Турбулентное число Прандтля

Турбулентное число Прандтля ( Pr _t ) представляет собой безразмерный импульса термин, определяемый как отношение между вихревой диффузией и вихревой диффузией теплопередачи. Это полезно для решения задачи теплопередачи турбулентных течений в пограничном слое. Простейшей моделью Pr _t является аналогия Рейнольдса , которая дает турбулентное число Прандтля, равное 1. Согласно экспериментальным данным, Pr _t имеет среднее значение 0,85, но колеблется от 0,7 до 0,9 в зависимости от числа Прандтля рассматриваемой жидкости.

Определение

Введение вихревой диффузии и, следовательно, турбулентного числа Прандтля позволяет определить простую взаимосвязь между дополнительным напряжением сдвига и тепловым потоком, присутствующим в турбулентном потоке. Если импульс и температуропроводность вихрей равны нулю (нет кажущегося турбулентного напряжения сдвига и теплового потока), то уравнения турбулентного потока сводятся к ламинарным уравнениям. Мы можем определить вихревую диффузию для передачи импульса. $\varepsilon _{M}$ и теплопередача $\varepsilon _{H}$ как
$-{\overline {u'v'}}=\varepsilon _{M}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}$ и $-{\overline {v'T'}}=\varepsilon _{H}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}$
где $-{\overline {u'v'}}$ - кажущееся турбулентное напряжение сдвига и $-{\overline {v'T'}}$ – кажущийся турбулентный тепловой поток.
Тогда турбулентное число Прандтля определяется как
$\mathrm {Pr} _{\mathrm {t} }={\frac {\varepsilon _{M}}{\varepsilon _{H}}}.$

Было показано, что турбулентное число Прандтля обычно не равно единице (например, Malhotra and Kang, 1984; Kays, 1994; McEligot and Taylor, 1996; and Churchill, 2002). Это сильная функция молекулярного числа Прандтля среди других параметров, и аналогия Рейнольдса неприменима, когда молекулярное число Прандтля значительно отличается от единицы, как определено Малхотрой и Кангом; и разработан МакЭлиготом и Тейлором и Черчилль

Приложение

Уравнение турбулентного импульса пограничного слоя:
${\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {d{\bar {P}}}{dx}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\nu {\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}-{\overline {u'v'}})\right].$
Уравнение турбулентного теплового пограничного слоя,
${\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left(\alpha {\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}-{\overline {v'T'}}\right).$Подстановка вихревой диффузии в уравнения импульса и теплопроводности дает
${\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {d{\bar {P}}}{dx}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\nu +\varepsilon _{M}){\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}\right]$
и
${\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\alpha +\varepsilon _{H}){\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}\right].$
Подставьте в уравнение теплопроводности, используя определение турбулентного числа Прандтля, чтобы получить
${\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\alpha +{\frac {\varepsilon _{M}}{\mathrm {Pr} _{\mathrm {t} }}}){\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}\right].$

Последствия

В частном случае, когда число Прандтля и турбулентное число Прандтля равны единице (как в аналогии Рейнольдса ), профиль скорости и профиль температуры идентичны. Это существенно упрощает решение проблемы теплопередачи. Если число Прандтля и турбулентное число Прандтля отличны от единицы, то решение возможно, если знать турбулентное число Прандтля, чтобы можно было решить уравнения импульса и теплопроводности.

В общем случае трехмерной турбулентности понятия вихревой вязкости и вихревой диффузии не справедливы. Следовательно, турбулентное число Прандтля не имеет смысла.

Книги

• Кейс, Уильям; Кроуфорд, М.; Вейганд, Б. (2005). Конвективный тепло- и массоперенос, четвертое издание . МакГроу-Хилл. ISBN  978-0-07-246876-2 .