Уравнение Клейна – Крамерса

В физике и математике Клейна – Крамерса уравнение или иногда называемое Крамерса – Чандрасекара . уравнением является уравнением в частных производных , которое описывает функцию плотности вероятности f ( r , p , t ) броуновской частицы в фазовом пространстве ( r , p ) . Это частный случай уравнения Фоккера–Планка .

В одном пространственном измерении f является функцией трех независимых переменных: скаляров x , p и t . В этом случае уравнение Клейна – Крамерса имеет вид $${\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {p}{m}}{\frac {\partial f}{\partial x}}=\xi {\frac {\partial }{\partial p}}\left(p\,f\right)+{\frac {\partial }{\partial p}}\left({\frac {dV}{dx}}\,f\right)+m\xi k_{\mathrm {B} }T\,{\frac {\partial ^{2}f}{\partial p^{2}}}$$ где V ( x ) — внешний потенциал, m — масса частицы, ξ — коэффициент трения (сопротивления), T — температура, а k _B — постоянная Больцмана . В пространственных измерениях d уравнение имеет вид $${\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{m}}\mathbf {p} \cdot \nabla _{\mathbf {r} }f=\xi \nabla _{\mathbf {p} }\cdot \left(\mathbf {p} \,f\right)+\nabla _{\mathbf {p} }\cdot \left(\nabla V(\mathbf {r} )\,f\right)+m\xi k_{\mathrm {B} }T\,\nabla _{\mathbf {p} }^{2}f$$ Здесь $\nabla _{\mathbf {r} }$ и $\nabla _{\mathbf {p} }$ являются оператором градиента по отношению к r и p , и $\nabla _{\mathbf {p} }^{2}$ является лапласианом относительно p .

Дробное уравнение Клейна-Крамерса представляет собой обобщение, которое включает аномальную диффузию посредством дробного исчисления .

Физическая основа

Физическая модель, лежащая в основе уравнения Клейна – Крамерса, представляет собой модель недодемпфированной броуновской частицы. В отличие от стандартного броуновского движения, которое является перезатухающим, броуновское движение с недостаточным затуханием считает трение конечным, и в этом случае импульс остается независимой степенью свободы.

Математически состояние частицы описывается ее положением r и импульсом p , которые изменяются во времени согласно уравнениям Ланжевена. $${\begin{aligned}{\dot {\mathbf {r} }}&={\frac {\mathbf {p} }{m}}\\{\dot {\mathbf {p} }}&=-\xi \,\mathbf {p} -\nabla V(\mathbf {r} )+{\sqrt {2m\xi k_{\mathrm {B} }T}}{\boldsymbol {\eta }}(t),\qquad \langle {\boldsymbol {\eta }}^{\mathrm {T} }(t){\boldsymbol {\eta }}(t')\rangle =\mathbf {I} \delta (t-t')\end{aligned}}$$ Здесь ${\boldsymbol {\eta }}(t)$ d - гауссов белый шум , который моделирует тепловые флуктуации p мерный в фоновой среде с T. температурой Эти уравнения аналогичны второму закону движения Ньютона , но из-за шумового члена ${\boldsymbol {\eta }}(t)$ являются стохастическими («случайными»), а не детерминированными.

Динамику также можно описать с помощью функции плотности вероятности f ( r , p , t ) , которая дает вероятность в момент времени t найти частицу в положении r и с импульсом p . Усредняя стохастические траектории из уравнений Ланжевена, можно показать, что f ( r , p , t ) подчиняется уравнению Клейна – Крамерса.

Решение в свободном пространстве

d -мерная задача о свободном пространстве устанавливает силу, равную нулю, и рассматривает решения на $\mathbb {R} ^{\mathrm {d} }$ которые распадаются до 0 на бесконечности, т. е. f ( r , p , t ) → 0 при | р | → ∞ .

Для одномерной задачи свободного пространства с начальными условиями точечного источника f ( x , p , 0) = δ ( x - x ' ) δ ( p - p ' ) решение, которое является двумерным гауссовским по x и p, было решено Субраманьяном Чандрасекаром (который также разработал общую методологию решения задач при наличии потенциала) в 1943 году: $${\begin{aligned}f(x,p,t)={\frac {1}{2\pi \sigma _{X}\sigma _{P}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}\exp \left(-{\frac {1}{2(1-\beta ^{2})}}\left[{\frac {(x-\mu _{X})^{2}}{\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {(p-\mu _{P})^{2}}{\sigma _{P}^{2}}}-{\frac {2\beta (x-\mu _{X})(p-\mu _{P})}{\sigma _{X}\sigma _{P}}}\right]\right),\end{aligned}}$$ где $${\begin{aligned}&\sigma _{X}^{2}={\frac {k_{\mathrm {B} }T}{m\xi ^{2}}}\left[1+2\xi t-\left(2-e^{-\xi t}\right)^{2}\right];\qquad \sigma _{P}^{2}=mk_{\mathrm {B} }T\left(1-e^{-2\xi t}\right)\\[1ex]&\beta ={\frac {k_{\text{B}}T}{\xi \sigma _{X}\sigma _{P}}}\left(1-e^{-\xi t}\right)^{2}\\[1ex]&\mu _{X}=x'+(m\xi )^{-1}\left(1-e^{-\xi t}\right)p';\qquad \mu _{P}=p'e^{-\xi t}.\end{aligned}}$$ Это специальное решение также известно как функция Грина G ( x , x ' , p , p ' , t) и может использоваться для построения общего решения, т. е. решения для общих начальных условий f ( x , p , 0 ) : $$f(x,p,t)=\iint G(x,x',p,p',t)f(x',p',0)\,dx'dp'$$ Аналогично, трехмерная задача свободного пространства с начальным условием точечного источника f ( r , p , 0) = δ ( r - r ' ) δ ( p - p ' ) имеет решение $${\begin{aligned}f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)={\frac {1}{\left(2\pi \sigma _{X}\sigma _{P}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}\right)^{3}}}\exp \left[-{\frac {1}{2(1-\beta ^{2})}}\left({\frac {|\mathbf {r} -{\boldsymbol {\mu }}_{X}|^{2}}{\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {|\mathbf {p} -{\boldsymbol {\mu }}_{P}|^{2}}{\sigma _{P}^{2}}}-{\frac {2\beta (\mathbf {r} -{\boldsymbol {\mu }}_{X})\cdot (\mathbf {p} -{\boldsymbol {\mu }}_{P})}{\sigma _{X}\sigma _{P}}}\right)\right]\end{aligned}}$$ с ${\boldsymbol {\mu }}_{X}=\mathbf {r'} +(m\xi )^{-1}(1-e^{-\xi t})\mathbf {p'}$, ${\boldsymbol {\mu }}_{P}=\mathbf {p'} e^{-\xi t}$, и $\sigma _{X}$ и $\sigma _{P}$ определяется как в 1D решении.

Асимптотическое поведение

При определенных условиях решение уравнения Клейна – Крамерса в свободном пространстве ведет себя асимптотически как диффузионный процесс . Например, если $$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,p,0)\,dp\,dx<\infty$$ тогда плотность ${\textstyle \Phi (x,t)\equiv \int _{-\infty }^{\infty }f(x,p,t)\,dp}$ удовлетворяет $${\frac {\Phi (x,t)-\Phi _{D}(x,t)}{\Phi _{D}(x,t)}}={\mathcal {O}}\left({\frac {1}{t}}\right)\quad {\text{as }}t\rightarrow \infty$$ где $\Phi _{D}(x,t)=({\sqrt {2\pi t}}\sigma _{X}^{2})^{-1/2}\exp \left[-x^{2}/(2\sigma _{X}^{2}t)\right]$ — функция Грина в свободном пространстве для уравнения диффузии .

Решение вблизи границ

Одномерная, независимая от времени, бессиловая ( F = 0 ) версия уравнения Клейна – Крамерса может быть решена в полубесконечной или ограниченной области путем разделения переменных . Решение обычно создает пограничный слой, который быстро меняется в пространстве и не является аналитическим на самой границе.

Корректно поставленная задача предписывает граничные данные только для половины области p : положительная половина ( p > 0 ) на левой границе и отрицательная половина ( p < 0 ) справа. Для полубесконечной задачи, определенной на 0 < x < ∞ , граничные условия могут быть заданы как: $${\begin{aligned}&f(0,p)=\left\{{\begin{array}{cc}g(p)&p>0\\{\text{unspecified}}&p<0\end{array}}\right.\\&f(x,p)\rightarrow 0{\text{ as }}x\rightarrow \infty \end{aligned}}$$ для некоторой функции g ( p ) .

Для граничного условия точечного источника решение имеет точное выражение в терминах бесконечной суммы и произведений: Здесь результат сформулирован для безразмерной версии уравнения Клейна – Крамерса: $$w{\frac {\partial f(z,w)}{\partial z}}={\frac {\partial }{\partial w}}\left[wf(z,w)\right]+{\frac {\partial ^{2}f(z,w)}{\partial w^{2}}}$$ В этом представлении длина и время измеряются в единицах ${\textstyle \ell ={\sqrt {k_{B}T/(m\xi ^{2})}}}$ и $\tau =\xi ^{-1}$, такой, что $z\equiv x/\ell$ и $w\equiv p/(m\ell \xi )$ оба безразмерны. граничное условие при z = 0 равно g ( w ) = δ ( w - w0 _Если ) , где w0 _> 0 , то решение есть $$f(x,w)={\frac {w_{0}e^{-w^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\left[w_{0}-\zeta \left({\frac {1}{2}}\right)-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {G_{-n}(w_{0})}{2nQ_{n}}}+\sum _{n=1}^{\infty }S_{n}(w_{0})G_{n}(w)e^{-{\sqrt {n}}z}\right]$$ где $${\begin{aligned}G_{\pm n}(w)&=(-1)^{n}2^{-n/2}e^{-n}(n!)^{-1/2}e^{\pm {\sqrt {n}}w}H_{n}\left({\frac {w}{\sqrt {2}}}\mp {\sqrt {2n}}\right),\qquad n=1,2,3,\ldots \\[1ex]S_{n}(w_{0})&={\frac {G_{n}(w_{0})}{2{\sqrt {2}}}}-{\frac {1}{2nQ_{n}}}-\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {G_{-m}(w_{0})}{4\left(m{\sqrt {n}}+{\sqrt {m}}n\right)Q_{m}Q_{n}}}\\[2ex]Q_{n}&=\lim _{N\to \infty }{\sqrt {n!(N-1)!}}\;e^{2{\sqrt {Nn}}}\left[\prod _{r=0}^{N+n-1}\left({\sqrt {r}}+{\sqrt {n}}\right)\right]^{-1}\end{aligned}}$$ Этот результат можно получить методом Винера–Хопфа . Однако практическое использование выражения ограничено медленной сходимостью ряда, особенно для значений w, близких к 0.

См. также

• Уравнение Фоккера – Планка
• Процесс Орнштейна – Уленбека
• Винеровский процесс
• Теория линейного транспорта
• Нейтронный транспорт