных переменных.

В случае броуновского движения было бы ${\mathcal {H}}=\mathbf {p} ^{2}/\left(2mk_{\text{B}}T\right)$, $A=\{\mathbf {p} \}$ или $A=\{\mathbf {x} ,\mathbf {p} \}$ и $[x_{i},p_{j}]=\delta _{i,j}$. Уравнение движения $\mathrm {d} \mathbf {x} /\mathrm {d} t=\mathbf {p} /m$ для $\mathbf {x}$ точно: нет колеблющейся силы $\eta _{x}$ и нет коэффициента демпфирования $\lambda _{x,p}$.

Примеры

Тепловой шум в электрическом резисторе

Электрическая цепь, состоящая из резистора и конденсатора.

Существует близкая аналогия между парадигматической броуновской частицей, обсуждавшейся выше, и шумом Джонсона , электрическим напряжением, генерируемым тепловыми флуктуациями в резисторе. На схеме справа показана электрическая цепь, состоящая сопротивления R и емкости C. из Медленная переменная — это напряжение U между концами резистора. Гамильтониан читается ${\mathcal {H}}=E/k_{\text{B}}T=CU^{2}/(2k_{\text{B}}T)$, и уравнение Ланжевена принимает вид

$${\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {U}{RC}}+\eta \left(t\right),\;\;\left\langle \eta \left(t\right)\eta \left(t'\right)\right\rangle ={\frac {2k_{\text{B}}T}{RC^{2}}}\delta \left(t-t'\right).$$

Это уравнение можно использовать для определения корреляционной функции

$$\left\langle U\left(t\right)U\left(t'\right)\right\rangle ={\frac {k_{\text{B}}T}{C}}\exp \left(-{\frac {\left|t-t'\right|}{RC}}\right)\approx 2Rk_{\text{B}}T\delta \left(t-t'\right),$$

который становится белым шумом (шумом Джонсона), когда емкость C становится пренебрежимо малой.

динамика

Динамика параметра порядка $\varphi$ Фазовый переход второго рода замедляется вблизи критической точки и может быть описан уравнением Ланжевена. Простейшим случаем является класс универсальности «модель А» с несохраняющимся скалярным параметром порядка, реализованный, например, в аксиальных ферромагнетиках:

$${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}\varphi {\left(\mathbf {x} ,t\right)}&=-\lambda {\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \varphi }}+\eta {\left(\mathbf {x} ,t\right)},\\[2ex]{\mathcal {H}}&=\int d^{d}x\left[{\frac {1}{2}}r_{0}\varphi ^{2}+u\varphi ^{4}+{\frac {1}{2}}\left(\nabla \varphi \right)^{2}\right],\\[2ex]\left\langle \eta {\left(\mathbf {x} ,t\right)}\,\eta {\left(\mathbf {x} ',t'\right)}\right\rangle &=2\lambda \,\delta {\left(\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right)}\;\delta {\left(t-t'\right)}.\end{aligned}}$$

Другие классы универсальности (номенклатура «модель A»,..., «модель J») содержат диффузный параметр порядка, параметры порядка с несколькими компонентами, другие критические переменные и/или вклады скобок Пуассона.

Рисунок 1: Фазовый портрет гармонического осциллятора, демонстрирующий распространение, обусловленное уравнением Ланжевена.

Рисунок 2: Вероятность равновесия для динамики Ланжевена в гармоническом потенциале

Гармонический осциллятор в жидкости

См. Также: Фазовое пространство.

$$m{\frac {dv}{dt}}=-\lambda v+\eta (t)-kx$$

Частица в жидкости описывается уравнением Ланжевена с функцией потенциальной энергии, силой демпфирования и тепловыми флуктуациями, заданными теоремой о диссипации флуктуаций . Если потенциал квадратичен, то кривые постоянной энергии представляют собой эллипсы, как показано на рисунке. Если есть диссипация, но нет теплового шума, частица постоянно теряет энергию в окружающую среду, и ее зависящий от времени фазовый портрет (скорость в зависимости от положения) соответствует внутренней спирали в направлении скорости 0. Напротив, тепловые флуктуации постоянно добавляют энергию частице и не позволяют ей достичь точно нулевой скорости. Скорее, исходный ансамбль стохастических осцилляторов приближается к установившемуся состоянию, в котором скорость и положение распределяются в соответствии с распределением Максвелла-Больцмана . На графике ниже (рис. 2) долговременное распределение скорости (синий) и распределения положений (оранжевый) в гармоническом потенциале ( ${\textstyle U={\frac {1}{2}}kx^{2}}$) построен с вероятностями Больцмана для скорости (зеленый) и положения (красный). В частности, поведение в позднее время отражает тепловое равновесие.

Смоделированные квадраты смещений свободных броуновских частиц (полупрозрачные волнистые линии) как функция времени для трех выбранных вариантов начального квадрата скорости, которые составляют 0, 3 k _B T / m и 6 k _B T / m соответственно, с 3 k _B T / m – величина равнораспределения в тепловом равновесии. Цветные сплошные кривые обозначают среднеквадратические смещения для соответствующих вариантов выбора параметров.

Траектории

Рассмотрим свободную частицу массы $m$ с уравнением движения, описываемым

$$m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=-{\frac {\mathbf {v} }{\mu }}+{\boldsymbol {\eta }}(t),$$

где $\mathbf {v} =d\mathbf {r} /dt$ - скорость частицы, $\mu$ - подвижность частиц, а ${\boldsymbol {\eta }}(t)=m\mathbf {a} (t)$ - это быстро меняющаяся сила, среднее значение которой исчезает в течение характерного временного масштаба. $t_{c}$ столкновений частиц, т.е. ${\overline {{\boldsymbol {\eta }}(t)}}=0$. Общее решение уравнения движения есть

$$\mathbf {v} (t)=\mathbf {v} (0)e^{-t/\tau }+\int _{0}^{t}\mathbf {a} (t')e^{-(t-t')/\tau }dt',$$

где $\tau =m\mu$ — время корреляции шумового члена. Можно также показать, что автокорреляционная функция скорости частицы $\mathbf {v}$ дается

$${\begin{aligned}R_{vv}(t_{1},t_{2})&\equiv \langle \mathbf {v} (t_{1})\cdot \mathbf {v} (t_{2})\rangle \\&=v^{2}(0)e^{-(t_{1}+t_{2})/\tau }+\int _{0}^{t_{1}}\int _{0}^{t_{2}}R_{aa}(t_{1}',t_{2}')e^{-(t_{1}+t_{2}-t_{1}'-t_{2}')/\tau }dt_{1}'dt_{2}'\\&\simeq v^{2}(0)e^{-|t_{2}-t_{1}|/\tau }+\left[{\frac {3k_{\text{B}}T}{m}}-v^{2}(0)\right]{\Big [}e^{-|t_{2}-t_{1}|/\tau }-e^{-(t_{1}+t_{2})/\tau }{\Big ]},\end{aligned}}$$

где мы использовали свойство, заключающееся в том, что переменные $\mathbf {a} (t_{1}')$ и $\mathbf {a} (t_{2}')$ становятся некоррелированными из-за временного разделения $t_{2}'-t_{1}'\gg t_{c}$. Кроме того, значение ${\textstyle \lim _{t\to \infty }\langle v^{2}(t)\rangle =\lim _{t\to \infty }R_{vv}(t,t)}$ устанавливается равным $3k_{\text{B}}T/m$ такой, что он подчиняется теореме о равнораспределении . Если система изначально находится в тепловом равновесии уже при $v^{2}(0)=3k_{\text{B}}T/m$, затем $\langle v^{2}(t)\rangle =3k_{\text{B}}T/m$ для всех $t$Это означает, что система всегда находится в равновесии.

Скорость $\mathbf {v} (t)$ броуновской частицы можно проинтегрировать, чтобы получить ее траекторию $\mathbf {r} (t)$. Если он изначально находится в начале координат с вероятностью 1, то результат будет

$$\mathbf {r} (t)=\mathbf {v} (0)\tau \left(1-e^{-t/\tau }\right)+\tau \int _{0}^{t}\mathbf {a} (t')\left[1-e^{-(t-t')/\tau }\right]dt'.$$

Следовательно, среднее смещение ${\textstyle \langle \mathbf {r} (t)\rangle =\mathbf {v} (0)\tau \left(1-e^{-t/\tau }\right)}$ асимптоты к $\mathbf {v} (0)\tau$ когда система расслабляется. Среднеквадратичное перемещение можно определить аналогично:

$$\langle r^{2}(t)\rangle =v^{2}(0)\tau ^{2}\left(1-e^{-t/\tau }\right)^{2}-{\frac {3k_{\text{B}}T}{m}}\tau ^{2}\left(1-e^{-t/\tau }\right)\left(3-e^{-t/\tau }\right)+{\frac {6k_{\text{B}}T}{m}}\tau t.$$

Это выражение подразумевает, что $\langle r^{2}(t\ll \tau )\rangle \simeq v^{2}(0)t^{2}$, что указывает на то, что движение броуновских частиц за времена, намного меньшие, чем время релаксации $\tau$ системы (приблизительно) инвариантна относительно обращения времени . С другой стороны, $\langle r^{2}(t\gg \tau )\rangle \simeq 6k_{\text{B}}T\tau t/m=6\mu k_{\text{B}}Tt=6Dt$, что указывает на необратимый диссипативный процесс .

Этот график соответствует решениям полного уравнения Ланжевена для слабозатухающего гармонического осциллятора, полученным методом Эйлера–Маруямы . На левой панели показана временная эволюция фазового портрета при различных температурах. На правой панели показаны соответствующие равновесные распределения вероятностей. При нулевой температуре скорость медленно падает от своего начального значения (красная точка) до нуля в течение нескольких колебаний из-за затухания. При ненулевых температурах скорость может быть увеличена до значений, превышающих начальное значение, из-за тепловых флуктуаций. На больших временах скорость остается отличной от нуля, а распределение положения и скорости соответствует термическому равновесию.

Больцмана

Если внешний потенциал консервативен, а шумовой член происходит из резервуара, находящегося в тепловом равновесии, то долговременное решение уравнения Ланжевена должно сводиться к распределению Больцмана , которое является функцией распределения вероятностей для частиц, находящихся в тепловом равновесии. В частном случае перезатухающей динамики инерция частицы пренебрежимо мала по сравнению с силой демпфирования, а траектория $x(t)$ описывается перезатухающим уравнением Ланжевена

$$\lambda {\frac {dx}{dt}}=-{\frac {\partial V(x)}{\partial x}}+\eta (t)\equiv -{\frac {\partial V(x)}{\partial x}}+{\sqrt {2\lambda k_{\text{B}}T}}{\frac {dB_{t}}{dt}},$$

где $\lambda$ – константа затухания. Термин $\eta (t)$ белый шум, характеризующийся $\left\langle \eta (t)\eta (t')\right\rangle =2k_{\text{B}}T\lambda \delta (t-t')$ (формально — Винеровский процесс ). Один из способов решения этого уравнения — ввести пробную функцию $f$ и вычислить его среднее значение. Среднее значение $f(x(t))$ должно быть независимым от времени для конечных $x(t)$, что приводит к

$${\frac {d}{dt}}\left\langle f(x(t))\right\rangle =0,$$

Лемма Ито для процесса дрейфа-диффузии Ито $dX_{t}=\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dB_{t}$ говорит, что дифференциал дважды дифференцируемой функции f ( t , x ) определяется выражением

$$df=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\sigma _{t}^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+\sigma _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dB_{t}.$$

Применяя это к расчету $\langle f(x(t))\rangle$ дает

$$\left\langle -f'(x){\frac {\partial V}{\partial x}}+k_{\text{B}}Tf''(x)\right\rangle =0.$$

Это среднее значение можно записать с помощью функции плотности вероятности $p(x)$;

$${\begin{aligned}&\int \left(-f'(x){\frac {\partial V}{\partial x}}p(x)+{k_{\text{B}}T}f''(x)p(x)\right)dx\\=&\int \left(-f'(x){\frac {\partial V}{\partial x}}p(x)-{k_{\text{B}}T}f'(x)p'(x)\right)dx\\=&\;0\end{aligned}}$$

где второй член интегрирован по частям (отсюда и отрицательный знак). Поскольку это верно для произвольных функций $f$, отсюда следует, что

$${\frac {\partial V}{\partial x}}p(x)+{k_{\text{B}}T}p'(x)=0,$$

восстанавливая таким образом распределение Больцмана

$$p(x)\propto \exp \left({-{\frac {V(x)}{k_{\text{B}}T}}}\right).$$

Эквивалентные методы

В некоторых ситуациях в первую очередь интересует усредненное по шуму поведение уравнения Ланжевена, а не решение для конкретных реализаций шума. В этом разделе описываются методы получения этого усредненного поведения, которые отличаются от стохастического исчисления, присущего уравнению Ланжевена, но также эквивалентны ему.

Уравнение Фоккера–Планка

Уравнение Фоккера – Планка представляет собой детерминированное уравнение для зависящей от времени плотности вероятности. $P\left(A,t\right)$ стохастических переменных $A$. Уравнение Фоккера-Планка, соответствующее общему уравнению Ланжевена, описанному в этой статье, имеет следующий вид:

$${\frac {\partial P\left(A,t\right)}{\partial t}}=\sum _{i,j}{\frac {\partial }{\partial A_{i}}}\left(-k_{\text{B}}T\left[A_{i},A_{j}\right]{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial A_{j}}}+\lambda _{i,j}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial A_{j}}}+\lambda _{i,j}{\frac {\partial }{\partial A_{j}}}\right)P\left(A,t\right).$$

Равновесное распределение $P(A)=p_{0}(A)={\text{const}}\times \exp(-{\mathcal {H}})$ является стационарным решением.

Клейна

Основная статья: уравнение Клейна – Крамерса

Уравнение Фоккера-Планка для недодемпфированной броуновской частицы называется уравнением Клейна-Крамерса . Если уравнения Ланжевена записать в виде

$${\begin{aligned}{\dot {\mathbf {r} }}&={\frac {\mathbf {p} }{m}}\\{\dot {\mathbf {p} }}&=-\xi \,\mathbf {p} -\nabla V(\mathbf {r} )+{\sqrt {2m\xi k_{\mathrm {B} }T}}{\boldsymbol {\eta }}(t),\qquad \langle {\boldsymbol {\eta }}^{\mathrm {T} }(t){\boldsymbol {\eta }}(t')\rangle =\mathbf {I} \delta (t-t')\end{aligned}}$$

где $\mathbf {p}$ – импульс, то соответствующее уравнение Фоккера–Планка имеет вид

$${\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{m}}\mathbf {p} \cdot \nabla _{\mathbf {r} }f=\xi \nabla _{\mathbf {p} }\cdot \left(\mathbf {p} \,f\right)+\nabla _{\mathbf {p} }\cdot \left(\nabla V(\mathbf {r} )\,f\right)+m\xi k_{\mathrm {B} }T\,\nabla _{\mathbf {p} }^{2}f$$

Здесь $\nabla _{\mathbf {r} }$ и $\nabla _{\mathbf {p} }$ являются оператором градиента по отношению к r и p , и $\nabla _{\mathbf {p} }^{2}$ является лапласианом относительно p .

В $d$-мерное свободное пространство, соответствующее $V(\mathbf {r} )={\text{constant}}$ на $\mathbb {R} ^{d}$, это уравнение можно решить с помощью преобразования Фурье . Если частица инициализируется в $t=0$ с позицией $\mathbf {r} '$ и импульс $\mathbf {p} '$, соответствующий начальному состоянию $f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,0)=\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p} ')$, то решение

$${\begin{aligned}f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)=&{\frac {1}{\left(2\pi \sigma _{X}\sigma _{P}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}\right)^{d}}}\times \\&\quad \exp \left[-{\frac {1}{2(1-\beta ^{2})}}\left({\frac {|\mathbf {r} -{\boldsymbol {\mu }}_{X}|^{2}}{\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {|\mathbf {p} -{\boldsymbol {\mu }}_{P}|^{2}}{\sigma _{P}^{2}}}-{\frac {2\beta (\mathbf {r} -{\boldsymbol {\mu }}_{X})\cdot (\mathbf {p} -{\boldsymbol {\mu }}_{P})}{\sigma _{X}\sigma _{P}}}\right)\right]\end{aligned}}$$

где

$${\begin{aligned}&\sigma _{X}^{2}={\frac {k_{\mathrm {B} }T}{m\xi ^{2}}}\left[1+2\xi t-\left(2-e^{-\xi t}\right)^{2}\right];\qquad \sigma _{P}^{2}=mk_{\mathrm {B} }T\left(1-e^{-2\xi t}\right)\\&\beta ={\frac {k_{\text{B}}T}{\xi \sigma _{X}\sigma _{P}}}\left(1-e^{-\xi t}\right)^{2}\\&{\boldsymbol {\mu }}_{X}=\mathbf {r} '+(m\xi )^{-1}\left(1-e^{-\xi t}\right)\mathbf {p} ';\qquad {\boldsymbol {\mu }}_{P}=\mathbf {p} 'e^{-\xi t}.\end{aligned}}$$

В трех пространственных измерениях среднеквадратичное перемещение равно

$$\langle \mathbf {r} (t)^{2}\rangle =\int f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)\mathbf {r} ^{2}\,d\mathbf {r} d\mathbf {p} ={\boldsymbol {\mu }}_{X}^{2}+3\sigma _{X}^{2}$$

Интеграл по пути

Интеграл по путям, эквивалентный уравнению Ланжевена, можно получить из соответствующего уравнения Фоккера – Планка или путем преобразования гауссовского распределения вероятностей. $P^{(\eta )}(\eta )\mathrm {d} \eta$ колеблющейся силы $\eta$ к распределению вероятностей медленных переменных, схематически $P(A)\mathrm {d} A=P^{(\eta )}(\eta (A))\det(\mathrm {d} \eta /\mathrm {d} A)\mathrm {d} A$.Функциональный определитель и связанные с ним математические тонкости отпадают, если уравнение Ланжевена дискретизируется естественным (каузальным) способом, где $A(t+\Delta t)-A(t)$ зависит от $A(t)$ но не на $A(t+\Delta t)$. Оказывается удобным ввести вспомогательные переменные отклика ${\tilde {A}}$. Тогда интеграл по путям, эквивалентный общему уравнению Ланжевена, будет иметь вид

$$\int P(A,{\tilde {A}})\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} {\tilde {A}}=N\int \exp \left(L(A,{\tilde {A}})\right)\mathrm {d} A\,\mathrm {d} {\tilde {A}},$$

где $N$ является коэффициентом нормализации и

$$L(A,{\tilde {A}})=\int \sum _{i,j}\left\{{\tilde {A}}_{i}\lambda _{i,j}{\tilde {A}}_{j}-{\widetilde {A}}_{i}\left\{\delta _{i,j}{\frac {\mathrm {d} A_{j}}{\mathrm {d} t}}-k_{\text{B}}T\left[A_{i},A_{j}\right]{\frac {\mathrm {d} {\mathcal {H}}}{\mathrm {d} A_{j}}}+\lambda _{i,j}{\frac {\mathrm {d} {\mathcal {H}}}{\mathrm {d} A_{j}}}-{\frac {\mathrm {d} \lambda _{i,j}}{\mathrm {d} A_{j}}}\right\}\right\}\mathrm {d} t.$$

Формулировка интеграла по траекториям позволяет использовать инструменты квантовой теории поля , такие как методы группы возмущений и перенормировки. Эту формулировку обычно называют формализмом Мартина-Сиджиа-Роуза. или Янссен-Де Доминичис формализм вслед за его разработчиками. Математический формализм этого представления может быть развит на абстрактном пространстве Винера .

См. также

• Теория Грота – Хайнса
• Динамика Ланжевена
• Стохастическая термодинамика

Дальнейшее чтение

• У. Т. Коффи ( Тринити-колледж, Дублин , Ирландия) и Ю. П. Калмыков ( Университет Перпиньяна , Франция ), Уравнение Ланжевена: с применением к стохастическим задачам физики, химии и электротехники (третье издание), Всемирная научная серия по современной химической физике - Том 27.
• Рейф, Ф. Основы статистической и теплофизики , McGraw Hill, Нью-Йорк, 1965. См. раздел 15.5. Уравнение Ланжевена.
• Р. Фридрих, Й. Пейнке и Ч. Реннер. Как количественно оценить детерминированные и случайные влияния на статистику валютного рынка , Физ. Преподобный Летт. 84, 5224 - 5227 (2000)
• LCG Роджерс и Д. Уильямс. Диффузии, марковские процессы и мартингалы , Кембриджская математическая библиотека, издательство Кембриджского университета, Кембридж, переиздание 2-го (1994 г.) издания, 2000 г.