because all the positive terms for are added. Therefore, dividing this inequality by and taking the limit from above,
We now prove the formula for the nth derivative of f by mathematical induction. Using the chain rule, the reciprocal rule, and the fact that the derivative of the exponential function is again the exponential function, we see that the formula is correct for the first derivative of f for all x > 0 and that p1(x) is a polynomial of degree 0. Of course, the derivative of f is zero for x < 0.
It remains to show that the right-hand side derivative of f at x = 0 is zero. Using the above limit, we see that
The induction step from n to n + 1 is similar. For x > 0 we get for the derivative
where pn+1(x) is a polynomial of degree n = (n + 1) − 1. Of course, the (n + 1)st derivative of f is zero for x < 0. For the right-hand side derivative of f (n) at x = 0 we obtain with the above limit
Как было замечено ранее, функция f является гладкой, и все ее производные в начале координат равны 0. Следовательно, ряд Тейлора функции f в начале координат всюду сходится к нулевой функции ,
и поэтому ряд Тейлора не равен f ( x ) при x > 0. Следовательно, f не является аналитическим в начале координат.
имеет строго положительный знаменатель всюду на вещественной прямой, следовательно, g также гладкая. Кроме того, g ( x ) = 0 для x ≤ 0 и g ( x ) = 1 для x ≥ 1, следовательно, он обеспечивает плавный переход с уровня 0 на уровень 1 в единичном интервале [0, 1]. Чтобы иметь плавный переход в вещественном интервале [ a , b ] с a < b , рассмотрим функцию
Для действительных чисел a < b < c < d гладкая функция
равен 1 на замкнутом интервале [ b , c ] и исчезает вне открытого интервала ( a , d ), следовательно, он может служить функцией рельефа .
Гладкая функция, которая нигде не является настоящей аналитической [ править ]
Аппроксимация упомянутой здесь гладкой везде, но нигде аналитической функции. Эта частичная сумма берется из k=2 0 до 2 500 .
Более патологический пример — бесконечно дифференцируемая функция, не являющаяся аналитической ни в какой точке . Его можно построить с помощью ряда Фурье следующим образом. Определить для всех
Начиная с сериала сходится для всех , эта функция, как легко видеть, принадлежит классу C ∞ , с помощью стандартного индуктивного применения М-теста Вейерштрасса для демонстрации равномерной сходимости каждого ряда производных.
Сейчас мы покажем, что не является аналитическим ни при каком двоично-рациональном кратном π, т. е. при любом с и . Поскольку сумма первых термин аналитичен, нам нужно только рассмотреть , сумма членов с . Для всех порядков вывода с , и у нас есть
где мы использовали тот факт, что для всех , а первую сумму мы ограничили снизу членом с . Как следствие, при любом таком
так что сходимости Тейлора ряда радиус в равен 0 по формуле Коши-Адамара . Поскольку множество аналитичности функции является открытым множеством и поскольку двоично-рациональные числа плотны , заключаем, что , и поэтому , нигде не является аналитическим в .
Для каждой последовательности α 0 , α 1 , α 2 , . . . действительных или комплексных чисел следующая конструкция показывает существование гладкой функции F на действительной прямой, которая имеет эти числа как производные в начале координат. [1] В частности, каждая последовательность чисел может выступать в качестве коэффициентов ряда Тейлора гладкой функции. Этот результат известен как лемма Бореля в честь Эмиля Бореля .
Используя функцию плавного перехода g, как указано выше, определите
Эта функция h также является гладкой; он равен 1 на отрезке [−1,1] и обращается в нуль вне отрезка (−2,2). Используя h , определите для каждого натурального числа n (включая ноль) гладкую функцию
что совпадает с мономом x н на [−1,1] и обращается в нуль вне интервала (−2,2). Следовательно, k -я производная ψ n в начале координат удовлетворяет условию
Эта патология не может возникнуть при дифференцируемых функциях комплексной переменной, а не действительной переменной. Действительно, все голоморфные функции аналитичны , так что неспособность функции f , определенной в этой статье, быть аналитической, несмотря на ее бесконечно дифференцируемую, является указанием на одно из самых драматических различий между анализом с действительными переменными и анализом с комплексными переменными.
имеет существенную особенность в начале координат и, следовательно, не является даже непрерывным и тем более аналитическим. По великой теореме Пикара оно достигает каждого комплексного значения (за исключением нуля) бесконечное число раз в каждой окрестности начала координат.
^ См., например, главу V, раздел 2, теорему 2.8 и следствие 2.9 о дифференцируемости пределов последовательностей функций из Аманн, Герберт; Эшер, Иоахим (2005), Анализ I , Базель: Birkhäuser Verlag , стр. 373–374, ISBN 3-7643-7153-6
Arc.Ask3.Ru Номер скриншота №: 5BAF352DEEFBCF51A1518F82F7986E6E__1699434540 URL1:https://en.wikipedia.org/wiki/Non-analytic_smooth_function Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1: Non-analytic smooth function - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть, любые претензии не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, денежную единицу можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)