Взаимное правило

В исчислении дает правило взаимности производную обратной функции f через производную f . Правило взаимности можно использовать, чтобы показать, что правило степени справедливо для отрицательных показателей, если оно уже установлено для положительных показателей. Кроме того, можно легко вывести правило фактора из правила взаимности и правила произведения .

Правило взаимности гласит, что если f дифференцируемо x в точке x и f ( x то g ( ) ≠ 0 , ) = 1/ f ( x ) также дифференцируемо в точке x и

$g'(x)=-{\frac {f'(x)}{f(x)^{2}}}.$

Доказательство

Это доказательство основано на предположении, что $f$ дифференцируема в $x,$ и по теореме, что $f$ тогда оно также обязательно непрерывно там. Применяя определение производной $g$ в $x$ с $f(x)\neq 0$ дает ${\begin{aligned}g'(x)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{f(x)}}\right)&=\lim _{h\to 0}\left({\frac {{\frac {1}{f(x+h)}}-{\frac {1}{f(x)}}}{h}}\right)\\&=\lim _{h\to 0}\left({\frac {f(x)-f(x+h)}{h\cdot f(x)f(x+h)}}\right)\\&=\lim _{h\to 0}\left(-{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\cdot {\frac {1}{f(x)f(x+h)}}\right).\end{aligned}}$ Предел этого произведения существует и равен произведению существующих пределов его коэффициентов: $\left(\lim _{h\to 0}-{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right)\cdot \left(\lim _{h\to 0}{\frac {1}{f(x)\cdot f(x+h)}}\right).$ Из-за дифференцируемости $f$ в $x$ первый предел равен $-f'(x),$ и из-за $f(x)\neq 0$ и непрерывность $f$ в $x$ второй предел равен $1/f(x)^{2},$ таким образом давая $g'(x)=-f'(x)\cdot {\frac {1}{f(x)^{2}}}=-{\frac {f'(x)}{f(x)^{2}}}.$

Слабое правило взаимности, которое алгебраически следует из правила произведения.

Можно утверждать, что, поскольку

$f(x)\cdot {\frac {1}{f(x)}}=1,$

применение правила продукта говорит, что

$f'(x)\left({\frac {1}{f}}\right)(x)+f(x)\left({\frac {1}{f}}\right)'(x)=0,$

и это можно алгебраически переставить, чтобы сказать

$\left({\frac {1}{f}}\right)'(x)={\frac {-f'(x)}{f(x)^{2}}}.$

Однако это не доказывает, что 1/ f дифференцируема в точке x ; это справедливо только тогда, когда дифференцируемость 1/ f в точке x уже установлена. В этом смысле это более слабый результат, чем доказанное выше правило взаимности. Однако в контексте дифференциальной алгебры , в которой нет ничего недифференцируемого и в которой производные не определяются пределами, именно таким образом устанавливаются правило взаимности и более общее правило фактора.

Приложение к обобщению степенного правила

Часто правило власти, утверждающее, что ${\tfrac {d}{dx}}(x^{n})=nx^{n-1}$ , доказывается методами, которые действительны только тогда, когда n является неотрицательным целым числом. Это можно распространить на отрицательные целые числа n, полагая $n=-m$ , где m — целое положительное число.

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}x^{n}&={\frac {d}{dx}}\,\left({\frac {1}{x^{m}}}\right)\\&=-{\frac {{\frac {d}{dx}}x^{m}}{(x^{m})^{2}}},{\text{ by the reciprocal rule}}\\&=-{\frac {mx^{m-1}}{x^{2m}}},{\text{ by the power rule applied to the positive integer }}m,\\&=-mx^{-m-1}=nx^{n-1},{\text{ by substituting back }}n=-m.\end{aligned}}$

Применение к доказательству правила фактора

Правило взаимности является частным случаем правила фактора, которое гласит, что если f и g дифференцируемы в точке x и g ( x ) ≠ 0, то

${\frac {d}{dx}}\,\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]={\frac {g(x)f\,'(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}}.$

Правило частного можно доказать, написав

${\frac {f(x)}{g(x)}}=f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}$

а затем сначала применить правило произведения, а затем применить правило взаимности ко второму фактору.

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]&={\frac {d}{dx}}\left[f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}\right]\\&=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot {\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{g(x)}}\right]\\&=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot \left[{\frac {-g'(x)}{g(x)^{2}}}\right]\\&={\frac {f'(x)}{g(x)}}-{\frac {f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}}\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}}.\end{aligned}}$

Приложение к дифференцированию тригонометрических функций

Используя правило взаимности, можно найти производную секущей и косекансной функций.

Для секущей функции:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sec x&={\frac {d}{dx}}\,\left({\frac {1}{\cos x}}\right)={\frac {-{\frac {d}{dx}}\cos x}{\cos ^{2}x}}={\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos x}}\cdot {\frac {\sin x}{\cos x}}=\sec x\tan x.\end{aligned}}$

Косеканс рассматривается аналогично:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\csc x&={\frac {d}{dx}}\,\left({\frac {1}{\sin x}}\right)={\frac {-{\frac {d}{dx}}\sin x}{\sin ^{2}x}}=-{\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}=-{\frac {1}{\sin x}}\cdot {\frac {\cos x}{\sin x}}=-\csc x\cot x.\end{aligned}}$

См. также

Правило цепочки - для производных составных функций.
Коэффициент разницы - выражение в исчислении
Дифференцирование интегралов — Задача по математике
Правила дифференцирования - Правила вычисления производных функций.
Общее правило Лейбница - Обобщение правила произведения в исчислении.
Интегрирование по частям - Математический метод в исчислении
Обратные функции и дифференциация — страницы идентификации исчисления,
Линейность дифференцирования – свойство исчисления
Правило продукта – формула производной продукта
Правило частного – формула для производной отношения функций.
Таблица производных — правила вычисления производных функций.
Тождества векторного исчисления - Математические тождества

Ссылки