Длина свободного пробега

В физике частица средняя длина свободного пробега — это среднее расстояние, на которое движущаяся ( например, атом , молекула или фотон ) проходит до того, как существенно изменит свое направление или энергию (или, в определенном контексте, другие свойства), обычно как результат одного или нескольких последовательных столкновений с другими частицами.

Теория рассеяния

Плита цели

Представьте себе, что пучок частиц пролетает сквозь мишень, и рассмотрим бесконечно тонкую пластинку мишени (см. рисунок). Атомы (или частицы), которые могут остановить частицу пучка, показаны красным. Величина средней длины свободного пробега зависит от характеристик системы. Предполагая, что все частицы мишени покоятся, а движется только частица пучка, это дает выражение для средней длины свободного пробега:

$\ell =(\sigma n)^{-1},$

где ℓ — средняя длина свободного пробега, n — количество частиц-мишеней в единице объема, а σ — эффективная площадь поперечного сечения при столкновении.

Площадь плиты L ² , а его объем L ²  дх . Типичное число останавливающихся атомов в пластине — это концентрация , умноженная на объем, т. е. n L ²  дх . Вероятность того, что частица пучка будет остановлена ​​в этой пластине, равна чистой площади остановившихся атомов, деленной на общую площадь пластины:

${\mathcal {P}}({\text{stopping within }}dx)={\frac {{\text{Area}}_{\text{atoms}}}{{\text{Area}}_{\text{slab}}}}={\frac {\sigma nL^{2}\,dx}{L^{2}}}=n\sigma \,dx,$

где σ — площадь (или, более формально, « сечение рассеяния ») одного атома.

Падение интенсивности луча равно интенсивности входящего луча, умноженной на вероятность остановки частицы внутри плиты:

$dI=-In\sigma \,dx.$

Это обыкновенное дифференциальное уравнение :

${\frac {dI}{dx}}=-In\sigma {\overset {\text{def}}{=}}-{\frac {I}{\ell }},$

решение которого известно как закон Бера – Ламберта и имеет вид $I=I_{0}e^{-x/\ell }$, где x — расстояние, пройденное лучом через мишень, а I ₀ — интенсивность луча до его попадания в мишень; ℓ называется средней длиной свободного пробега, поскольку она равна среднему расстоянию, пройденному частицей пучка до остановки. Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что вероятность того, что частица поглотится между x и x + dx, определяется выражением

$d{\mathcal {P}}(x)={\frac {I(x)-I(x+dx)}{I_{0}}}={\frac {1}{\ell }}e^{-x/\ell }dx.$

Таким образом, математическое ожидание (или среднее, или просто среднее) x равно

$\langle x\rangle {\overset {\text{def}}{=}}\int _{0}^{\infty }xd{\mathcal {P}}(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{\ell }}e^{-x/\ell }\,dx=\ell .$

Доля частиц, которые не задерживаются ( ослабляются ) пластиной, называется пропусканием. $T=I/I_{0}=e^{-x/\ell }$, где x равен толщине плиты.

Кинетическая теория газов

В кинетической теории газов средняя длина свободного пробега частицы, например молекулы , — это среднее расстояние, которое частица проходит между столкновениями с другими движущимися частицами. Приведенный выше вывод предполагал, что частицы мишени находятся в состоянии покоя; поэтому в действительности формула $\ell =(n\sigma )^{-1}$ справедливо для пучковой частицы с высокой скоростью $v$относительно скоростей ансамбля одинаковых частиц со случайным расположением. В этом случае движения частиц мишени сравнительно незначительны, следовательно, относительная скорость $v_{\rm {rel}}\approx v$.

Если, с другой стороны, частица пучка является частью установившегося равновесия с идентичными частицами, то квадрат относительной скорости равен:

${\overline {\mathbf {v} _{\rm {relative}}^{2}}}={\overline {(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})^{2}}}={\overline {\mathbf {v} _{1}^{2}+\mathbf {v} _{2}^{2}-2\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}}}.$

В равновесии, $\mathbf {v} _{1}$ и $\mathbf {v} _{2}$ случайны и некоррелированы, поэтому ${\overline {\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}}}=0$, а относительная скорость

$v_{\rm {rel}}={\sqrt {\overline {\mathbf {v} _{\rm {relative}}^{2}}}}={\sqrt {\overline {\mathbf {v} _{1}^{2}+\mathbf {v} _{2}^{2}}}}={\sqrt {2}}v.$

Это означает, что число столкновений ${\sqrt {2}}$раз больше, чем со стационарными целями. Таким образом, применяется следующее соотношение:

$\ell =({\sqrt {2}}\,n\sigma )^{-1},$

и использование $n=N/V=p/(k_{\text{B}}T)$ ( закон идеального газа ) и $\sigma =\pi d^{2}$ (эффективная площадь поперечного сечения для сферических частиц диаметром $d$), можно показать, что средний свободный пробег равен

$\ell ={\frac {k_{\text{B}}T}{{\sqrt {2}}\pi d^{2}p}},$

где k _B – постоянная Больцмана , $p$ давление газа и $T$ это абсолютная температура.

На практике диаметр молекул газа точно не определен. Фактически, кинетический диаметр молекулы определяется длиной свободного пробега. Обычно молекулы газа не ведут себя как твердые сферы, а скорее притягивают друг друга на больших расстояниях и отталкивают друг друга на меньших расстояниях, что можно описать с помощью потенциала Леннарда-Джонса . Один из способов справиться с такими «мягкими» молекулами — использовать в качестве диаметра параметр Леннарда-Джонса σ.

Другой способ — предположить, что газ твердых сфер имеет ту же вязкость , что и рассматриваемый газ. Это приводит к среднему свободному пути

$\ell ={\frac {\mu }{\rho }}{\sqrt {\frac {\pi m}{2k_{\text{B}}T}}}={\frac {\mu }{p}}{\sqrt {\frac {\pi k_{\text{B}}T}{2m}}},$

где $m$ молекулярная масса, $\rho =mp/(k_{\text{B}}T)$— плотность идеального газа, μ — динамическая вязкость. Это выражение можно представить в следующем удобном виде

$\ell ={\frac {\mu }{p}}{\sqrt {\frac {\pi R_{\rm {specific}}T}{2}}},$

с $R_{\rm {specific}}=k_{\text{B}}/m$ — удельная газовая постоянная , равная 287 Дж/(кг*К) для воздуха.

В следующей таблице приведены некоторые типичные значения для воздуха при различных давлениях при комнатной температуре. Обратите внимание, что разные определения диаметра молекулы, а также разные предположения о величине атмосферного давления (100 против 101,3 кПа) и комнатной температуры (293,17 К против 296,15 К или даже 300 К) могут привести к несколько разным значениям среднего свободного путь.

Диапазон вакуума	Давление в гПа ( мбар )	Давление в мм рт.ст. ( Торр )	числовая плотность ( Молекулы /см 3 )	плотность числа ( Молекул / м 3 )	Длина свободного пробега
Давление внешней среды	1013	759.8	2.7 × 10 19	2.7 × 10 25	64 – 68 нм
Низкий вакуум	300 – 1	220 – 8×10 −1	10 19 – 10 16	10 25 – 10 22	0,1 – 100 мкм
Средний вакуум	1 – 10 −3	8×10 −1 – 8×10 −4	10 16 – 10 13	10 22 – 10 19	0,1 – 100 мм
Высокий вакуум	10 −3 – 10 −7	8×10 −4 – 8×10 −8	10 13 – 10 9	10 19 – 10 15	10 см - 1 км
Сверхвысокий вакуум	10 −7 – 10 −12	8×10 −8 – 8×10 −13	10 9 – 10 4	10 15 – 10 10	1 км – 10 5 км
Чрезвычайно высокий вакуум	<10 −12	<8×10 −13	<10 4	<10 10	>10 5 км

В других областях

Рентгенография

Средняя длина свободного пробега фотонов в диапазоне энергий от 1 кэВ до 20 МэВ для элементов с Z = от 1 до 100. Разрывы обусловлены низкой плотностью газовых элементов. Шесть полос соответствуют окрестностям шести благородных газов . Также показано расположение краев поглощения .

В гамма- радиографии средняя длина свободного пробега карандашного луча моноэнергетических фотонов представляет собой среднее расстояние, которое фотон проходит между столкновениями с атомами материала мишени. Это зависит от материала и энергии фотонов:

$\ell =\mu ^{-1}=((\mu /\rho )\rho )^{-1},$

где μ — коэффициент линейного затухания , μ/ρ — массовый коэффициент затухания , а ρ — плотность материала. Коэффициент массового затухания можно найти или рассчитать для любой комбинации материалов и энергии, используя базы данных Национального института стандартов и технологий (NIST).

В рентгеновской радиографии расчет средней длины свободного пробега более сложен, поскольку фотоны не моноэнергетичны, а имеют некоторое распределение энергий, называемое спектром . Когда фотоны движутся через материал мишени, они ослабляются с вероятностью, зависящей от их энергии, в результате чего их распределение изменяется в процессе, называемом упрочнением спектра. Из-за ужесточения спектра длина свободного пробега спектра рентгеновского меняется с расстоянием.

Иногда толщину материала измеряют по числу средних свободных пробегов . Материал толщиной в одну среднюю длину свободного пробега будет ослаблять до 37% (1/ e ) фотонов. Эта концепция тесно связана со слоем половинной плотности (HVL): материал толщиной в один HVL будет ослаблять 50% фотонов. Стандартное рентгеновское изображение представляет собой просвечивающее изображение, изображение с отрицательным логарифмом его интенсивностей иногда называют изображением числа средних свободных пробегов .

Электроника

Смотрите также: Баллистическая проводимость

При макроскопическом переносе заряда длина свободного пробега носителя заряда в металле $\ell$ пропорциональна электрической подвижности $\mu$, величина, непосредственно связанная с электропроводностью , то есть:

$\mu ={\frac {q\tau }{m}}={\frac {q\ell }{m^{*}v_{\rm {F}}}},$

где q — заряд , $\tau$ среднее свободное время , м ^* – эффективная масса , v _F – ферми-скорость носителя заряда. Скорость Ферми можно легко получить из энергии Ферми с помощью нерелятивистского уравнения кинетической энергии. Однако в тонких пленках толщина пленки может быть меньше прогнозируемой длины свободного пробега, что делает поверхностное рассеяние гораздо более заметным и эффективно увеличивает удельное сопротивление .

Подвижность электронов в среде с размерами, меньшими длины свободного пробега электронов, происходит за счет баллистической проводимости или баллистического транспорта. В таких сценариях электроны меняют свое движение только при столкновениях со стенками проводника.

Оптика

Если взять суспензию несветопоглощающих частиц диаметром d с объемной долей Φ , то длина свободного пробега фотонов составит:

$\ell ={\frac {2d}{3\Phi Q_{\text{s}}}},$

где Q _s — коэффициент эффективности рассеяния. Q _s можно оценить численно для сферических частиц с использованием теории Ми .

Акустика

В пустой полости средняя длина свободного пробега отдельной частицы, отскакивающей от стенок, равна:

$\ell ={\frac {FV}{S}},$

где V — объем полости, S — общая площадь внутренней поверхности полости, а F — константа, связанная с формой полости. Для большинства простых форм полостей F составляет примерно 4.

Это соотношение используется при выводе уравнения Сабина в акустике с использованием геометрической аппроксимации распространения звука.

и физика элементарных

В физике элементарных частиц понятие длины свободного пробега обычно не используется, его заменяет аналогичное понятие длины затухания . В частности, для фотонов высоких энергий, которые в основном взаимодействуют посредством образования пар электрон-позитрон , длина излучения используется так же, как длина свободного пробега в рентгенографии.

Модели независимых частиц в ядерной физике требуют невозмущенного вращения нуклонов внутри ядра до того, как они начнут взаимодействовать с другими нуклонами.

Эффективная длина свободного пробега нуклона в ядерной материи должна быть несколько больше размеров ядра, чтобы можно было использовать модель независимых частиц. Это требование, по-видимому, находится в противоречии с предположениями, сделанными в теории... Мы сталкиваемся здесь с одной из фундаментальных проблем физики структуры ядра, которая еще не решена.

- Джон Маркус Блатт и Виктор Вайскопф , Теоретическая ядерная физика (1952).

См. также

• Теория рассеяния
• Баллистическая проводимость
• Вакуум
• число Кнудсена
• Оптика

Внешние ссылки

• Калькулятор среднего свободного пути
• Gas Dynamics Toolbox : расчет средней длины свободного пробега для смесей газов с использованием модели VHS.