Внутренняя энергия

Внутренняя энергия
Общие символы	В
И объединились	Дж
В базовых единицах СИ	м 2 ⋅кг/с 2
Выводы из другие количества	$\Delta U=\sum _{i}p_{i}E_{i}\!$ $\Delta U=nC_{V}\Delta T\!$

Внутренняя энергия — термодинамической системы это энергия , содержащаяся в ней, измеряемая как количество энергии, необходимое для того, чтобы привести систему из ее стандартного внутреннего состояния в нынешнее интересующее внутреннее состояние, с учетом прироста и потери энергии из-за изменений в его внутреннее состояние, включая такую ​​величину, как намагниченность . Она исключает кинетическую энергию движения системы в целом и потенциальную энергию положения системы в целом относительно ее окружения и внешних силовых полей. Она включает в себя тепловую энергию, т. е . кинетические энергии движения составляющих частиц относительно движения системы в целом. Внутренняя энергия изолированной системы не может измениться, как это выражено в законе сохранения энергии , лежащем в основе первого закона термодинамики .

Внутреннюю энергию невозможно измерить абсолютно. Термодинамика касается изменений внутренней энергии, а не ее абсолютного значения. Процессы, которые изменяют внутреннюю энергию, представляют собой перенос в систему или из нее материи или энергии в виде тепла или термодинамической работы . Эти процессы измеряются изменениями свойств системы, таких как температура, энтропия , объем, электрическая поляризация и молярный состав . Внутренняя энергия зависит только от внутреннего состояния системы, а не от конкретного выбора из многих возможных процессов, посредством которых энергия может переходить в систему или выходить из нее. Это переменная состояния , термодинамический потенциал и обширное свойство .

Термодинамика определяет внутреннюю энергию макроскопически для тела в целом. В статистической механике внутренняя энергия тела может быть проанализирована микроскопически с точки зрения кинетических энергий микроскопического движения частиц системы в результате поступаний , вращений и вибраций , а также потенциальных энергий, связанных с микроскопическими силами, включая химические связи .

Единицей энергии в Международной системе единиц (СИ) является джоуль (Дж). Внутренняя энергия относительно массы с единицей Дж/кг – это удельная внутренняя энергия . Соответствующей величиной относительно количества вещества с единицей Дж/ моль является молярная внутренняя энергия .

Кардинальные функции

Внутренняя энергия системы зависит от ее энтропии S, объема V и числа массивных частиц: U ( S , V ,{ N _j }) . Он выражает термодинамику системы в энергетическом представлении . Как функция состояния , его аргументы являются исключительно экстенсивными переменными состояния. Наряду с внутренней энергией, другой кардинальной функцией состояния термодинамической системы является ее энтропия как функция S ( U , V ,{ N _j }) того же списка обширных переменных состояния, за исключением того, что энтропия, S заменяется в списке внутренней энергией U . Оно выражает представление энтропии .

Каждая кардинальная функция является монотонной функцией каждой из своих натуральных или канонических переменных. Каждый из них предоставляет свое характеристическое или фундаментальное уравнение, например U = U ( S , V ,{ Nj _} ) , которое само по себе содержит всю термодинамическую информацию о системе. Фундаментальные уравнения для двух кардинальных функций в принципе можно преобразовать друг в друга, решив, например, U = U ( S , V , { N _j }) для S , чтобы получить S = S ( U , V , { N _j }) .

Напротив, преобразования Лежандра необходимы для вывода фундаментальных уравнений для других термодинамических потенциалов и функций Массье . Энтропия как функция только обширных переменных состояния является единственной кардинальной функцией состояния для генерации функций Масье. Сама по себе она обычно не обозначается как «функция Масье», хотя рационально ее можно рассматривать как таковую, соответствующую термину «термодинамический потенциал», который включает внутреннюю энергию.

Для реальных и практических систем почти всегда недоступны явные выражения основных уравнений, но функциональные соотношения в принципе существуют. Формальные в принципе манипуляции с ними ценны для понимания термодинамики.

Описание и определение

Внутренняя энергия $U$ данного состояния системы определяется относительно состояния стандартного состояния системы путем сложения макроскопических передач энергии, сопровождающих изменение состояния от исходного состояния к заданному состоянию:

$\Delta U=\sum _{i}E_{i},$

где $\Delta U$обозначает разницу между внутренней энергией данного состояния и энергией опорного состояния, и $E_{i}$– различные энергии, передаваемые системе на этапах от исходного состояния к заданному состоянию. Это энергия, необходимая для создания данного состояния системы из исходного состояния. С нерелятивистской микроскопической точки зрения ее можно разделить на микроскопическую потенциальную энергию: $U_{\text{micro,pot}}$и микроскопическая кинетическая энергия, $U_{\text{micro,kin}}$, компоненты:

$U=U_{\text{micro,pot}}+U_{\text{micro,kin}}.$

Микроскопическая кинетическая энергия системы возникает как сумма движений всех частиц системы относительно системы центра масс, будь то движение атомов, молекул, атомных ядер, электронов или других частиц. Алгебраические суммарные компоненты микроскопической потенциальной энергии - это компоненты связей химических и ядерных частиц, а также полей физических сил внутри системы, например, из-за внутреннего индуцированного электрического или магнитного дипольного момента , а также энергии деформации твердых тел ( напряжение - напряжение ). Обычно разделение на микроскопическую кинетическую и потенциальную энергии выходит за рамки макроскопической термодинамики.

Внутренняя энергия не включает энергию, обусловленную движением или расположением системы в целом. Другими словами, он исключает любую кинетическую или потенциальную энергию, которую тело может иметь из-за своего движения или расположения во внешних гравитационных , электростатических или электромагнитных полях . Однако сюда входит вклад такого поля в энергию из-за связи внутренних степеней свободы объекта с полем. В таком случае поле включается в термодинамическое описание объекта в виде дополнительного внешнего параметра.

Для практических соображений в термодинамике или технике редко бывает необходимо, удобно и даже невозможно учитывать все энергии, принадлежащие полной внутренней энергии системы образца, например, энергию, определяемую эквивалентностью массы. Обычно описания включают только компоненты, относящиеся к исследуемой системе. Действительно, в большинстве рассматриваемых систем, особенно с помощью термодинамики, невозможно вычислить полную внутреннюю энергию. Следовательно, для внутренней энергии можно выбрать удобную нулевую точку отсчета.

Внутренняя энергия — обширное свойство : она зависит от размера системы или от количества содержащегося в ней вещества .

При любой температуре выше абсолютного нуля сумма остается постоянной микроскопическая потенциальная энергия и кинетическая энергия постоянно переходят друг в друга, но в изолированной системе (см. таблицу). В классической картине термодинамики кинетическая энергия исчезает при нулевой температуре, а внутренняя энергия представляет собой чисто потенциальную энергию. Однако квантовая механика продемонстрировала, что даже при нулевой температуре частицы сохраняют остаточную энергию движения, энергию нулевой точки . Система при абсолютном нуле находится просто в своем квантовомеханическом основном состоянии, состоянии с самой низкой доступной энергией. При абсолютном нуле система данного состава достигла минимально достижимой энтропии .

Часть внутренней энергии микроскопической кинетической энергии приводит к повышению температуры системы. Статистическая механика связывает псевдослучайную кинетическую энергию отдельных частиц со средней кинетической энергией всего ансамбля частиц, составляющих систему. Более того, он связывает среднюю микроскопическую кинетическую энергию с макроскопически наблюдаемым эмпирическим свойством, которое выражается как температура системы. Хотя температура является интенсивной мерой, эта энергия выражает концепцию как обширное свойство системы, часто называемое тепловой энергией . Свойством масштабирования между температурой и тепловой энергией является изменение энтропии системы.

Статистическая механика рассматривает любую систему как статистически распределенную по ансамблю $N$ микрогосударства . В системе, находящейся в термодинамическом контактном равновесии с тепловым резервуаром, каждое микросостояние имеет энергию $E_{i}$ и связано с вероятностью $p_{i}$. Внутренняя энергия представляет собой среднее значение полной энергии системы, т. е. сумму всех энергий микросостояний, каждое из которых взвешено по вероятности возникновения:

$U=\sum _{i=1}^{N}p_{i}\,E_{i}.$

Это статистическое выражение закона сохранения энергии .

Взаимодействия термодинамических систем Тип системы Массовый поток Работа Нагревать Открыть И И И Закрыто Н И И Термически изолированный Н И Н Механически изолированный Н Н И изолированный Н Н Н

энергии

Термодинамика в основном занимается изменениями внутренней энергии. $\Delta U$.

Для закрытой системы, при которой исключен перенос вещества, изменение внутренней энергии происходит за счет теплопередачи. $Q$ и за счет термодинамической работы $W$ действия системы над ее окружением. Соответственно, внутренняя энергия изменится $\Delta U$ для процесса можно написать

$$\Delta U=Q-W\quad {\text{(closed system, no transfer of matter)}}.$$

Когда закрытая система получает энергию в виде тепла, эта энергия увеличивает внутреннюю энергию. Она распределяется между микроскопическими кинетическими и микроскопическими потенциальными энергиями. В общем термодинамика не прослеживает такого распределения. В идеальном газе вся дополнительная энергия приводит к повышению температуры, поскольку она сохраняется исключительно в виде микроскопической кинетической энергии; такое нагревание считается разумным .

Второй вид механизма изменения внутренней энергии замкнутой системы заключается в совершении ею работы над окружающей средой. Такая работа может быть просто механической, например, когда система расширяется, приводя в движение поршень, или, например, когда система меняет свою электрическую поляризацию, чтобы вызвать изменение электрического поля в окружающей среде.

Если система не замкнута, то третьим механизмом увеличения внутренней энергии является перенос вещества в систему. Это увеличение, $\Delta U_{\mathrm {matter} }$ не может быть разделена на теплоту и работу. Если система физически устроена так, что передача тепла и работа, которую она совершает, осуществляются путями, отдельными и независимыми от передачи материи, то передача энергии добавляется к изменению внутренней энергии:

$$\Delta U=Q-W+\Delta U_{\text{matter}}\quad {\text{(matter transfer pathway separate from heat and work transfer pathways)}}.$$

Если система при нагревании претерпевает определенные фазовые превращения, такие как плавление и испарение, можно наблюдать, что температура системы не меняется до тех пор, пока весь образец не завершит превращение. Энергия, вносимая в систему при неизменной температуре, называется скрытой энергией или скрытой теплотой , в отличие от явного тепла, которое связано с изменением температуры.

Внутренняя энергия идеального газа

Термодинамика часто использует концепцию идеального газа в учебных целях и в качестве приближения для рабочих систем. Идеальный газ состоит из частиц, рассматриваемых как точечные объекты, которые взаимодействуют только посредством упругих столкновений и заполняют такой объем, что их длина свободного пробега между столкновениями намного превышает их диаметр. Такие системы приближаются к одноатомным газам, таким как гелий и другие благородные газы . Для идеального газа кинетическая энергия состоит только из энергии поступательного движения отдельных атомов. Одноатомные частицы не обладают вращательными или колебательными степенями свободы и не возбуждаются электронным путем до более высоких энергий, за исключением очень высоких температур .

Следовательно, внутренняя энергия идеального газа зависит исключительно от его температуры (и количества частиц газа): $U=U(N,T)$. Он не зависит от других термодинамических величин, таких как давление или плотность.

Внутренняя энергия идеального газа пропорциональна количеству входящего в него вещества (числу молей). $N$ и до его температуры $T$

$U=c_{V}NT,$

где $c_{V}$ – изохорная (при постоянном объеме) молярная теплоемкость газа; $c_{V}$постоянна для идеального газа. Внутреннюю энергию любого газа (идеального или нет) можно записать как функцию трех обширных свойств: $S$, $V$, $N$(энтропия, объем, количество молей ). В случае идеального газа это происходит следующим образом.

$U(S,V,N)=\mathrm {const} \cdot e^{\frac {S}{c_{V}N}}V^{\frac {-R}{c_{V}}}N^{\frac {R+c_{V}}{c_{V}}},$

где $\mathrm {const}$ — произвольная положительная константа и где $R$— универсальная газовая постоянная . Легко видеть, что $U$является линейно однородной функцией трех переменных (т. е. она обширна по этим переменным) и слабо выпукла . Зная, что температура и давление являются производными $T={\frac {\partial U}{\partial S}},$ $P=-{\frac {\partial U}{\partial V}},$ закон идеального газа $PV=NRT$ сразу следует следующее:

$T={\frac {\partial U}{\partial S}}={\frac {U}{c_{V}N}}$

$P=-{\frac {\partial U}{\partial V}}=U{\frac {R}{c_{V}V}}$

${\frac {P}{T}}={\frac {\frac {UR}{c_{V}V}}{\frac {U}{c_{V}N}}}={\frac {NR}{V}}$

$PV=NRT$

Внутренняя энергия замкнутой термодинамической системы

Приведенное выше суммирование всех компонентов изменения внутренней энергии предполагает, что положительная энергия обозначает тепло, добавленное к системе, или отрицательную работу, совершаемую системой с ее окружением.

Это соотношение может быть выражено в бесконечно малых величинах с использованием дифференциалов каждого члена, хотя точным дифференциалом является только внутренняя энергия . Для закрытой системы, в которой передаются только тепло и работа, изменение внутренней энергии равно

$\mathrm {d} U=\delta Q-\delta W,$

выражающее первый закон термодинамики . Это может быть выражено через другие термодинамические параметры. Каждый термин состоит из интенсивной переменной (обобщенной силы) и сопряженной с ней бесконечно малой экстенсивной переменной (обобщенного смещения).

Например, механическая работа, совершаемая системой, может быть связана с давлением. $P$ и громкости изменение $\mathrm {d} V$. Давление представляет собой интенсивную обобщенную силу, тогда как изменение объема представляет собой обширное обобщенное смещение:

$\delta W=P\,\mathrm {d} V.$

Это определяет направление работы, $W$, чтобы быть передачей энергии от рабочей системы к окружающей среде, обозначенной положительным членом. Взяв направление теплопередачи $Q$ находиться в рабочей жидкости и, предполагая обратимый процесс , тепло

$\delta Q=T\mathrm {d} S,$

где $T$ обозначает температуру и $S$ обозначает энтропию .

Изменение внутренней энергии становится

$\mathrm {d} U=T\,\mathrm {d} S-P\,\mathrm {d} V.$

Изменения из-за температуры и объема

Выражение, связывающее изменение внутренней энергии с изменениями температуры и объема, имеет вид

$$\mathrm {d} U=C_{V}\,\mathrm {d} T+\left[T\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{V}-P\right]\mathrm {d} V.$$

( 1 )

Это полезно, если уравнение состояния известно .

В случае идеального газа мы можем получить, что $dU=C_{V}\,dT$, т.е. внутреннюю энергию идеального газа можно записать как функцию, зависящую только от температуры.

показывать

Доказательство независимости идеального газа от давления.

The expression relating changes in internal energy to changes in temperature and volume is

$\mathrm {d} U=C_{V}\,\mathrm {d} T+\left[T\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{V}-P\right]\mathrm {d} V.$

The equation of state is the ideal gas law

$PV=nRT.$

Solve for pressure:

$P={\frac {nRT}{V}}.$

Substitute in to internal energy expression:

$dU=C_{V}\mathrm {d} T+\left[T\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{V}-{\frac {nRT}{V}}\right]\mathrm {d} V.$

Take the derivative of pressure with respect to temperature:

$\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{V}={\frac {nR}{V}}.$

Replace:

$dU=C_{V}\,\mathrm {d} T+\left[{\frac {nRT}{V}}-{\frac {nRT}{V}}\right]\mathrm {d} V.$

And simplify:

$\mathrm {d} U=C_{V}\,\mathrm {d} T.$

показывать

Вывод d U через d T и d V

To express $\mathrm {d} U$ in terms of $\mathrm {d} T$ and $\mathrm {d} V$, the term

$\mathrm {d} S=\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{V}\mathrm {d} T+\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}\mathrm {d} V$

is substituted in the fundamental thermodynamic relation

$\mathrm {d} U=T\,\mathrm {d} S-P\,\mathrm {d} V.$

This gives

$dU=T\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{V}\,dT+\left[T\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}-P\right]dV.$

The term $T\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{V}$ is the heat capacity at constant volume $C_{V}.$

The partial derivative of $S$ with respect to $V$ can be evaluated if the equation of state is known. From the fundamental thermodynamic relation, it follows that the differential of the Helmholtz free energy $A$ is given by

$dA=-S\,dT-P\,dV.$

The symmetry of second derivatives of $A$ with respect to $T$ and $V$ yields the Maxwell relation:

$\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}=\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{V}.$

This gives the expression above.

-за температуры и

При рассмотрении жидкостей или твердых тел обычно более полезно выражение через температуру и давление:

$dU=\left(C_{P}-\alpha PV\right)\,dT+\left(\beta _{T}P-\alpha T\right)V\,dP,$

где предполагается, что теплоемкость при постоянном давлении связана с теплоемкостью при постоянном объеме по формуле

$C_{P}=C_{V}+VT{\frac {\alpha ^{2}}{\beta _{T}}}.$

показывать

Вывод d U через d T и d P

The partial derivative of the pressure with respect to temperature at constant volume can be expressed in terms of the coefficient of thermal expansion

$\alpha \equiv {\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}$

and the isothermal compressibility

$\beta _{T}\equiv -{\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)_{T}$

by writing

$dV=\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{T}dP+\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}dT=V\left(\alpha dT-\beta _{T}\,dP\right)$ (2)

and equating dV to zero and solving for the ratio dP/dT. This gives

$\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{V}=-{\frac {\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}}{\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)_{T}}}={\frac {\alpha }{\beta _{T}}}.$ (3)

Substituting (2) and (3) in (1) gives the above expression.

Изменения из-за объема при постоянной температуре

Внутреннее давление определяется как частная производная внутренней энергии по объему при постоянной температуре:

$\pi _{T}=\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}.$

Внутренняя энергия многокомпонентных систем

Помимо учета энтропии $S$ и объем $V$ С точки зрения внутренней энергии система часто описывается также с точки зрения количества содержащихся в ней частиц или химических соединений:

$U=U(S,V,N_{1},\ldots ,N_{n}),$

где $N_{j}$ представляют собой мольные количества компонентов типа $j$в системе. Внутренняя энергия является экстенсивной функцией экстенсивных переменных. $S$, $V$, и суммы $N_{j}$, внутреннюю энергию можно записать как линейно однородную функцию первой степени:

$U(\alpha S,\alpha V,\alpha N_{1},\alpha N_{2},\ldots )=\alpha U(S,V,N_{1},N_{2},\ldots ),$

где $\alpha$является фактором, описывающим рост системы. Дифференциальную внутреннюю энергию можно записать как

$\mathrm {d} U={\frac {\partial U}{\partial S}}\mathrm {d} S+{\frac {\partial U}{\partial V}}\mathrm {d} V+\sum _{i}\ {\frac {\partial U}{\partial N_{i}}}\mathrm {d} N_{i}\ =T\,\mathrm {d} S-P\,\mathrm {d} V+\sum _{i}\mu _{i}\mathrm {d} N_{i},$

который показывает (или определяет) температуру $T$ быть частной производной от $U$ относительно энтропии $S$ и давление $P$ быть отрицательным значением аналогичной производной по объему $V$,

$T={\frac {\partial U}{\partial S}},$

$P=-{\frac {\partial U}{\partial V}},$

и где коэффициенты $\mu _{i}$ – химические потенциалы для компонентов типа $i$в системе. Химические потенциалы определяются как частные производные внутренней энергии с учетом изменений состава:

$\mu _{i}=\left({\frac {\partial U}{\partial N_{i}}}\right)_{S,V,N_{j\neq i}}.$

Как сопряженные переменные композиции $\lbrace N_{j}\rbrace$Химические потенциалы представляют собой интенсивные свойства , внутренне характерные для качественной природы системы и не пропорциональные ее протяженности. В условиях постоянного $T$ и $P$из-за обширного характера $U$ и его независимые переменные, используя теорему Эйлера об однородной функции , дифференциал $\mathrm {d} U$ можно проинтегрировать и дает выражение для внутренней энергии:

$U=TS-PV+\sum _{i}\mu _{i}N_{i}.$

Сумма по составу системы представляет собой свободную энергию Гиббса :

$G=\sum _{i}\mu _{i}N_{i}$

возникающее в результате изменения состава системы при постоянных температуре и давлении. Для однокомпонентной системы химический потенциал равен энергии Гиббса, приходящейся на количество вещества, т. е. частиц или молей согласно первоначальному определению единицы измерения. $\lbrace N_{j}\rbrace$.

Внутренняя энергия в упругой среде

Для упругой среды механическая энергия внутренней энергии выражается через напряжение $\sigma _{ij}$ и напряжение $\varepsilon _{ij}$участвует в упругих процессах. В обозначениях Эйнштейна для тензоров с суммированием по повторяющимся индексам для единицы объема утверждение о бесконечно малой величине имеет вид

$\mathrm {d} U=T\mathrm {d} S+\sigma _{ij}\mathrm {d} \varepsilon _{ij}.$

Теорема Эйлера для внутренней энергии дает:

$U=TS+{\frac {1}{2}}\sigma _{ij}\varepsilon _{ij}.$

Для линейно упругого материала напряжение связано с деформацией соотношением

$\sigma _{ij}=C_{ijkl}\varepsilon _{kl},$

где $C_{ijkl}$ – компоненты тензора упругих постоянных среды четвертого ранга.

Упругие деформации, такие как звук , проходящий через тело, или другие формы макроскопического внутреннего возбуждения или турбулентного движения создают состояния, когда система не находится в термодинамическом равновесии. Пока такие энергии движения продолжаются, они вносят свой вклад в общую энергию системы; термодинамическая внутренняя энергия имеет место только тогда, когда такие движения прекратились.

История

Джеймс Джоуль изучал взаимосвязь между теплотой, работой и температурой. Он заметил, что трение в жидкости, например, вызванное ее перемешиванием при работе лопастного колеса, вызывает повышение ее температуры, которое он описал как выделение определенного количества тепла . Выраженный в современных единицах, он обнаружил, что c. Для повышения температуры одного килограмма воды на один градус Цельсия понадобилось 4186 джоулей энергии.

См. также

• Калориметрия
• Энтальпия
• Эксергия
• Термодинамические уравнения
• Термодинамические потенциалы
• Свободная энергия Гиббса
• Свободная энергия Гельмгольца

Ссылки

Библиография цитируемых ссылок

• Адкинс, CJ (1968/1975). Равновесная термодинамика , второе издание, McGraw-Hill, Лондон, ISBN   0-07-084057-1 .
• Бейлин, М. (1994). Обзор термодинамики , Американский институт физики, Нью-Йорк, ISBN   0-88318-797-3 .
• Борн, М. (1949). Естественная философия причины и шанса , Издательство Оксфордского университета, Лондон.
• Каллен, Х.Б. (1960/1985), Термодинамика и введение в термостатистику (первое издание 1960 г.), второе издание 1985 г., John Wiley & Sons, Нью-Йорк, ISBN   0-471-86256-8 .
• Кроуфорд, ФРГ (1963). Тепло, термодинамика и статистическая физика , Руперт Харт-Дэвис, Лондон, Harcourt, Brace & World, Inc.
• Хаазе, Р. (1971). Обзор фундаментальных законов, глава 1 « Термодинамики » , страницы 1–97 тома 1, изд. В. Йост, физическая химия. Продвинутый трактат , изд. Х. Айринг, Д. Хендерсон, В. Йост, Academic Press, Нью-Йорк, lcn 73–117081.
• Томас В. Леланд-младший, Г. А. Мансури (редактор), Основные принципы классической и статистической термодинамики (PDF) .
• Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (1986). Теория упругости (Курс теоретической физики том 7) . (Перевод с русского Дж. Б. Сайкса и У. Х. Рида) (Третье изд.). Бостон, Массачусетс: Баттерворт Хайнеманн. ISBN  978-0-7506-2633-0 .
• Мюнстер, А. (1970), Классическая термодинамика, перевод Э.С. Хальберштадта, Wiley – Interscience, Лондон, ISBN   0-471-62430-6 .
• Планк, М. (1923/1927). Трактат по термодинамике , перевод А. Огга, третье английское издание, Longmans, Green and Co. , Лондон.
• Чогль, Северо-Запад (2000). Основы равновесной и стационарной термодинамики, Elsevier, Амстердам, ISBN   0-444-50426-5 .

Библиография

• Альберти, РА (2001). «Использование преобразований Лежандра в химической термодинамике» (PDF) . Чистое приложение. Хим . 73 (8): 1349–1380. дои : 10.1351/pac200173081349 . S2CID   98264934 .
• Льюис, Гилберт Ньютон; Рэндалл, Мерл: отредактировано Питцером, Кеннетом С. и Брюэром, Лео (1961). Термодинамика (2-е изд.). McGraw-Hill Book Co. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, США: ISBN  978-0-07-113809-3 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )