число Кнудсена

Число Кнудсена ( Kn ) представляет собой безразмерное число, определяемое как отношение молекулы средней длины свободного пробега к репрезентативному физическому масштабу длины . Этот масштаб длины может быть, например, радиусом тела в жидкости. Число названо в честь датского физика Мартина Кнудсена (1871–1949).

Число Кнудсена помогает определить, следует ли использовать статистическую механику или механике сплошной среды в формулировку динамики жидкости для моделирования ситуации. Если число Кнудсена близко или больше единицы, длина свободного пробега молекулы сравнима с масштабом задачи, и предположение о континууме механики жидкости больше не является хорошим приближением. В таких случаях следует использовать статистические методы.

Определение

Число Кнудсена – это безразмерное число, определяемое как

$\mathrm {Kn} \ ={\frac {\lambda }{L}},$

где

$\lambda$ = средняя длина свободного пробега [L ¹ ],

$L$ = представительный физический масштаб длины [L ¹ ].

Репрезентативным масштабом длины считается: $L$, может соответствовать различным физическим характеристикам системы, но чаще всего относится к длине зазора , на котором происходит тепловой перенос или массоперенос через газовую фазу. Так обстоит дело с пористыми и зернистыми материалами, где теплоперенос через газовую фазу сильно зависит от ее давления и, как следствие, от длины свободного пробега молекул в этой фазе. Для Больцмана газа среднюю длину свободного пробега можно легко вычислить, так что

$\mathrm {Kn} \ ={\frac {k_{\text{B}}T}{{\sqrt {2}}\pi d^{2}pL}}={\frac {k_{\text{B}}}{{\sqrt {2}}\pi d^{2}\rho R_{s}L}},$

где

$k_{\text{B}}$ — постоянная Больцмана (1,380649 × 10 ⁻²³ Дж/К в единицах СИ ) [M ¹ л ² Т ⁻² че ⁻¹ ],

$T$ – термодинамическая температура [θ ¹ ],

$d$ – диаметр твердой оболочки частицы [L ¹ ],

$p$ – статическое давление [M ¹ л ⁻¹ Т ⁻² ],

$R_{s}$ – удельная газовая постоянная [L ² Т ⁻² я ⁻¹ ] (287,05 Дж/(кг К) для воздуха),

$\rho$ – плотность [M ¹ л ⁻³ ].

Если температура увеличивается, но объем остается постоянным, то число Кнудсена (и длина свободного пробега) не изменяются (для идеального газа ). В этом случае плотность остается прежней. Если температуру повысить, а давление сохранить постоянным, то газ расширяется и, следовательно, его плотность уменьшается. В этом случае увеличивается длина свободного пробега и число Кнудсена. Следовательно, может быть полезно иметь в виду, что длина свободного пробега (и, следовательно, число Кнудсена) действительно зависит от термодинамической переменной плотности (пропорциональной обратной плотности) и лишь косвенно от температуры и давления.

Для динамики частиц в атмосфере и при условии стандартных температуры и давления , т. е. 0 °C и 1 атм, мы имеем $\lambda$ ≈ 8 × 10 ⁻⁸ м (80 нм).

Связь с числами Маха и Рейнольдса в газах

Число Кнудсена можно соотнести с числом Маха и числом Рейнольдса .

Использование динамической вязкости

$\mu ={\frac {1}{2}}\rho {\bar {c}}\lambda ,$

со средней скоростью молекулы (из распределения Максвелла-Больцмана )

${\bar {c}}={\sqrt {\frac {8k_{\text{B}}T}{\pi m}}},$

средний свободный пробег определяется следующим образом:

$\lambda ={\frac {\mu }{\rho }}{\sqrt {\frac {\pi m}{2k_{\text{B}}T}}}.$

При делении на L (некоторая характерная длина) получается число Кнудсена:

$\mathrm {Kn} \ ={\frac {\lambda }{L}}={\frac {\mu }{\rho L}}{\sqrt {\frac {\pi m}{2k_{\text{B}}T}}},$

где

${\bar {c}}$ — средняя скорость молекул из распределения Максвелла – Больцмана [L ¹ Т ⁻¹ ],

T – термодинамическая температура [θ ¹ ],

μ — динамическая вязкость [M ¹ л ⁻¹ Т ⁻¹ ],

m – молекулярная масса [M ¹ ],

k _B — постоянная Больцмана [M ¹ л ² Т ⁻² я ⁻¹ ],

$\rho$ – плотность [M ¹ л ⁻³ ].

Безразмерное число Маха можно записать как

$\mathrm {Ma} ={\frac {U_{\infty }}{c_{\text{s}}}},$

где скорость звука определяется выражением

$c_{\text{s}}={\sqrt {\frac {\gamma RT}{M}}}={\sqrt {\frac {\gamma k_{\text{B}}T}{m}}},$

где

U _∞ — скорость набегающего потока [L ¹ Т ⁻¹ ],

R — универсальная газовая постоянная (в СИ , 8,314 47215 Дж. ⁻¹ моль ⁻¹ ) [М ¹ л ² Т ⁻² я ⁻¹ моль ⁻¹ ],

M – молярная масса [M ¹ моль ⁻¹ ],

$\gamma$ – отношение теплоемкостей [1].

Безразмерное число Рейнольдса можно записать как

$\mathrm {Re} ={\frac {\rho U_{\infty }L}{\mu }}.$

Разделив число Маха на число Рейнольдса:

${\frac {\mathrm {Ma} }{\mathrm {Re} }}={\frac {U_{\infty }/c_{\text{s}}}{\rho U_{\infty }L/\mu }}={\frac {\mu }{\rho Lc_{\text{s}}}}={\frac {\mu }{\rho L{\sqrt {\frac {\gamma k_{\text{B}}T}{m}}}}}={\frac {\mu }{\rho L}}{\sqrt {\frac {m}{\gamma k_{\text{B}}T}}}$

и умножив на ${\sqrt {\frac {\gamma \pi }{2}}}$ дает число Кнудсена:

${\frac {\mu }{\rho L}}{\sqrt {\frac {m}{\gamma k_{\text{B}}T}}}{\sqrt {\frac {\gamma \pi }{2}}}={\frac {\mu }{\rho L}}{\sqrt {\frac {\pi m}{2k_{\text{B}}T}}}=\mathrm {Kn} .$

Таким образом, числа Маха, Рейнольдса и Кнудсена связаны соотношением

$\mathrm {Kn} \ ={\frac {\mathrm {Ma} }{\mathrm {Re} }}{\sqrt {\frac {\gamma \pi }{2}}}.$

Приложение

Число Кнудсена можно использовать для определения разрежения потока:

• $\mathrm {Kn} <0.01$: Непрерывный поток
• $0.01<\mathrm {Kn} <0.1$: Скользящий поток
• $0.1<\mathrm {Kn} <10$: Переходный поток
• $\mathrm {Kn} >10$: Свободный молекулярный поток

Эта классификация режимов является эмпирической и зависит от проблемы, но оказалась полезной для адекватного моделирования потоков.

Проблемы с высокими числами Кнудсена включают расчет движения пылевой частицы через нижние слои атмосферы и движения спутника через экзосферу . Одно из наиболее широко используемых применений числа Кнудсена - это микрофлюидика и конструкция устройств MEMS , где потоки варьируются от континуальных до свободномолекулярных. В последние годы его стали применять и в других дисциплинах, таких как транспорт в пористых средах, например, в нефтяных резервуарах. Говорят, что движение жидкостей в ситуациях с высоким числом Кнудсена демонстрирует поток Кнудсена , также называемый свободномолекулярным потоком .

Воздушный поток вокруг самолета, такого как авиалайнер, имеет низкое число Кнудсена, что делает его прочным элементом механики сплошных сред. поправку на закон Стокса Используя число Кнудсена , можно внести в поправочный коэффициент Каннингема , это поправка на силу сопротивления из-за скольжения мелких частиц (т.е. d _p < 5 мкм). Поток воды через сопло обычно представляет собой ситуацию с низким числом Кнудсена.

Смеси газов с разной молекулярной массой можно частично разделить, пропуская смесь через небольшие отверстия в тонкой стенке, поскольку число молекул, проходящих через отверстие, пропорционально давлению газа и обратно пропорционально его молекулярной массе. Этот метод использовался для разделения смесей изотопов , таких как уран , с использованием пористых мембран. Он также был успешно продемонстрирован для использования в производстве водорода из воды.

Число Кнудсена также играет важную роль в теплопроводности газов. Например, для изоляционных материалов, в которых газы содержатся под низким давлением, число Кнудсена должно быть как можно выше, чтобы обеспечить низкую теплопроводность .

См. также

• Поправочный коэффициент Каннингема - число, используемое для корректировки расчетов сопротивления мелких частиц в жидкости.
• Гидродинамика - аспекты механики жидкости, связанные с потоком.
• Число Маха - соотношение скорости объекта, движущегося в жидкости, и местной скорости звука.
• Свободномолекулярный поток , также известный как поток Кнудсена – поток газа с большой средней длиной свободного молекулярного пути.
• Диффузия Кнудсена - поведение частиц в системах с длиной меньше средней длины свободного пробега.
• Парадокс Кнудсена

Внешние ссылки

• Калькуляторы чисел Кнудсена и коэффициента диффузии