Интеграция дисков

Дисковое интегрирование , также известное в интегральном исчислении как дисковый метод , представляет собой метод расчета объема тела вращения твердотельного материала при интегрировании вдоль оси, «параллельной» оси вращения . Этот метод моделирует полученную трехмерную форму как стопку из бесконечного числа дисков разного радиуса и бесконечно малой толщины. Также можно использовать те же принципы с кольцами вместо дисков (« метод шайбы ») для получения полых тел вращения. В этом отличие от интеграции оболочки , которая интегрируется вдоль оси, перпендикулярной оси вращения.

Определение

Функция x

Если вращаемая функция является функцией x , следующий интеграл представляет объем тела вращения:

$\pi \int _{a}^{b}R(x)^{2}\,dx$

где R ( x ) — расстояние между функцией и осью вращения. Это работает, только если ось вращения горизонтальна (пример: y = 3 или какая-то другая константа).

Функция y

Если вращаемая функция является функцией y , следующий интеграл даст объем тела вращения:

$\pi \int _{c}^{d}R(y)^{2}\,dy$

где R ( y ) — расстояние между функцией и осью вращения. Это работает, только если ось вращения вертикальна (пример: x = 4 или какая-то другая константа).

Метод шайбы

Чтобы получить полое тело вращения («метод шайбы»), необходимо взять объем внутреннего тела вращения и вычесть его из объема внешнего тела вращения. Это можно вычислить с помощью одного интеграла, аналогичного следующему:

$\pi \int _{a}^{b}\left(R_{\mathrm {O} }(x)^{2}-R_{\mathrm {I} }(x)^{2}\right)\,dx$

где R _O ( x ) — функция, которая находится дальше всего от оси вращения, а R _I ( x ) — функция, которая находится ближе всего к оси вращения. Например, на следующем рисунке показано вращение по оси X красного «листа», заключенного между корневой и квадратичной кривыми:

Вращение вокруг оси X

Объем этого твердого тела:

$\pi \int _{0}^{1}\left(\left({\sqrt {x}}\right)^{2}-\left(x^{2}\right)^{2}\right)\,dx\,.$

Следует проявлять осторожность, оценивая не квадрат разности двух функций, а оценивая разность квадратов двух функций.

$R_{\mathrm {O} }(x)^{2}-R_{\mathrm {I} }(x)^{2}\neq \left(R_{\mathrm {O} }(x)-R_{\mathrm {I} }(x)\right)^{2}$

(Эта формула работает только для вращений вокруг оси X. )

Чтобы повернуть вокруг любой горизонтальной оси, просто вычтите эту ось из каждой формулы. Если h — значение горизонтальной оси, то объём равен

$\pi \int _{a}^{b}\left(\left(h-R_{\mathrm {O} }(x)\right)^{2}-\left(h-R_{\mathrm {I} }(x)\right)^{2}\right)\,dx\,.$

Например, чтобы повернуть область между y = −2 x + x ² и y = x вдоль оси y = 4 , можно было бы интегрировать следующим образом:

$\pi \int _{0}^{3}\left(\left(4-\left(-2x+x^{2}\right)\right)^{2}-(4-x)^{2}\right)\,dx\,.$

Границы интегрирования — это нули первого уравнения минус второе. Обратите внимание, что при интегрировании по оси, отличной от x , график функции, наиболее удаленной от оси вращения, может быть не таким очевидным. В предыдущем примере, даже несмотря на то, что график y = x находится относительно оси x выше, чем график y = −2 x + x ² , по отношению к оси вращения функция y = x является внутренней функцией: ее график ближе к y = 4 или уравнению оси вращения в примере.

Эту же идею можно применить как к оси Y , так и к любой другой вертикальной оси. Просто необходимо решить каждое уравнение относительно x, прежде чем подставлять его в формулу интегрирования.

См. также

• Тело революции
• Интеграция с оболочкой

Ссылки

• «Объемы тел революции» . CliffsNotes.com . Проверено 8 июля 2014 г.
• Вайсштейн, Эрик В. «Метод дисков» . Математический мир .
• Фрэнк Эйрес , Эллиот Мендельсон . Очерки Шаума : Исчисление . МакГроу-Хилл Профессионал 2008, ISBN   978-0-07-150861-2 . стр. 244–248 ( онлайн-копия , стр. 244, в Google Книгах . Проверено 12 июля 2013 г.)