Обратимость времени

Математический или физический процесс обратим во времени , если динамика процесса остается четко определенной, когда последовательность временных состояний меняется на обратную.

Детерминированный процесс является обратимым во времени, если обращенный во времени процесс удовлетворяет тем же динамическим уравнениям , что и исходный процесс; другими словами, уравнения инвариантны или симметричны относительно изменения знака времени . Стохастический процесс является обратимым, если статистические свойства процесса такие же, как и статистические свойства обращенных во времени данных того же процесса.

Математика

В математике динамическая система обратима во времени, если прямая эволюция является взаимно однозначной , так что для каждого состояния существует преобразование ( инволюция ) π, которое дает взаимно однозначное отображение между обращенной во времени эволюцией. любого одного состояния и эволюция в прямом направлении другого соответствующего состояния, заданная операторным уравнением:

$U_{-t}=\pi \,U_{t}\,\pi$

Поэтому любые независимые от времени структуры (например, критические точки или аттракторы ), порождаемые динамикой, должны быть либо самосимметричными, либо иметь симметричные образы относительно инволюции π.

Физика

В физике законы движения классической механики проявляют обратимость во времени, пока оператор π меняет местами сопряженные импульсы всех частиц системы, т.е. $\mathbf {p} \rightarrow \mathbf {-p}$ ( Т-симметрия ).

Однако в квантово-механических системах слабое ядерное взаимодействие не инвариантно только относительно Т-симметрии; при наличии слабых взаимодействий обратимая динамика все же возможна, но только в том случае, если оператор π меняет также знаки всех зарядов и четность пространственных координат ( С-симметрию и Р-симметрию ). Эта обратимость нескольких связанных свойств известна как CPT-симметрия .

Термодинамические процессы могут быть обратимыми и необратимыми в зависимости от изменения энтропии в ходе процесса. Однако обратите внимание, что все фундаментальные законы, лежащие в основе термодинамических процессов, обратимы во времени (классические законы движения и законы электродинамики). это означает, что на микроскопическом уровне, если отслеживать все частицы и все степени свободы, все процессы в системе многих тел обратимы; Однако такой анализ выходит за рамки возможностей любого человека (или искусственного интеллекта ), а макроскопические свойства (такие как энтропия и температура) системы многих тел определяются только на основе статистики ансамблей . Когда мы говорим о таких макроскопических свойствах в термодинамике, в некоторых случаях мы можем видеть необратимость временной эволюции этих величин на статистическом уровне. Действительно, второй закон термодинамики утверждает, что энтропия всей Вселенной не должна уменьшаться не потому, что вероятность этого равна нулю, а потому, что это настолько маловероятно, что это статистически невозможно для всех практических соображений (см. Теорему Крукса о флуктуациях ). .

Случайные процессы

Случайный процесс является обратимым во времени, если совместные вероятности прямой и обратной последовательностей состояний одинаковы для всех наборов приращений времени { τ _s }, для s = 1, ..., k для любого k :

$p(x_{t},x_{t+\tau _{1}},x_{t+\tau _{2}},\ldots ,x_{t+\tau _{k}})=p(x_{t'},x_{t'-\tau _{1}},x_{t'-\tau _{2}},\ldots ,x_{t'-\tau _{k}})$.

Одномерный стационарный гауссов процесс обратим во времени. Марковские процессы могут быть обратимыми только в том случае, если их стационарные распределения обладают свойством детального баланса :

$p(x_{t}=i,x_{t+1}=j)=\,p(x_{t}=j,x_{t+1}=i)$.

Критерий Колмогорова определяет условие цепи Маркова или цепи Маркова с непрерывным временем обратимости .

Было изучено обращение времени многочисленных классов случайных процессов, включая процессы Леви , стохастические сети ( лемма Келли ), процессы рождения и смерти , цепи Маркова , и кусочно-детерминированные марковские процессы .

Волны и оптика

Метод обращения времени работает на основе линейной взаимности волнового уравнения , которая утверждает, что обращенное во времени решение волнового уравнения также является решением волнового уравнения, поскольку стандартные волновые уравнения содержат только четные производные неизвестных переменных. Таким образом, волновое уравнение симметрично относительно обращения времени, поэтому обращение времени любого действительного решения также является решением. Это означает, что путь волны в пространстве действителен при движении в любом направлении.

Обработка сигнала с обращением времени — это процесс, в котором это свойство используется для реверса полученного сигнала; затем этот сигнал повторно излучается, и происходит временное сжатие, что приводит к изменению исходной формы волны возбуждения, воспроизводимой в исходном источнике.

См. также

• Т-симметрия
• Безпамять
• Марковская недвижимость
• Реверсивные вычисления

Ссылки

• Ишам, В. (1991) «Моделирование стохастических явлений». В: Стохастическая теория и моделирование , Хинкли Д.В., Рид Н., Снелл Э.Дж. (ред.). Чепмен и Холл. ISBN   978-0-412-30590-0 .
• Тонг, Х. (1990) Нелинейные временные ряды: подход динамической системы . Оксфорд УП. ISBN   0-19-852300-9