Оператор лестницы

В линейной алгебре (и ее применении к квантовой механике ) оператор повышения или понижения (вместе известный как лестничные операторы ) — это оператор , который увеличивает или уменьшает собственное значение другого оператора. В квантовой механике оператор повышения иногда называют оператором создания , а оператор понижения — оператором уничтожения . Хорошо известные приложения лестничных операторов в квантовой механике находятся в формализмах квантового гармонического осциллятора и углового момента .

Терминология

Основная статья: Операторы создания и уничтожения

Существует связь между операторами подъема и опускания лестницы и операторами рождения и уничтожения, обычно используемыми в квантовой теории поля , которая лежит в теории представлений . Оператор создания a _i ^† увеличивает количество частиц в состоянии i , в то время как соответствующий оператор уничтожения a _i уменьшает количество частиц в состоянии i . Это явно удовлетворяет требованиям приведенного выше определения лестничного оператора: увеличение или уменьшение собственного значения другого оператора (в данном случае оператора числа частиц ).

Путаница возникает из-за того, что термин «лестничный оператор» обычно используется для описания оператора, который увеличивает или уменьшает квантовое число, описывающее состояние системы. Чтобы изменить состояние частицы с помощью операторов создания/уничтожения КТП, необходимо использовать операторы как уничтожения, так и создания. Оператор уничтожения используется для удаления частицы из начального состояния , а оператор создания используется для добавления частицы в конечное состояние.

Термин «лестничный оператор» или «операторы повышения и понижения» также иногда используется в математике, в контексте теории алгебр Ли и, в частности, аффинных алгебр Ли . Например, для описания su(2) подалгебр корневая система и модули старшего веса могут быть построены с помощью лестничных операторов. В частности, наибольший вес уничтожается операторами повышения; остальная часть пространства положительных корней получается путем многократного применения понижающих операторов (один набор лестничных операторов на каждую подалгебру).

Мотивация от математики

С точки зрения теории представлений линейное представление с полупростой группы Ли непрерывными действительными параметрами порождает набор генераторов для алгебры Ли . Сложная линейная комбинация этих операторов представляет собой лестничные операторы. Для каждого параметра существует набор лестничных операторов; Это стандартизированный способ навигации по одному измерению корневой системы и корневой решетки . Лестничные операторы квантового гармонического осциллятора или «числовое представление» вторичного квантования являются лишь частными случаями этого факта. Лестничные операторы затем становятся повсеместными в квантовой механике от оператора углового момента до когерентных состояний и дискретных операторов магнитного сдвига .

Общая формулировка

Предположим, что два оператора X и N имеют коммутационное соотношение $$[N,X]=cX$$для некоторого скаляра c . Если ${|n\rangle }$ является собственным состоянием N с уравнением собственных значений $$N|n\rangle =n|n\rangle ,$$то оператор X действует на $|n\rangle$ таким образом, чтобы сдвинуть собственное значение на c : $${\begin{aligned}NX|n\rangle &=(XN+[N,X])|n\rangle \\&=XN|n\rangle +[N,X]|n\rangle \\&=Xn|n\rangle +cX|n\rangle \\&=(n+c)X|n\rangle .\end{aligned}}$$

Другими словами, если $|n\rangle$ является собственным состоянием N с собственным значением n , тогда $X|n\rangle$ является собственным состоянием N с собственным значением n + c или равно нулю. Оператор X является повышающим оператором для N, если c вещественное и положительное, и понижающим оператором для N, если c вещественное и отрицательное.

Если N — эрмитов оператор , то c должен быть действительным, а эрмитово сопряженное к X подчиняется коммутационному соотношению $$[N,X^{\dagger }]=-cX^{\dagger }.$$

В частности, если X — понижающий оператор для N , то X ^† является повышающим оператором для N и наоборот.

Угловой момент

Основная статья: Оператор углового момента

Особое применение концепции лестничного оператора можно найти в квантовомеханической трактовке углового момента . Для общего вектора углового момента J с компонентами J _x , J _y и J _z определяются два лестничных оператора $${\begin{aligned}J_{+}&=J_{x}+iJ_{y},\\J_{-}&=J_{x}-iJ_{y},\end{aligned}}$$где я — мнимая единица .

Коммутационное соотношение между декартовыми компонентами любого оператора углового момента определяется выражением $$[J_{i},J_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}J_{k},$$где εijk _{может принимать любое} — символ Леви-Чивита , и каждый из i , j и k из значений x , y и z .

Отсюда коммутационные соотношения между лестничными операторами и J _z получаются : $${\begin{aligned}{}[J_{z},J_{\pm }]&=\pm \hbar J_{\pm },\\{}[J_{+},J_{-}]&=2\hbar J_{z}\end{aligned}}$$(технически это алгебра Ли ${{\mathfrak {s}}l}(2,\mathbb {R} )$).

Свойства лестничных операторов можно определить, наблюдая, как они изменяют действие оператора J _z на заданное состояние: $${\begin{aligned}J_{z}J_{\pm }|j\,m\rangle &={\big (}J_{\pm }J_{z}+[J_{z},J_{\pm }]{\big )}|j\,m\rangle \\&=(J_{\pm }J_{z}\pm \hbar J_{\pm })|j\,m\rangle \\&=\hbar (m\pm 1)J_{\pm }|j\,m\rangle .\end{aligned}}$$

Сравните этот результат с $$J_{z}|j\,(m\pm 1)\rangle =\hbar (m\pm 1)|j\,(m\pm 1)\rangle .$$

Таким образом, можно сделать вывод, что ${J_{\pm }|j\,m\rangle }$ это некоторый скаляр, умноженный на ${|j\,(m\pm 1)\rangle }$: $${\begin{aligned}J_{+}|j\,m\rangle &=\alpha |j\,(m+1)\rangle ,\\J_{-}|j\,m\rangle &=\beta |j\,(m-1)\rangle .\end{aligned}}$$

Это иллюстрирует определяющую особенность лестничных операторов в квантовой механике: увеличение (или уменьшение) квантового числа, таким образом отображающее одно квантовое состояние на другое. По этой причине их часто называют операторами повышения и понижения.

Чтобы получить значения α и β , сначала возьмите норму каждого оператора, учитывая, что J ₊ и J ₋ являются эрмитовой сопряженной парой ( $J_{\pm }=J_{\mp }^{\dagger }$): $${\begin{aligned}&\langle j\,m|J_{+}^{\dagger }J_{+}|j\,m\rangle =\langle j\,m|J_{-}J_{+}|j\,m\rangle =\langle j\,(m+1)|\alpha ^{*}\alpha |j\,(m+1)\rangle =|\alpha |^{2},\\&\langle j\,m|J_{-}^{\dagger }J_{-}|j\,m\rangle =\langle j\,m|J_{+}J_{-}|j\,m\rangle =\langle j\,(m-1)|\beta ^{*}\beta |j\,(m-1)\rangle =|\beta |^{2}.\end{aligned}}$$

Произведение лестничных операторов можно выразить через коммутирующую пару J ² и Дж _з : $${\begin{aligned}J_{-}J_{+}&=(J_{x}-iJ_{y})(J_{x}+iJ_{y})=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+i[J_{x},J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}-\hbar J_{z},\\J_{+}J_{-}&=(J_{x}+iJ_{y})(J_{x}-iJ_{y})=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}-i[J_{x},J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}+\hbar J_{z}.\end{aligned}}$$

Таким образом, можно выразить значения | α | ² и | β | ² через собственные J значения ² и Дж _з : $${\begin{aligned}|\alpha |^{2}&=\hbar ^{2}j(j+1)-\hbar ^{2}m^{2}-\hbar ^{2}m=\hbar ^{2}(j-m)(j+m+1),\\|\beta |^{2}&=\hbar ^{2}j(j+1)-\hbar ^{2}m^{2}+\hbar ^{2}m=\hbar ^{2}(j+m)(j-m+1).\end{aligned}}$$

Фазы действительными α не являются физически значимыми, поэтому и β их можно выбрать положительными и ( соглашение о фазах Кондона – Шортли ). Тогда у нас есть $${\begin{aligned}J_{+}|j,m\rangle &=\hbar {\sqrt {(j-m)(j+m+1)}}|j,m+1\rangle =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m+1)}}|j,m+1\rangle ,\\J_{-}|j,m\rangle &=\hbar {\sqrt {(j+m)(j-m+1)}}|j,m-1\rangle =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m-1)}}|j,m-1\rangle .\end{aligned}}$$

Подтверждение того, что m ограничено значением j ( $-j\leq m\leq j$), у человека есть $${\begin{aligned}J_{+}|j,\,+j\rangle &=0,\\J_{-}|j,\,-j\rangle &=0.\end{aligned}}$$

Приведенная выше демонстрация фактически представляет собой построение коэффициентов Клебша – Гордана .

Приложения в атомной и молекулярной физике

Многие члены гамильтонианов атомных или молекулярных систем включают скалярное произведение операторов углового момента. Примером может служить член магнитного диполя в сверхтонком гамильтониане : $${\hat {H}}_{\text{D}}={\hat {A}}\mathbf {I} \cdot \mathbf {J} ,$$где I — ядерный спин.

Алгебру углового момента часто можно упростить, переведя ее в сферический базис . Используя обозначения сферических тензорных операторов , компоненты «−1», «0» и «+1» J ⁽¹⁾ ≡ J имеют вид $${\begin{aligned}J_{-1}^{(1)}&={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}(J_{x}-iJ_{y})={\dfrac {J_{-}}{\sqrt {2}}},\\J_{0}^{(1)}&=J_{z},\\J_{+1}^{(1)}&=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}(J_{x}+iJ_{y})=-{\frac {J_{+}}{\sqrt {2}}}.\end{aligned}}$$

Из этих определений можно показать, что приведенное выше скалярное произведение можно разложить как $$\mathbf {I} ^{(1)}\cdot \mathbf {J} ^{(1)}=\sum _{n=-1}^{+1}(-1)^{n}I_{n}^{(1)}J_{-n}^{(1)}=I_{0}^{(1)}J_{0}^{(1)}-I_{-1}^{(1)}J_{+1}^{(1)}-I_{+1}^{(1)}J_{-1}^{(1)}.$$

Значение этого разложения состоит в том, что оно ясно указывает, какие состояния связаны этим членом в гамильтониане, то есть состояния с квантовыми числами, отличающимися на m _i = ±1 и m _j = ∓1 только .

Гармонический осциллятор

Основная статья: Квантовый гармонический осциллятор

Другое применение концепции лестничного оператора можно найти в квантовомеханической трактовке гармонического осциллятора. Мы можем определить операторы понижения и повышения как $${\begin{aligned}{\hat {a}}&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}+{i \over m\omega }{\hat {p}}\right),\\{\hat {a}}^{\dagger }&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}-{i \over m\omega }{\hat {p}}\right).\end{aligned}}$$

Они предоставляют удобные средства для извлечения собственных значений энергии без прямого решения дифференциального уравнения системы.

Водородоподобный атом

Основная статья: Водородоподобный атом

В литературе представлены два основных подхода с использованием лестничных операторов: один с использованием вектора Лапласа – Рунге – Ленца, другой с использованием факторизации гамильтониана.

Вектор Лапласа–Рунге–Ленца

Другое применение концепции лестничного оператора можно найти в квантовомеханической трактовке электронной энергии водородоподобных атомов и ионов. Вектор Лапласа–Рунге–Ленца коммутирует с гамильтонианом обратно-квадратного сферически-симметричного потенциала и может быть использован для определения лестничных операторов для этого потенциала. Мы можем определить операторы понижения и повышения (на основе классического вектора Лапласа–Рунге–Ленца ) $${\vec {A}}=\left({\frac {1}{Ze^{2}\mu }}\right)\left\{{\vec {L}}\times {\vec {p}}-{\boldsymbol {i}}\hbar {\vec {p}}\right\}+{\frac {\vec {r}}{r}},$$где ${\vec {L}}$ - угловой момент, ${\vec {p}}$ - линейный импульс, $\mu$ – приведенная масса системы, $e$ - электронный заряд, а $Z$ — атомный номер ядра.Аналогично операторам лестницы углового момента, имеем $A_{+}=A_{x}+iA_{y}$ и $A_{-}=A_{x}-iA_{y}$.

Коммутаторы, необходимые для продолжения, $$[A_{\pm },L_{z}]=\mp {\boldsymbol {i}}\hbar A_{\mp }$$и $$[A_{\pm },L^{2}]=\mp 2\hbar ^{2}A_{\pm }-2\hbar A_{\pm }L_{z}\pm 2\hbar A_{z}L_{\pm }.$$Поэтому, $$A_{+}|?,\ell ,m_{\ell }\rangle \rightarrow |?,\ell ,m_{\ell }+1\rangle$$и $$-L^{2}\left(A_{+}|?,\ell ,\ell \rangle \right)=-\hbar ^{2}(\ell +1)((\ell +1)+1)\left(A_{+}|?,\ell ,\ell \rangle \right),$$так $$A_{+}|?,\ell ,\ell \rangle \rightarrow |?,\ell +1,\ell +1\rangle ,$$где "?" указывает на зарождающееся квантовое число, возникающее в результате обсуждения.

Учитывая уравнения Паули IV: $$1-A\cdot A=-\left({\frac {2E}{\mu Z^{2}e^{4}}}\right)(L^{2}+\hbar ^{2})$$и III: $$\left(A\times A\right)_{j}=-\left({\frac {2{\boldsymbol {i}}\hbar E}{\mu Z^{2}e^{4}}}\right)L_{j},$$и начнем с уравнения $$A_{-}A_{+}|\ell ^{*},\ell ^{*}\rangle =0$$и расширяя, получаем (предполагая $\ell ^{*}$ — максимальное значение квантового числа углового момента, согласующееся со всеми остальными условиями) $$\left(1+{\frac {2E}{\mu Z^{2}e^{4}}}(L^{2}+\hbar ^{2})-i{\frac {2i\hbar E}{\mu Z^{2}e^{4}}}L_{z}\right)|?,\ell ^{*},\ell ^{*}\rangle =0,$$что приводит к формуле Ридберга $$E_{n}=-{\frac {\mu Z^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}(\ell ^{*}+1)^{2}}},$$подразумевая, что $\ell ^{*}+1=n=?$, где $n$ – традиционное квантовое число.

Факторизация гамильтониана

Гамильтониан для водородоподобного потенциала можно записать в сферических координатах как $$H={\frac {1}{2\mu }}\left[p_{r}^{2}+{\frac {1}{r^{2}}}L^{2}\right]+V(r),$$где $V(r)=-Ze^{2}/r$, а радиальный импульс $$p_{r}={\frac {x}{r}}p_{x}+{\frac {y}{r}}p_{y}+{\frac {z}{r}}p_{z},$$которое действительно и самосопряжено.

Предполагать $|nl\rangle$ — собственный вектор гамильтониана, где $l$ - угловой момент, а $n$ представляет собой энергию, поэтому $L^{2}|nl\rangle =l(l+1)\hbar ^{2}|nl\rangle$, и мы можем обозначить гамильтониан как $H_{l}$: $$H_{l}={\frac {1}{2\mu }}\left[p_{r}^{2}+{\frac {1}{r^{2}}}l(l+1)\hbar ^{2}\right]+V(r).$$

Метод факторизации был разработан Инфельдом и Халлом. для дифференциальных уравнений. Ньюмарч и Голдинг применил его к сферически симметричным потенциалам, используя операторные обозначения.

Предположим, мы можем найти факторизацию гамильтониана операторами $C_{l}$ как

$C_{l}^{*}C_{l}=2\mu H_{l}+F_{l},$ ( 1 )

и $$C_{l}C_{l}^{*}=2\mu H_{l+1}+G_{l}$$для скаляров $F_{l}$ и $G_{l}$. Вектор $C_{l}C_{l}^{*}C_{l}|nl\rangle$ можно оценить двумя разными способами, т. $${\begin{aligned}C_{l}C_{l}^{*}C_{l}|nl\rangle &=(2\mu E_{l}^{n}+F_{l})C_{l}|nl\rangle \\&=(2\mu H_{l+1}+G_{l})C_{l}|nl\rangle ,\end{aligned}}$$который можно перестроить как $$H_{l+1}(C_{l}|nl\rangle )=[E_{l}^{n}+(F_{l}-G_{l})/(2\mu )](C_{l}|nl\rangle ),$$показывая это $C_{l}|nl\rangle$ является собственным состоянием $H_{l+1}$ с собственным значением $$E_{l+1}^{n'}=E_{l}^{n}+(F_{l}-G_{l})/(2\mu ).$$Если $F_{l}=G_{l}$, затем $n'=n$и штаты $|nl\rangle$ и $C_{l}|nl\rangle$имеют одинаковую энергию.

Для атома водорода постановка $$V(r)=-{\frac {B\hbar }{\mu r}}$$с $$B={\frac {Z\mu e^{2}}{\hbar }},$$подходящее уравнение для $C_{l}$ является $$C_{l}=p_{r}+{\frac {i\hbar (l+1)}{r}}-{\frac {iB}{l+1}}$$с $$F_{l}=G_{l}={\frac {B^{2}}{(l+1)^{2}}}.$$Существует верхняя граница лестничного оператора, если энергия отрицательна (поэтому $C_{l}|nl_{\text{max}}\rangle =0$для некоторых $l_{\text{max}}$), то если из уравнения ( 1 ) следует, что $$E_{l}^{n}=-F_{l}/{2\mu }=-{\frac {B^{2}}{2\mu (l_{\text{max}}+1)^{2}}}=-{\frac {\mu Z^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}(l_{\text{max}}+1)^{2}}},$$и $n$ можно отождествить с $l_{\text{max}}+1.$

Связь с теорией групп

Всякий раз, когда в системе возникает вырождение, обычно имеется связанное с ним свойство симметрии и группа. Вырождение энергетических уровней при одном и том же значении $n$ но разные угловые моменты были идентифицированы как симметрия SO (4) сферически-симметричного кулоновского потенциала.

3D изотропный гармонический генератор

Трехмерный изотропный гармонический осциллятор имеет потенциал, определяемый выражением $$V(r)={\tfrac {1}{2}}\mu \omega ^{2}r^{2}.$$

Аналогичным образом с этим можно справиться, используя метод факторизации.

Метод факторизации

Подходящая факторизация определяется выражением $$C_{l}=p_{r}+{\frac {i\hbar (l+1)}{r}}-i\mu \omega r$$с $$F_{l}=-(2l+3)\mu \omega \hbar$$и $$G_{l}=-(2l+1)\mu \omega \hbar .$$Затем $$E_{l+1}^{n^{'}}=E_{l}^{n}+{\frac {F_{l}-G_{l}}{2\mu }}=E_{l}^{n}-\omega \hbar ,$$и продолжая это, $${\begin{aligned}E_{l+2}^{n^{'}}&=E_{l}^{n}-2\omega \hbar \\E_{l+3}^{n^{'}}&=E_{l}^{n}-3\omega \hbar \\&\;\;\vdots \end{aligned}}$$Теперь гамильтониан имеет только положительные уровни энергии, как это видно из $${\begin{aligned}\langle \psi |2\mu H_{l}|\psi \rangle &=\langle \psi |C_{l}^{*}C_{l}|\psi \rangle +\langle \psi |(2l+3)\mu \omega \hbar |\psi \rangle \\&=\langle C_{l}\psi |C_{l}\psi \rangle +(2l+3)\mu \omega \hbar \langle \psi |\psi \rangle \\&\geq 0.\end{aligned}}$$Это означает, что для некоторого значения $l$ серия должна закончиться $C_{l_{\text{max}}}|nl_{\text{max}}\rangle =0,$а потом $$E_{l_{\text{max}}}^{n}=-{\frac {F_{l_{\text{max}}}}{2\mu }}=\left(l_{\text{max}}+{\frac {3}{2}}\right)\omega \hbar .$$Это уменьшение энергии на $\omega \hbar$ пока не $C_{l}|n,l\rangle =0$ за некоторую ценность $l$. Определив это значение как $n$ дает $$E_{l}^{n}=-F_{l}=\left(n+{\tfrac {3}{2}}\right)\omega \hbar .$$

Затем следует $n'=n-1$ так что $$C_{l}|nl\rangle =\lambda _{l}^{n}|n-1,\,l+1\rangle ,$$задавая рекурсивное отношение на $\lambda$ с решением $$\lambda _{l}^{n}=-\mu \omega \hbar {\sqrt {2(n-l)}}.$$

Существует вырождение, вызванное угловым моментом; имеется дополнительное вырождение, вызванное потенциалом осциллятора.Рассмотрим штаты $|n,\,n\rangle ,|n-1,\,n-1\rangle ,|n-2,\,n-2\rangle ,\dots$и примените операторы опускания $C^{*}$: $C_{n-2}^{*}|n-1,\,n-1\rangle ,C_{n-4}^{*}C_{n-3}^{*}|n-2,\,n-2\rangle ,\dots$ давая последовательность $|n,n\rangle ,|n,\,n-2\rangle ,|n,\,n-4\rangle ,\dots$с той же энергией, но с $l$ уменьшается на 2.Помимо вырождения по угловому моменту это дает полное вырождение $(n+1)(n+2)/2$

Связь с теорией групп

Вырождения трехмерного изотропного гармонического осциллятора связаны со специальной унитарной группой SU(3)

История

Многие источники приписывают Полю Дираку изобретение операторов лестниц. Использование Дираком лестничных операторов показывает, что квантовое число полного углового момента $j$ должно быть неотрицательным полуцелым кратным ħ .

См. также

• Операторы создания и уничтожения
• Квантовый гармонический осциллятор
• основа Шевалле