Переменная состояния

Переменная состояния — это одна из множества переменных , которые используются для описания математического «состояния» динамической системы . Интуитивно понятно, что состояние системы достаточно описывает систему, чтобы определить ее будущее поведение при отсутствии каких-либо внешних сил, влияющих на систему. первого порядка, Говорят, что модели, состоящие из связанных дифференциальных уравнений находятся в форме переменных состояния. ^[1]

Примеры [ править ]

В механических системах координаты положения и скорости механических частей являются типичными переменными состояния; зная их, можно определить будущее состояние объектов системы.
В термодинамике переменная состояния является независимой переменной функции состояния . Примеры включают внутреннюю энергию , энтальпию , температуру , давление , объем и энтропию . Теплота и работа — это не функции состояния, а функции процесса .
В электронных / электрических схемах напряжения . узлов и токи через компоненты цепи обычно являются переменными состояния В любой электрической цепи количество переменных состояния равно количеству (независимых) накопительных элементов, которыми являются катушки индуктивности и конденсаторы. Переменной состояния для катушки индуктивности является ток через катушку индуктивности, а для конденсатора — напряжение на конденсаторе.
В моделях экосистем типичными переменными состояния являются размеры популяций (или концентрации) растений, животных и ресурсов (питательные вещества, органический материал).

Проектирование систем управления [ править ]

В технике управления и других областях науки и техники переменные состояния используются для представления состояний общей системы. Множество возможных комбинаций значений переменных состояния называется пространством состояний системы. Уравнения, связывающие текущее состояние системы с ее самыми последними входными и прошлыми состояниями, называются уравнениями состояния, а уравнения, выражающие значения выходных переменных через переменные состояния и входные данные, называются выходными уравнениями. Как показано ниже, уравнения состояния и выходные уравнения для линейной инвариантной во времени коэффициентов системы могут быть выражены с использованием матриц : A , B , C и D.

A\in \mathbb {R} ^{N\times N},\quad B\in \mathbb {R} ^{N\times L},\quad C\in \mathbb {R} ^{M\times N},\quad D\in \mathbb {R} ^{M\times L},

где N , L и M — размерности векторов, описывающих состояние, вход и выход соответственно.

Системы дискретного времени [ править ]

Вектор состояния (вектор переменных состояния), представляющий текущее состояние системы с дискретным временем (т. е. цифровой системы), равен $x[n]$ , где n — дискретный момент времени, в который оценивается система. Уравнения состояния дискретного времени:

x[n+1]=Ax[n]+Bu[n],

который описывает следующее состояние системы ( x [ n +1]) относительно текущего состояния и входных данных u [ n ] системы. Выходные уравнения:

y[n]=Cx[n]+Du[n],

который описывает выход y [ n ] относительно текущих состояний и входы u [ n ] в систему.

Системы непрерывного времени [ править ]

Вектор состояния, представляющий текущее состояние системы с непрерывным временем (т.е. аналоговой системы), равен $x(t)$ , а уравнения состояния в непрерывном времени, дающие эволюцию вектора состояния, имеют вид

{\frac {dx(t)}{dt}}=Ax(t)+Bu(t),

который описывает непрерывную скорость изменения ${\textstyle {\frac {dx(t)}{dt}}}$ состояния системы относительно текущего состояния x ( t ) и входов u ( t ) системы. Выходные уравнения:

y(t)=Cx(t)+Du(t),

который описывает выход y ( t ) относительно текущих состояний x ( t ) и входы u ( t ) в систему.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Палм, III Уильям Дж. (2009). Системная динамика (2-е изд.). Медицинское издательство МакГроу-Хилл. п. 420. ИСБН 978-0-07-126779-3 .

[1] Палм, III Уильям Дж. (2009). Системная динамика (2-е изд.). Медицинское издательство МакГроу-Хилл. п. 420. ИСБН 978-0-07-126779-3 .

[1]