Эволюция времени

Эволюция времени — это изменение состояния, вызванное течением времени , применимое к системам с внутренним состоянием (также называемым системами с состоянием ). В этой формулировке время не обязательно должно быть непрерывным параметром, но может быть дискретным или даже конечным . В классической физике эволюция совокупности твердых тел во времени регулируется принципами классической механики . В своей самой элементарной форме эти принципы выражают связь между силами, действующими на тела, и их ускорением, определяемым законами движения Ньютона . Эти принципы могут быть эквивалентно и более абстрактно выражены гамильтоновой механикой или механикой Лагранжа .

Концепция эволюции во времени может быть применима и к другим системам с состоянием. Например, работу машины Тьюринга можно рассматривать как эволюцию во времени состояния управления машиной вместе с состоянием ленты (или, возможно, нескольких лент), включая положение головки (или головок) чтения-записи машины. В этом случае время рассматривается как дискретные шаги.

Системы с состоянием часто имеют двойное описание с точки зрения состояний или наблюдаемых значений. В таких системах временная эволюция может также относиться к изменению наблюдаемых значений. Это особенно актуально в квантовой механике , где картина Шредингера и картина Гейзенберга (в основном) эквивалентные описания эволюции времени.

временной

Рассмотрим систему с пространством состояний X, для которой эволюция детерминирована и обратима . Для конкретики давайте также предположим, что время — это параметр, который варьируется в пределах множества действительных чисел R . Тогда временная эволюция задается семейством биективных преобразований состояний.

$(\operatorname {F} _{t,s}\colon X\rightarrow X)_{s,t\in \mathbb {R} }$.

Ft _{. , s} ( x ) — состояние системы в момент времени , состояние которой в момент s равно x t Имеет место следующее тождество

$\operatorname {F} _{u,t}(\operatorname {F} _{t,s}(x))=\operatorname {F} _{u,s}(x).$

Чтобы понять, почему это так, предположим, что x ∈ X — это состояние в момент времени s . Тогда по определению F, F _{t , s} ( x ) — это состояние системы в момент времени t и, следовательно, применяя определение еще раз, F _{u , t} (F _{t , s} ( x )) — это состояние в момент времени u . Но это тоже F _{u , s} ( x ).

В некоторых контекстах математической физики отображения F _{t , s} называются операторами распространения или просто пропагаторами . В классической механике пропагаторы — это функции, которые действуют в фазовом пространстве физической системы. В квантовой механике пропагаторы обычно являются унитарными операторами в гильбертовом пространстве . Пропагаторы можно выразить как упорядоченные по времени экспоненты интегрированного гамильтониана. Асимптотические свойства эволюции во времени задаются матрицей рассеяния .

Пространство состояний с выделенным распространителем также называется динамической системой .

Сказать, что эволюция во времени однородна, означает, что

$\operatorname {F} _{u,t}=\operatorname {F} _{u-t,0}$ для всех $u,t\in \mathbb {R}$.

В случае однородной системы отображения G _t = F _{t ,0} образуют однопараметрическую группу преобразований X , т.е.

$\operatorname {G} _{t+s}=\operatorname {G} _{t}\operatorname {G} _{s}.$

Для необратимых систем операторы распространения F _{t , s} определяются всякий раз, когда t ≥ s, и удовлетворяют тождеству распространения

$\operatorname {F} _{u,t}(\operatorname {F} _{t,s}(x))=\operatorname {F} _{u,s}(x)$ для любого $u\geq t\geq s$.

В однородном случае пропагаторы являются экспонентами гамильтониана.

В квантовой механике

В картине Шрёдингера оператор Гамильтона порождает временную эволюцию квантовых состояний. Если $\left|\psi (t)\right\rangle$ это состояние системы в момент времени $t$, затем

$H\left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\psi (t)\right\rangle .$

Это уравнение Шрёдингера . Учитывая состояние в некоторый начальный момент времени ( $t=0$), если $H$ не зависит от времени, то унитарный оператор эволюции по времени $U(t)$ — экспоненциальный оператор , как показано в уравнении

$\left|\psi (t)\right\rangle =U(t)\left|\psi (0)\right\rangle =e^{-iHt/\hbar }\left|\psi (0)\right\rangle .$

См. также

• Стрела времени
• Симметрия перевода времени
• гамильтонова система
• Распространитель
• Оператор временной эволюции
• Гамильтониан (теория управления)

Ссылки

Общие ссылки

• Аманн, Х.; Арендт, В.; Нойбрандер, Ф.; Никез, С.; фон Белов, Дж. (2008), Аманн, Герберт; Арендт, Вольфганг; Хибер, Матиас; Нойбрандер, Фрэнк М; Никез, Серж; фон Белов, Иоахим (ред.), Функциональный анализ и эволюционные уравнения: Том Гюнтера Люмера , Базель: Birkhäuser, doi : 10.1007/978-3-7643-7794-6 , ISBN  978-3-7643-7793-9 , МР   2402015 .
• Джером, JW; Полицци, Э. (2014), «Дискретизация нестационарных квантовых систем: распространение оператора эволюции в реальном времени», Applicable Analysis , 93 (12): 2574–2597, arXiv : 1309.3587 , doi : 10.1080/00036811.2013.878863 , S2CID   17905545 .
• Лэнфорд, О.Э. (1975), «Эволюция во времени больших классических систем», в Мозере Дж. (ред.), Динамические системы, теория и приложения , Конспекты лекций по физике, том. 38, Берлин, Гейдельберг: Springer, стр. 1–111, doi : 10.1007/3-540-07171-7_1 , ISBN.  978-3-540-37505-0 .
• Ланфорд, Огайо; Лебовиц, Дж. Л. (1975), «Эволюция во времени и эргодические свойства гармонических систем», в Мозере Дж. (ред.), Динамические системы, теория и приложения , Конспекты лекций по физике, том. 38, Берлин, Гейдельберг: Springer, стр. 144–177, doi : 10.1007/3-540-07171-7_3 , ISBN.  978-3-540-37505-0 .

• Люмер, Гюнтер (1994), «Эволюционные уравнения. Решения нерегулярных эволюционных задач с помощью обобщенных решений и обобщенных начальных значений. Приложения к моделям периодических потрясений» , Annales Universitatis Saraviensis , Series Mathematicae, 5 (1), MR   1286099 .