Нильпотентный

В математике элемент $x$ кольца $R$ называется нильпотентным , если существует некоторое целое положительное число $n$ , называемый индексом (или иногда степенью ) , такой, что $x^{n}=0$ .

Этот термин вместе со своим сестринским идемпотентом был введен Бенджамином Пирсом в контексте его работы по классификации алгебр. ^[1]

Примеры [ править ]

Это определение может быть применено, в частности, к квадратным матрицам . Матрица

A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}

нильпотентен, потому что

A^{3}=0

. см. нильпотентную матрицу . Подробнее

В факторном кольце $\mathbb {Z} /9\mathbb {Z}$ , класс эквивалентности 3 нильпотентен, поскольку 3 ² конгруэнтно модулю 0 по 9 .
Предположим, что два элемента $a$ и $b$ в ринге $R$ удовлетворить $ab=0$ . Тогда элемент $c=ba$ нильпотентен, поскольку ${\begin{aligned}c^{2}&=(ba)^{2}\\&=b(ab)a\\&=0.\\\end{aligned}}$ Пример с матрицами (для a , b ): $A={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}},\;\;B={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.$ Здесь $AB=0$ и $BA=B$ .

По определению любой элемент нильполугруппы нильпотентен .

Свойства [ править ]

Ни один нильпотентный элемент не может быть единицей (за исключением тривиального кольца , которое имеет только один элемент 0 = 1 ). Все нильпотентные элементы являются делителями нуля .

Ан $n\times n$ матрица $A$ с записями из поля нильпотентна тогда и только тогда, когда ее характеристический полином равен $t^{n}$ .

Если $x$ нильпотентен, то $1-x$ является единицей , потому что $x^{n}=0$ влечет за собой

(1-x)(1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1})=1-x^{n}=1.

В более общем смысле, сумма единичного элемента и нильпотентного элемента является единицей, когда они коммутируют.

Коммутативные кольца [ править ]

Нильпотентные элементы коммутативного кольца $R$ сформировать идеал ${\mathfrak {N}}$ ; это следствие биномиальной теоремы . Этот идеал является нильрадикалом кольца. Каждый нильпотентный элемент $x$ в коммутативном кольце содержится в каждом простом идеале ${\mathfrak {p}}$ этого кольца, поскольку $x^{n}=0\in {\mathfrak {p}}$ . Так ${\mathfrak {N}}$ содержится в пересечении всех простых идеалов.

Если $x$ не нильпотентна, мы можем локализовать по степеням $x$ : $S=\{1,x,x^{2},...\}$ чтобы получить ненулевое кольцо $S^{-1}R$ . Простые идеалы локализованного кольца в точности соответствуют тем простым идеалам ${\mathfrak {p}}$ из $R$ с ${\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset$ . ^[2] Поскольку каждое ненулевое коммутативное кольцо имеет максимальный идеал, который является простым, каждое ненильпотентное кольцо $x$ не содержится в каком-то простом идеале. Таким образом ${\mathfrak {N}}$ является в точности пересечением всех простых идеалов. ^[3]

характеристика, аналогичная характеристике радикала Джекобсона и аннигиляции простых модулей: нильпотентные элементы кольца Для нильрадикала доступна $R$ являются именно теми, которые аннулируют все области целостности, внутренние по отношению к кольцу. $R$ (то есть вида $R/I$ за главные идеалы $I$ ). Это следует из того, что нильрадикал является пересечением всех простых идеалов.

Нильпотентные элементы в алгебре Ли [ править ]

Позволять ${\mathfrak {g}}$ быть алгеброй Ли . Тогда элемент $x\in {\mathfrak {g}}$ называется нильпотентным, если он находится в $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ и $\operatorname {ad} x$ является нильпотентным преобразованием. См. также: Жорданово разложение в алгебре Ли .

Нильпотентность в физике [ править ]

Любой лестничный оператор в конечномерном пространстве нильпотентен. Они представляют собой операторы создания и уничтожения , которые переходят из одного состояния в другое, например, повышающие и понижающие матрицы Паули. $\sigma _{\pm }=(\sigma _{x}\pm i\sigma _{y})/2$ .

Операнд $Q$ это удовлетворяет $Q^{2}=0$ является нильпотентным. Числа Грассмана , которые позволяют представить фермионные поля в виде интегралов по траекториям, являются нильпотентными, поскольку их квадраты равны нулю. является Заряд БРСТ важным примером в физике .

Поскольку линейные операторы образуют ассоциативную алгебру и, следовательно, кольцо, это частный случай исходного определения. ^[4]^[5] В более общем смысле, ввиду приведенных выше определений, оператор $Q$ нильпотентен, если существует $n\in \mathbb {N}$ такой, что $Q^{n}=0$ ( нулевая функция ). Таким образом, линейное отображение нильпотентно тогда и только тогда, когда оно имеет нильпотентную матрицу в некотором базисе. Другим примером является внешняя производная (опять же с $n=2$ ). Оба связаны между собой, в том числе через суперсимметрию и теорию Морса . ^[6] как показано Эдвардом Виттеном в знаменитой статье. ^[7]

Электромагнитное поле плоской волны без источников нильпотентно, если его выразить в терминах алгебры физического пространства . ^[8] В более общем смысле, метод микроаддитивности (который можно использовать для вывода теорем в физике) использует нильпотентные или нильквадратные бесконечно малые числа и является частично гладким анализом бесконечно малых величин .

Алгебраические нильпотенты [ править ]

Двумерные двойственные числа содержат нильпотентное пространство. Другие алгебры и числа, содержащие нильпотентные пространства, включают расщепленные кватернионы (кокватернионы), разделенные октонионы , бикватернионы $\mathbb {C} \otimes \mathbb {H}$ и сложные октонионы $\mathbb {C} \otimes \mathbb {O}$ . Если нильпотентная бесконечно малая представляет собой переменную, стремящуюся к нулю, можно показать, что любая сумма членов, для которых она является предметом, представляет собой неопределенно малую долю члена первого порядка.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Полчино Милиес и Сегал (2002), Введение в групповые кольца . п. 127.
^ Мацумура, Хидеюки (1970). «Глава 1: Элементарные результаты». Коммутативная алгебра . В. А. Бенджамин. п. 6. ISBN 978-0-805-37025-6 .
^ Атья, МФ; Макдональд, И.Г. (21 февраля 1994 г.). «Глава 1: Кольца и идеалы». Введение в коммутативную алгебру . Вествью Пресс. п. 5. ISBN 978-0-201-40751-8 .
^ Пирс, Б. Линейная ассоциативная алгебра . 1870.
^ Польчино Мильес, Сезар; Сегал, Сударшан К. Введение в групповые кольца . Алгебры и приложения, Том 1. Springer, 2002. ISBN 978-1-4020-0238-0
^ А. Роджерс, Топологическая частица и теория Морса , Класс. Квантовая гравитация. 17:3703–3714, 2000 г. дои : 10.1088/0264-9381/17/18/309 .
^ Э. Виттен, Суперсимметрия и теория Морса . J.Diff.Geom.17:661–692, 1982.
^ Роулендс, П. От нуля до бесконечности: основы физики , Лондон, World Scientific 2007, ISBN 978-981-270-914-1

[1] Полчино Милиес и Сегал (2002), Введение в групповые кольца . п. 127.

[2] Мацумура, Хидеюки (1970). «Глава 1: Элементарные результаты». Коммутативная алгебра . В. А. Бенджамин. п. 6. ISBN 978-0-805-37025-6 .

[3] Атья, МФ; Макдональд, И.Г. (21 февраля 1994 г.). «Глава 1: Кольца и идеалы». Введение в коммутативную алгебру . Вествью Пресс. п. 5. ISBN 978-0-201-40751-8 .

[4] Пирс, Б. Линейная ассоциативная алгебра . 1870.

[5] Польчино Мильес, Сезар; Сегал, Сударшан К. Введение в групповые кольца . Алгебры и приложения, Том 1. Springer, 2002. ISBN 978-1-4020-0238-0

[6] А. Роджерс, Топологическая частица и теория Морса , Класс. Квантовая гравитация. 17:3703–3714, 2000 г. дои : 10.1088/0264-9381/17/18/309 .

[7] Э. Виттен, Суперсимметрия и теория Морса . J.Diff.Geom.17:661–692, 1982.

[8] Роулендс, П. От нуля до бесконечности: основы физики , Лондон, World Scientific 2007, ISBN 978-981-270-914-1

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]