Дифференциал (математика)

Эта статья о математическом понятии, вытекающем из исторической концепции бесконечно малой разницы. Чтобы узнать о других значениях, см. Дифференциал (значения) .

В математике . дифференциал относится к нескольким связанным понятиям выведенные из первых дней исчисления , поставленные на строгую основу, такие как бесконечно малые разности и производные функций.

Этот термин используется в различных областях математики, таких как исчисление , дифференциальная геометрия , алгебраическая геометрия и алгебраическая топология .

Введение

Термин «дифференциал» нестрого используется в исчислении для обозначения бесконечно малого («бесконечно малого») изменения некоторой изменяющейся величины . Например, если x — переменная , то изменение значения x часто обозначается Δ x (произносится как « дельта x» ). Дифференциал dx представляет собой бесконечно малое изменение переменной x . Идея бесконечно малых или бесконечно медленных изменений интуитивно чрезвычайно полезна, и существует множество способов сделать это понятие математически точным.

Используя исчисление, можно математически связать бесконечно малые изменения различных переменных друг с другом с помощью производных . Если y является функцией x , то дифференциал dy от y связан с dx формулой

$$dy={\frac {dy}{dx}}\,dx,$$

где ${\frac {dy}{dx}}\,$обозначает производную y ​ по x . Эта формула суммирует интуитивную идею о том, что производная y по x является пределом отношения разностей Δ y /Δ x , когда Δ x становится бесконечно малым.

Основные понятия

• В исчислении дифференциал собой изменение линеаризации функции представляет .
  • Полный дифференциал является его обобщением для функций многих переменных.
• В традиционных подходах к исчислению дифференциалы (например, dx , dy , dt и т. д.) интерпретируются как бесконечно малые . Существует несколько методов строгого определения бесконечно малых чисел, но достаточно сказать, что бесконечно малое число по абсолютной величине меньше любого положительного действительного числа, точно так же, как бесконечно большое число больше любого действительного числа.
• Дифференциал — другое название матрицы Якоби частных производных функции из R. ^н в Р ^м (особенно если эту матрицу рассматривать как линейную карту ).
• В более общем смысле, дифференциал или прямое продвижение относится к производной отображения между гладкими многообразиями и операциями прямого продвижения, которые оно определяет. Дифференциал также используется для определения двойственной концепции отката .
• Стохастическое исчисление дает понятие стохастического дифференциала и связанного с ним исчисления случайных процессов .
• Интегратор в интеграле Стилтьеса представляется как дифференциал функции. Формально дифференциал, стоящий под интегралом, ведет себя точно так же, как дифференциал: таким образом, формулы интегрирования путем замены и интегрирования по частям для интеграла Стилтьеса соответствуют соответственно цепному правилу и правилу произведения для дифференциала.

История и использование

Смотрите также: История исчисления

Бесконечно малые величины сыграли значительную роль в развитии исчисления. Архимед использовал их, хотя и не считал аргументы, касающиеся бесконечно малых, строгими. Исаак Ньютон называл их флюксиями . Однако именно Готфрид Лейбниц ввел термин «дифференциалы» для бесконечно малых величин и ввел для них обозначения, которые используются до сих пор.

В обозначениях Лейбница , если x — переменная величина, то dx обозначает бесконечно малое изменение переменной x . Таким образом, если y является функцией x , то производную y x по ẏ часто обозначают dy / dx обозначалась бы (в обозначениях Ньютона или Лагранжа ) . или y ' , которая в противном случае Использование дифференциалов в такой форме вызвало много критики, например, в знаменитой брошюре «Аналитик» епископа Беркли . Тем не менее, это обозначение осталось популярным, поскольку оно убедительно наводит на мысль о том, что производная y в точке x представляет собой его мгновенную скорость изменения ( наклон графика касательной линии ), которую можно получить, взяв предел отношения Δ y / Δ x, поскольку Δ x становится сколь угодно малым. Дифференциалы также совместимы с анализом размерностей , где дифференциал, такой как dx, имеет те же размерности, что и переменная x .

Исчисление превратилось в отдельную ветвь математики в 17 веке нашей эры, хотя его предшественники уходили еще в древность. Доклады, например, Ньютона, Лейбница, отличались нестрогими определениями таких понятий, как дифференциал, беглый и «бесконечно малый». Хотя многие аргументы в « епископа Беркли 1734 года Аналитике» носят богословский характер, современные математики признают обоснованность его аргумента против « призраков ушедших величин »; однако современные подходы не имеют таких же технических проблем. Несмотря на отсутствие строгости, в 17 и 18 веках был достигнут огромный прогресс. В 19 веке Коши и другие постепенно разработали эпсилон, дельта- подход к непрерывности, пределам и производным, дав прочную концептуальную основу для исчисления.

В 20 веке несколько новых концепций, например, исчисления многих переменных, дифференциальной геометрии, казалось, отражали смысл старых терминов, особенно дифференциальных ; и дифференциальный, и бесконечно малый используются в новом, более строгом значении.

Дифференциалы используются также в обозначениях интегралов , поскольку интеграл можно рассматривать как бесконечную сумму бесконечно малых величин: площадь под графиком получается путем разделения графика на бесконечно тонкие полоски и суммирования их площадей. В таком выражении, как

$$\int f(x)\,dx,$$

знак интеграла (который представляет собой модифицированный длинный s ) обозначает бесконечную сумму, f ( x ) обозначает «высоту» тонкой полосы, а дифференциал dx обозначает ее бесконечно тонкую ширину.

Подходы

Существует несколько подходов к математической точности понятия дифференциалов.

1. Дифференциалы как линейные отображения . Этот подход лежит в основе определения производной и внешней производной в дифференциальной геометрии .
2. Дифференциалы как нильпотентные элементы коммутативных колец . Этот подход популярен в алгебраической геометрии.
3. Дифференциалы в гладких моделях теории множеств. Этот подход известен как синтетическая дифференциальная геометрия или гладкий бесконечно малый анализ и тесно связан с алгебро-геометрическим подходом, за исключением того, что идеи теории топоса используются для сокрытия механизмов, с помощью которых вводятся нильпотентные бесконечно малые.
4. Дифференциалы как бесконечно малые числа в гипердействительных системах счисления, которые являются расширениями действительных чисел и содержат обратимые бесконечно малые и бесконечно большие числа. Это подход нестандартного анализа, впервые предложенный Абрахамом Робинсоном .

Эти подходы сильно отличаются друг от друга, но их объединяет идея количественного подхода , т. е. утверждения не только о том, что дифференциал бесконечно мал, но и о том, насколько он мал.

Дифференциалы как линейные карты

Существует простой способ точного определения дифференциалов, впервые использованный на действительной линии, рассматривая их как линейные карты . Его можно использовать на $\mathbb {R}$, $\mathbb {R} ^{n}$, гильбертово пространство , банахово пространство или, в более общем смысле, топологическое векторное пространство . Случай с реальной линией объяснить проще всего. Этот тип дифференциала также известен как ковариантный вектор или вектор котангенса , в зависимости от контекста.

Дифференциалы как линейные отображения на R

Предполагать $f(x)$ является вещественной функцией на $\mathbb {R}$. Мы можем переосмыслить переменную $x$ в $f(x)$ как функция, а не число, а именно карта тождества на действительной линии, которая принимает действительное число $p$ себе: $x(p)=p$. Затем $f(x)$ представляет собой совокупность $f$ с $x$, значение которого в $p$ является $f(x(p))=f(p)$. Дифференциал $\operatorname {d} f$ (что, конечно, зависит от $f$) тогда является функцией, значение которой при $p$ (обычно обозначается $df_{p}$) — это не число, а линейная карта из $\mathbb {R}$ к $\mathbb {R}$. Поскольку линейное отображение из $\mathbb {R}$ к $\mathbb {R}$ дается $1\times 1$ матрица , по сути это то же самое, что и число, но изменение точки зрения позволяет нам думать о $df_{p}$ как бесконечно малую величину и сравнить ее со стандартной бесконечно малой величиной. $dx_{p}$, что опять же является просто картой идентичности из $\mathbb {R}$ к $\mathbb {R}$ (а $1\times 1$ матрица с записью $1$). Карта идентичности обладает тем свойством, что если $\varepsilon$ очень мал, то $dx_{p}(\varepsilon )$ очень мала, что позволяет считать ее бесконечно малой. Дифференциал $df_{p}$ обладает тем же свойством, поскольку оно просто кратно $dx_{p}$, и это кратное является производной $f'(p)$ по определению. Таким образом, мы получаем, что $df_{p}=f'(p)\,dx_{p}$, и, следовательно, $df=f'\,dx$. Таким образом, мы восстанавливаем идею о том, что $f'$ это отношение дифференциалов $df$ и $dx$.

Это было бы просто трюком, если бы не тот факт, что:

1. он отражает идею производной $f$ в $p$ как лучшее линейное приближение к $f$ в $p$;
2. у него много обобщений.

Дифференциалы как линейные отображения на R ^н

Если $f$ это функция от $\mathbb {R} ^{n}$ к $\mathbb {R}$, тогда мы говорим, что $f$ является дифференцируемым в $p\in \mathbb {R} ^{n}$ если существует линейная карта $df_{p}$ от $\mathbb {R} ^{n}$ к $\mathbb {R}$ такой, что для любого $\varepsilon >0$, есть район $N$ из $p$ такой, что для $x\in N$,

$$\left|f(x)-f(p)-df_{p}(x-p)\right|<\varepsilon \left|x-p\right|.$$

Теперь мы можем использовать тот же трюк, что и в одномерном случае, и подумать о выражении $f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ как совокупность $f$ со стандартными координатами $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ на $\mathbb {R} ^{n}$ (так что $x_{j}(p)$ это $j$-й компонент $p\in \mathbb {R} ^{n}$). Тогда дифференциалы $\left(dx_{1}\right)_{p},\left(dx_{2}\right)_{p},\ldots ,\left(dx_{n}\right)_{p}$ в какой-то момент $p$ составляют основу векторного пространства линейных отображений из $\mathbb {R} ^{n}$ к $\mathbb {R}$ и поэтому, если $f$ дифференцируема в $p$, мы можем написать $\operatorname {d} f_{p}$ как линейная комбинация этих базовых элементов:

$$df_{p}=\sum _{j=1}^{n}D_{j}f(p)\,(dx_{j})_{p}.$$

Коэффициенты $D_{j}f(p)$ являются (по определению) производными частными $f$ в $p$ относительно $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$. Следовательно, если $f$ дифференцируема на всех $\mathbb {R} ^{n}$, мы можем написать более кратко:

$$\operatorname {d} f={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\,dx_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}\,dx_{2}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\,dx_{n}.$$

В одномерном случае это становится

$$df={\frac {df}{dx}}dx$$

как раньше.

Эта идея непосредственно обобщается на функции из $\mathbb {R} ^{n}$ к $\mathbb {R} ^{m}$. Кроме того, оно имеет то решающее преимущество перед другими определениями производной, что оно инвариантно относительно изменений координат. Это означает, что ту же идею можно использовать для определения дифференциала гладких отображений между гладкими многообразиями .

Кроме того: обратите внимание, что существование всех частных производных $f(x)$ в $x$ является необходимым условием существования дифференциала при $x$. Однако это не является достаточным условием . Контрпримеры см. в разделе «Производная Гато» .

карты векторного

Та же процедура работает с векторным пространством с достаточной дополнительной структурой, чтобы обоснованно говорить о непрерывности. Наиболее конкретным случаем является гильбертово пространство, также известное как полное пространство внутреннего продукта , где внутренний продукт и связанная с ним норма определяют подходящее понятие расстояния. Та же процедура работает для банахова пространства, также известного как полное нормированное векторное пространство . Однако в более общем топологическом векторном пространстве некоторые детали более абстрактны, поскольку здесь нет понятия расстояния.

В важном случае конечной размерности любое пространство внутреннего произведения является гильбертовым пространством, любое нормированное векторное пространство является банаховым пространством, а любое топологическое векторное пространство является полным. В результате вы можете определить систему координат на произвольной основе и использовать тот же метод, что и для $\mathbb {R} ^{n}$.

Дифференциалы как зародыши функций

Этот подход работает на любом дифференцируемом многообразии . Если

1. U и V — открытые множества, содержащие p
2. $f\colon U\to \mathbb {R}$ является непрерывным
3. $g\colon V\to \mathbb {R}$ является непрерывным

тогда f эквивалентно g в точке p , обозначаемой $f\sim _{p}g$, тогда и только тогда, когдаесть открытый $W\subseteq U\cap V$ содержащий p такой, что $f(x)=g(x)$ каждого x в W. для Росток f в точке p , обозначаемый $[f]_{p}$, — множество всех действительных непрерывных функций, эквивалентных f в точке p ; если f гладкая в точке p , то $[f]_{p}$ представляет собой гладкий зародыш.Если

1. $U_{1}$, $U_{2}$ $V_{1}$ и $V_{2}$ являются открытыми множествами, содержащими p
2. $f_{1}\colon U_{1}\to \mathbb {R}$, $f_{2}\colon U_{2}\to \mathbb {R}$, $g_{1}\colon V_{1}\to \mathbb {R}$ и $g_{2}\colon V_{2}\to \mathbb {R}$ являются гладкими функциями
3. $f_{1}\sim _{p}g_{1}$
4. $f_{2}\sim _{p}g_{2}$
5. r - действительное число

затем

1. $r*f_{1}\sim _{p}r*g_{1}$
2. $f_{1}+f_{2}\colon U_{1}\cap U_{2}\to \mathbb {R} \sim _{p}g_{1}+g_{2}\colon V_{1}\cap V_{2}\to \mathbb {R}$
3. $f_{1}*f_{2}\colon U_{1}\cap U_{2}\to \mathbb {R} \sim _{p}g_{1}*g_{2}\colon V_{1}\cap V_{2}\to \mathbb {R}$

Это показывает, что ростки в точке p образуют алгебру .

Определять ${\mathcal {I}}_{p}$ быть множеством всех гладких ростков, исчезающих в точке p и ${\mathcal {I}}_{p}^{2}$ быть продуктом идеалов ​ ${\mathcal {I}}_{p}{\mathcal {I}}_{p}$. Тогда дифференциал в точке p (кокасательный вектор в точке p ) является элементом ${\mathcal {I}}_{p}/{\mathcal {I}}_{p}^{2}$. Дифференциал гладкой функции f в точке p , обозначаемый $\mathrm {d} f_{p}$, является $[f-f(p)]_{p}/{\mathcal {I}}_{p}^{2}$.

Аналогичный подход заключается в определении дифференциальной эквивалентности первого порядка через производные в произвольном участке координат.Тогда дифференциал f в точке p — это совокупность всех функций, дифференциально эквивалентных $f-f(p)$ в п .

Алгебраическая геометрия

В алгебраической геометрии дифференциалы и другие бесконечно малые понятия обрабатываются очень явно, признавая, что координатное кольцо или структурный пучок пространства могут содержать нильпотентные элементы . Простейший пример — кольцо двойственных чисел R [ ε ], где ε ² = 0.

Это может быть мотивировано алгебро-геометрической точкой зрения на производную функции f от R до R в точке p . Для этого сначала заметим, что f − f ( p ) принадлежит идеалу I p _{функций} на R, которые обращаются в нуль в точке p . Если производная f обращается в нуль в точке p , то f − f ( p ) принадлежит квадрату I _p ² этого идеала. Следовательно, производная f в точке p может быть учтена классом эквивалентности [ f − f ( p )] в фактор-пространстве I _p / I _p ² , а 1-струя f ( которая кодирует ее значение и ее первую производную) является классом эквивалентности f в пространстве всех функций по модулю I _p ² . Алгебраические геометры рассматривают этот класс эквивалентности как ограничение f I на утолщенную версию точки p , координатное кольцо которой не R (которое является фактор-пространством функций на R по модулю p ₎ , а R [ ε ], которое является фактор-пространством функции на R по модулю I _p ² . Такая утолщенная точка является простым примером схемы .

геометрии

Дифференциалы также важны в алгебраической геометрии , и здесь есть несколько важных понятий.

• Абелевы дифференциалы обычно означают дифференциальные одноформы на алгебраической кривой или римановой поверхности .
• Квадратичные дифференциалы (которые ведут себя как «квадраты» абелевых дифференциалов) также важны в теории римановых поверхностей.
• Дифференциалы Кэлера дают общее понятие дифференциала в алгебраической геометрии.

дифференциальная

Пятый подход к бесконечно малым — это метод синтетической дифференциальной геометрии. или гладкий бесконечно малый анализ . Это тесно связано с алгебро-геометрическим подходом, за исключением того, что бесконечно малые числа более неявны и интуитивно понятны. Основная идея этого подхода состоит в замене категории множеств другой категорией множеств плавно меняющихся — топосом . В этой категории можно определить действительные числа, гладкие функции и т. д., но действительные числа автоматически содержат нильпотентные бесконечно малые, поэтому их не нужно вводить вручную, как в алгебро-геометрическом подходе. Однако логика этой новой категории не идентична знакомой логике категории множеств: в частности, закон исключенного третьего не выполняется . Это означает, что теоретико-множественные математические аргументы распространяются на гладкий бесконечно малый анализ только в том случае, если они конструктивны (например, не используют доказательство от противного ). Некоторый Считайте этот недостаток положительным моментом, поскольку он заставляет находить конструктивные аргументы везде, где они доступны.

Нестандартный анализ

Последний подход к бесконечно малым снова предполагает расширение действительных чисел, но менее радикальным способом. В нестандартном подходе анализа нет нильпотентных бесконечно малых чисел, а есть только обратимые, которые можно рассматривать как обратные бесконечно большим числам. Такие расширения действительных чисел могут быть построены явно с использованием классов эквивалентности последовательностей действительных чисел , так что, например, последовательность (1, 1/2, 1/3,..., 1/ n ,...) представляет собой бесконечно малую величину. Логика первого порядка этого нового набора гипердействительных чисел такая же, как логика для обычных действительных чисел, но аксиома полноты (которая включает логику второго порядка ) не выполняется. Тем не менее, этого достаточно, чтобы разработать элементарный и вполне интуитивный подход к исчислению с использованием бесконечно малых, см. принцип переноса .

Дифференциальная геометрия

Понятие дифференциала мотивирует несколько концепций дифференциальной геометрии (и дифференциальной топологии ).

• Дифференциал (Pushforward) отображения между многообразиями.
• Дифференциальные формы обеспечивают основу, позволяющую умножать и дифференцировать дифференциалы.
• — Внешняя производная это понятие дифференцирования дифференциальных форм, которое обобщает дифференциал функции (которая является дифференциальной 1-формой ).
• Пулбэк — это, в частности, геометрическое название цепного правила для составления отображения между многообразиями с дифференциальной формой на целевом многообразии.
• Ковариантные производные или дифференциалы дают общее понятие дифференцирования векторных полей и тензорных полей на многообразии или, в более общем плане, секциях векторного расслоения : см. Соединение (векторное расслоение) . В конечном итоге это приводит к общей концепции соединения .

Другие значения

Термин «дифференциал» также был принят в гомологической алгебре и алгебраической топологии из-за роли, которую внешняя производная играет в когомологиях де Рама: в коцепном комплексе $(C_{\bullet },d_{\bullet }),$ отображения (или кограничные операторы ) d _i часто называют дифференциалами. Двойственно граничные операторы в цепном комплексе иногда называют кодифференциалами .

Свойства дифференциала также мотивируют алгебраические понятия дифференцирования и дифференциальной алгебры .

См. также

• Дифференциальное уравнение
• Дифференциальная форма
• Дифференциал функции

Ссылки

• Апостол, Том М. (1967), Исчисление (2-е изд.), Wiley, ISBN  978-0-471-00005-1 .
• Белл , Джон Л. (1998), Приглашение к сглаживанию бесконечно малого анализа (PDF) .
• Бойер, Карл Б. (1991), «Архимед Сиракузский», История математики (2-е изд.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN  978-0-471-54397-8 .
• Дарлинг, RWR (1994), Дифференциальные формы и связи , Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-46800-8 .
• Эйзенбуд, Дэвид ; Харрис, Джо (1998), Геометрия схем , Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-98637-1
• Кейслер, Х. Джером (1986), Элементарное исчисление: бесконечно малый подход (2-е изд.) .
• Кок, Андерс (2006), Синтетическая дифференциальная геометрия (PDF) (2-е изд.), Cambridge University Press .
• Ловер, Ф.В. (1968), Очерк синтетической дифференциальной геометрии (PDF) (опубликовано в 1998 г.) .
• Мурдейк, И .; Рейес, Гонсало Э. (1991), Модели для гладкого бесконечно малого анализа , Springer-Verlag, ISBN  978-1-441-93095-8 .
• Робинсон, Абрахам (1996), Нестандартный анализ , Princeton University Press , ISBN  978-0-691-04490-3 .
• Вайсштейн, Эрик В. «Дифференциалы» . Математический мир .