Вихревая диффузия

Моделирование вихревой диффузии пакета черной жидкости в белой жидкости.

В гидродинамике вихревая диффузия , вихревая дисперсия или турбулентная диффузия — это процесс, при котором жидкие вещества смешиваются вместе из-за вихревого движения . Эти вихри могут сильно различаться по размеру, от субтропических океанских круговоротов до небольших колмогоровских микромасштабов , и возникают в результате турбулентности (или турбулентного потока). Теория вихревой диффузии была впервые разработана сэром Джеффри Ингрэмом Тейлором .

В ламинарных потоках свойства материала (соль, тепло, влажность, аэрозоли и т. д.) смешиваются в результате хаотического движения отдельных молекул. По чисто вероятностному аргументу чистый поток молекул из области с высокой концентрацией в область с низкой концентрацией выше, чем поток в противоположном направлении. Этот нисходящий поток уравновешивает профиль концентрации с течением времени. Это явление называется молекулярной диффузией , и его математический аспект отражен в уравнении диффузии .

В турбулентных потоках, помимо смешивания посредством молекулярной диффузии, вихри перемешивают ( Вихревая диффузия § Примечание о перемешивании и смешивании ) жидкость. Это приводит к тому, что порции жидкости из разных начальных положений и, следовательно, различных связанных с ними концентраций проникают в области жидкости с разными начальными концентрациями. Это приводит к гомогенизации свойств жидкости в масштабе больше, чем у вихрей, ответственных за перемешивание, очень эффективным способом по сравнению с движением отдельных молекул. В большинстве макроскопических течений в природе вихревая диффузия на несколько порядков сильнее молекулярной диффузии. Иногда это приводит к тому, что последним при изучении турбулентных течений пренебрегают.

Проблема с турбулентной диффузией в атмосфере и за ее пределами заключается в том, что не существует единой модели, основанной на фундаментальной физике, которая объясняла бы все ее важные аспекты. Существует два альтернативных подхода с непересекающимися областями полезности. Согласно теории градиентного переноса, диффузионный поток в фиксированной точке жидкости пропорционален локальному градиенту концентрации. Эта теория является эйлеровой по своей природе, т.е. она описывает свойства жидкости в пространственно фиксированной системе координат (см. Лагранжева и эйлерова спецификация жидкости ). Напротив, статистические теории диффузии следуют за движением жидких частиц и, таким образом, являются лагранжевыми. Кроме того, вычислительные подходы можно классифицировать как теории непрерывного или прерывистого движения, в зависимости от того, предполагают ли они, что частицы движутся непрерывно или дискретными шагами.

Исторические события

Теория вихревой диффузии была первоначально разработана примерно в конце 1910-х годов Г.И. Тейлором. и Л. Ф. Ричардсон в Англии и В. Шмидтом в Австрии как прямое обобщение классической теории молекулярной диффузии . Они выдвинули идею о том, что массовый эффект вихрей полностью подобен эффекту молекул, за исключением разницы в масштабах. В следующем разделе это описывается как «градиентная модель», название которой происходит от того факта, что диффузионные потоки пропорциональны локальному градиенту концентрации, как и в случае молекулярной диффузии.

Более поздние исследования (1930-е годы), главным образом О.Г. Саттона , указали на некоторые проблемы оригинального подхода. и выдвинул идею о том, что разница между вихревой структурой турбулентной жидкости и молекулярной структурой покоящейся жидкости более чем масштабна.

В течение следующих десятилетий был проведен ряд исследований с целью экспериментальной проверки сложившейся теории вихревой диффузии как для атмосферы, так и для океанских/озёрных тел, в основном обнаруживших согласие с исходной теорией. В частности, эксперименты по диффузии инородного материала в турбулентном потоке воды, вертикальная структура воды в озерных водоемах, и самая нижняя часть атмосферы нашел экспериментальные доказательства того, что вихревая диффузия действительно сильнее молекулярной диффузии и в целом подчиняется теории, первоначально разработанной Дж. И. Тейлором . Некоторые контрпримеры к исходной теории градиента приведены далее в статье.

Активные исследования в настоящее время сосредоточены на изучении вклада вихревой диффузии в известные процессы как в атмосфере, так и в океане. На основе исходной теории были построены новые модели и теории, полностью описывающие эти процессы. В частности, эти исследования включают механизмы вихревой диффузии для объяснения процессов, связанных с осаждением аэрозолей. внутренним гравитационным волнам в верхних слоях атмосферы, из-за диффузии глубоководных вихрей и плавучести поступлению питательных веществ на поверхность перемешанного слоя Антарктического циркумполярного течения .

Математическая формулировка вихревой диффузии

Источник:

математическая основа, основанная на уравнении непрерывности, В этом разделе разрабатывается для описания эволюции профиля концентрации во времени под действием вихревой диффузии. Поле скорости и концентрации разлагается на среднюю и флуктуационную (вихревую) составляющие. Затем получается, что поток концентрации, обусловленный вихрями, определяется ковариацией флуктуаций скорости и концентрации. Эта ковариация в принципе неизвестна, а это означает, что уравнение эволюции профиля концентрации не может быть решено без дополнительных предположений о ковариации. В следующем разделе представлено одно такое предположение (градиентная модель) и, таким образом, связано с основным результатом этого раздела. Следующий описывает совершенно другой статистический (и лагранжев) подход к проблеме.

Рассмотрим скалярное поле ${\textstyle \phi ({\vec {x}},t)}$, ${\textstyle {\vec {x}}}$ это позиция в фиксированной декартовой системе координат . В поле измеряется концентрация пассивных консервативных видов индикаторов (это может быть цветной краситель в эксперименте, соль в море или водяной пар в воздухе). Прилагательное «пассивный» означает, что, по крайней мере, в некотором приближении, трассер никоим образом не изменяет динамические свойства, такие как плотность или давление. Он просто движется вместе с потоком, не изменяя его. Это не совсем верно для многих «трассеров» в природе, таких как водяной пар или соль. «Сохраняющийся» означает, что нет абсолютных источников или стоков, трассер перемещается только за счет диффузии и адвекции .

Рассмотрим уравнение сохранения для ${\textstyle \phi ({\vec {x}},t)}$. Это обобщенное уравнение неразрывности жидкости с исходным членом в правой части. Источник соответствует молекулярной диффузии (а не чистому созданию/разрушению индикатора). Уравнение записано в эйлеровой форме (оно содержит частичную производную по времени):

$${\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot ({\vec {u}}\phi )=K_{0}\nabla ^{2}\phi$$

${\textstyle K_{0}}$ — коэффициент молекулярной диффузии ( массовой диффузии ).

Цель состоит в том, чтобы выяснить, как средний ламинарный поток взаимодействует с турбулентными вихрями, в частности, какое влияние это оказывает на транспорт трассера. В соответствии со стандартным разложением Рейнольдса поле концентрации можно разделить на его среднюю и флуктуирующую компоненты:

$$\phi ({\vec {x}},t)=\langle \phi ({\vec {x}},t)\rangle +\phi '({\vec {x}},t)$$

Аналогично и для поля скоростей:

$${\vec {u}}({\vec {x}},t)=\langle {\vec {u}}({\vec {x}},t)\rangle +{\vec {u}}'({\vec {x}},t)$$

Средний член (в угловых скобках) представляет собой ламинарную составляющую потока. Обратите внимание, что среднее поле обычно является функцией пространства и времени, а не просто константой. Усреднение в этом смысле не предполагает усреднение всех доступных данных в пространстве и времени, а просто фильтрацию турбулентного движения. Это означает, что область усреднения ограничена до такой степени, что все еще сглаживает турбулентность, но не стирает информацию о самом среднем потоке. Это предполагает, что масштабы вихрей и среднего течения можно разделить, что не всегда так. Можно максимально приблизиться к этому, правильно выбрав диапазон усреднения или, в идеале, выполнив усреднение по ансамблю, если эксперимент можно повторить. Короче говоря, процедура усреднения на практике не является тривиальной. В этом разделе тема рассматривается теоретически, и предполагается, что такая подходящая процедура усреднения существует. Колеблющийся (штрихованный) член обладает определяющим свойством, заключающимся в том, что он усредняется, т.е. ${\textstyle \langle \phi '\rangle =0}$. Он используется для описания турбулентности (вихрей), которая, помимо прочего, перемешивает жидкость.

Теперь можно приступить к разложению Рейнольдса. Используя тот факт, что ${\textstyle \langle \phi '\rangle =0}$ по определению можно усреднить все уравнение, чтобы исключить все турбулентные колебания ${\textstyle \phi '}$, за исключением нелинейных терминов (см. разложение Рейнольдса , напряжение Рейнольдса и усредненные по Рейнольдсу уравнения Навье – Стокса ). Нелинейный адвективный термин становится:

$${\begin{aligned}\langle {\vec {u}}\phi \rangle &=\langle \left(\langle {\vec {u}}\rangle +{\vec {u}}'\right)\left(\langle \phi \rangle +\phi '\right)\rangle \\&=\langle {\vec {u}}\rangle \langle \phi \rangle \ +\langle {\vec {u}}'\phi '\rangle \end{aligned}}$$ При подстановке в уравнение сохранения: $${\frac {\partial \langle \phi \rangle }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\langle {\vec {u}}\rangle \langle \phi \rangle \ +\langle {\vec {u}}'\phi '\rangle \right)=K_{0}\nabla ^{2}\langle \phi \rangle$$

Если переместить третий (турбулентный) член левой части в правую часть (в ${\textstyle \nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla }$), результат: $${\frac {\partial \langle \phi \rangle }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\langle {\vec {u}}\rangle \langle \phi \rangle \right)=\nabla \cdot \left(K_{0}\nabla \langle \phi \rangle -\langle {\vec {u}}'\phi '\rangle \right)$$ Это уравнение похоже на уравнение, с которого мы начали, за исключением (i) ${\textstyle {\vec {u}}}$ и ${\textstyle \phi }$ стали их ламинарными компонентами и (ii) появлением нового второго члена в правой части. Этот второй член имеет функцию, аналогичную члену напряжения Рейнольдса в усредненных по Рейнольдсу уравнениях Навье – Стокса .

Это была эйлерова трактовка. Эту проблему можно также изучить с лагранжевой точки зрения (включив некоторые члены в материальную производную ):

$${\frac {D\phi }{Dt}}+\phi \nabla \cdot {\vec {u}}=K_{0}\nabla ^{2}\phi$$

Определите среднюю материальную производную по формуле:

$${\frac {\overline {D}}{{\overline {D}}t}}={\frac {\partial }{\partial t}}+\langle {\vec {u}}\rangle \cdot \nabla$$

Это материальная производная, связанная со средним потоком (адвективный член содержит только ламинарную часть ${\textstyle {\vec {u}}}$). Можно распределить член дивергенции в правой части и использовать следующее определение материальной производной: $${\frac {{\overline {D}}\langle \phi \rangle }{{\overline {D}}t}}+\langle \phi \rangle \nabla \cdot \langle {\vec {u}}\rangle =\nabla \cdot \left(K_{0}\nabla \langle \phi \rangle -\langle {\vec {u}}'\phi '\rangle \right)$$ Это уравнение снова похоже на уравнение Лагранжа, с которого мы начали, с теми же оговорками (i) и (ii), что и в случае Эйлера, а также с определением величины среднего потока также для оператора производной. Последующий анализ вернется к эйлеровой картине.

Интерпретация вихревой диффузии следующая. ${\textstyle K_{0}\nabla \langle \phi \rangle }$ – поток пассивного трассера за счет молекулярной диффузии. Это всегда нисходящий градиент. Его расхождение соответствует накоплению (если оно отрицательное) или истощению (если положительное) концентрации индикатора за счет этого эффекта. Можно интерпретировать ${\textstyle -\langle {\vec {u}}'\phi '\rangle }$ термин, подобный потоку, возникающему из-за турбулентных вихрей, перемешивающих жидкость. Аналогичным образом, его расхождение приведет к накоплению/истощению трассера из-за турбулентных вихрей. Пока не указано, должен ли этот вихревой поток быть нисходящим, см. последующие разделы.

Можно также изучить баланс концентрации для небольшого объема жидкости. ${\textstyle V}$. Начните с формулировки Эйлера и используйте теорему о дивергенции : $${\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}\langle \phi \rangle {\text{d}}V=\oint K_{0}\nabla \langle \phi \rangle \cdot {\vec {n}}{\text{d}}A-\oint \langle \phi '{\vec {u}}'\rangle \cdot {\vec {n}}{\text{d}}A-\oint \langle \phi \rangle \langle {\vec {u}}\rangle \cdot {\vec {n}}{\text{d}}A$$ Три члена в правой части обозначают молекулярную диффузию, вихревую диффузию и адвекцию со средним потоком соответственно. Возникает проблема, что не существует отдельного уравнения для ${\textstyle \langle \phi '{\vec {u}}'\rangle }$. Замкнуть систему уравнений, не придумав модель этого члена, невозможно. Самый простой способ этого добиться — предположить, что, как и член молекулярной диффузии, он также пропорционален градиенту концентрации. ${\textstyle \langle \phi \rangle }$ (см. раздел «Теории, основанные на градиенте»). Дополнительную информацию см. в разделе Моделирование турбулентности .

Теория градиентной диффузии

Duration: 15 seconds.0:15

Пример эйлеровой системы отсчета частиц в ящике.

Простейшую модель турбулентной диффузии можно построить, проведя аналогию с вероятностным эффектом, вызывающим нисходящее градиентное течение в результате движения отдельных молекул (молекулярная диффузия). Рассмотрим инертный пассивный индикатор, диспергированный в жидкости с начальной пространственной концентрацией ${\textstyle \phi ({\vec {x}},t=0)}$. Пусть существует небольшая область жидкости с более высокой концентрацией трассера, чем ее окружение во всех направлениях. Он обменивается жидкостью (а вместе с ней и трассером) с окружающей средой посредством турбулентных водоворотов, которые представляют собой колеблющиеся потоки, движущиеся взад и вперед кажущимся случайным образом. Водовороты, текущие в регион из его окрестностей, статистически такие же, как и вихри, текущие из региона в его окрестности. Это связано с тем, что индикатор является «пассивным», поэтому пакет жидкости с более высокой концентрацией имеет такое же динамическое поведение, как и пакет жидкости с более низкой концентрацией. Ключевое отличие состоит в том, что те, которые текут наружу, несут гораздо больше трассеров, чем те, которые текут внутрь, поскольку концентрация внутри региона изначально выше, чем снаружи. Это можно определить количественно с помощью индикаторного потока. Поток имеет единицы измерения количества трассера на площадь за время, что соответствует умножению концентрации трассера на скорость. Локальная скорость накопления трассера ${\textstyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}}$ тогда будет зависеть от разницы исходящего и входящего потоков. В нашем примере исходящие потоки больше, чем входящие, что приводит к отрицательному локальному накоплению (т.е. истощению) трассера. Этот эффект в целом приведет к уравновешиванию исходного профиля. ${\textstyle \phi ({\vec {x}})}$ с течением времени, независимо от того, каким может быть первоначальный профиль. Чтобы иметь возможность рассчитать эту временную эволюцию, нужно знать, как рассчитывать поток. В этом разделе исследуется простейшая гипотеза: поток линейно связан с разницей концентраций (так же, как и молекулярная диффузия). Это также является наиболее интуитивным предположением из только что проведенного анализа. Поток в принципе является вектором. Этот вектор указывает в направлении транспорта трассера, и в данном случае он будет параллелен ${\textstyle -\nabla \phi ({\vec {x}})}$. Следовательно, модель обычно называют градиентной диффузией (или, что эквивалентно, нисходящей диффузией).

Грубый аргумент в пользу градиентной диффузии

Источник:

Концептуальная диаграмма простого вывода вихревой диффузии. Вихрь смешивает содержимое двух областей жидкости, впрыскивая потоки и нити взад и вперед квазислучайным образом. Реальный процесс гораздо более хаотичен, чем предполагает простая спираль. ${\textstyle \Phi _{1}}$ и ${\textstyle \Phi _{2}}$ обозначают концентрации одного и того же произвольного вещества, смешиваемого вихрем. Масштаб длины двух областей, на которые влияет вихрь на этом изображении, определяется масштабом длины вихря, а не наоборот.

Целью этого подраздела является простое, грубое и эвристическое объяснение того, как возникает математика градиентной диффузии. Более строгая и общая трактовка градиентной модели предлагается в следующем подразделе, который основывается непосредственно на разделе, посвященном общей математической трактовке (который еще не рассматривал градиентную модель на этой ранней стадии и оставлял ковариацию флуктуаций такой, какой она была). Средние пока не указаны явно для максимальной простоты обозначений. Также пока пренебрегаем молекулярной диффузией. ${\textstyle K_{0}}$, поскольку она обычно значительно меньше, чем вихревая диффузия, и отвлекает внимание от вихревого механизма.

Рассмотрим два соседних участка жидкости с центрами ${\textstyle \Delta x}$ отдельно. Они содержат объемные концентрации ${\textstyle \phi _{1}}$ и ${\textstyle \phi _{2}}$ инертного, пассивного трассера. Не ограничивая общности, пусть ${\textstyle \phi _{2}>\phi _{1}}$. Представьте себе, что один вихрь длиной ${\textstyle \Delta x}$ и масштаб скоростей ${\textstyle U}$ отвечает за непрерывное перемешивание материала между двумя посылками. Поток трассера, которым обмениваются через боковую границу двух участков, обозначен ${\textstyle J}$. Граница перпендикулярна ${\textstyle x}$-ось. Тогда поток от пакета 1 к пакету 2 будет, по крайней мере, по порядку величины:

$${\begin{aligned}J&=\phi _{1}U-\phi _{2}U\\&=-U\Delta \phi \\&=-(U\Delta x){\frac {\Delta \phi }{\Delta x}}\end{aligned}}$$

Этот аргумент можно рассматривать как физически мотивированный размерный анализ , поскольку он использует исключительно масштабы длины и скорости вихря для оценки потока трассера, который он генерирует. Если вся изучаемая область (считается, что она содержит большое количество таких пар) ${\textstyle \phi _{1}}$ и ${\textstyle \phi _{2}}$) намного больше масштаба длины вихря ${\textstyle \Delta x}$, можно приблизить ${\textstyle \Delta \phi }$ над ${\textstyle \Delta x}$ как производная концентрации в непрерывно меняющейся среде:

$$J=-(U\Delta x){\frac {\partial \phi }{\partial x}}$$

Основываясь на сходстве с законом диффузии Фика, термин в скобках можно интерпретировать как коэффициент диффузии. ${\textstyle K}$ связанный с этим турбулентным вихрем, определяемый произведением его длины и масштабов скорости.

$$J=-K{\frac {\partial \phi }{\partial x}}$$

используя одномерную форму уравнения неразрывности ${\textstyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {\partial J}{\partial x}}=0}$, мы можем написать:

$${\frac {\partial \phi }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(K{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)$$

Если ${\textstyle K}$ предполагается пространственно однородным, его можно выделить из производной и получить уравнение диффузии вида:

$${\frac {\partial \phi }{\partial t}}=K{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}$$

Это типичный пример параболического уравнения в частных производных . Оно также известно как уравнение теплопроводности . Ее фундаментальное решение для точечного источника при ${\textstyle x=0}$ является:

$$\phi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi Kt}}}\exp {\left(-{\frac {x^{2}}{4Kt}}\right)}$$

По сравнению с распределением Гаусса можно определить дисперсию как ${\textstyle \sigma ^{2}(t)=2Kt}$ и стандартное отклонение как ${\textstyle \sigma (t)={\sqrt {2Kt}}\sim t^{1/2}}$, очень типичная временная зависимость для молекулярной диффузии или случайного блуждания .

В заключение этого подраздела описано, как вихрь может перемешивать две окружающие области жидкости и как это поведение приводит к математическому описанию, описанному как «градиентная модель», означающему, что диффузионные потоки ориентированы на отрицательный пространственный градиент концентрации. Рассматривалась очень простая геометрия, в которой все изменения происходят вдоль одной оси. В аргументации использовались только масштабы пространственного разделения и скорости вихрей порядка величины, поэтому она была очень грубой. Следующий раздел предлагает более строгую трактовку.

Интерпретация из общих уравнений

Источник:

Этот подраздел основан на разделе, посвященном общей математической обработке, и описывает, что происходит, когда вводится предположение о градиенте.

Напомним уравнение концентрации, усредненное по Рейнольдсу: $${\frac {\partial \langle \phi \rangle }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\langle {\vec {u}}\rangle \langle \phi \rangle \right)=\nabla \cdot \left(K_{0}\nabla \langle \phi \rangle -\langle {\vec {u}}'\phi '\rangle \right)$$ Мы делаем предположение о градиенте, аналогичное тому, которое было мотивировано в подразделе выше, с использованием масштабов длины и скорости трассера. Однако значение коэффициента не обязательно должно быть таким же, как в приведенном выше подразделе (которое было указано только по порядку величины). Гипотеза градиента гласит: $$\langle \phi '{\vec {u}}'\rangle =-K({\vec {x}},t)\nabla \langle \phi \rangle$$ Это позволяет переписать уравнение концентрации в виде $${\frac {\partial \langle \phi \rangle }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\langle {\vec {u}}\rangle \langle \phi \rangle \right)=\nabla \cdot \left((K_{0}+K)\nabla \langle \phi \rangle \right)$$ Это снова похоже на исходное уравнение концентрации с преобразованиями ${\textstyle \phi \rightarrow \langle \phi \rangle ,{\vec {u}}\rightarrow \langle {\vec {u}}\rangle }$ и ${\textstyle K_{0}\rightarrow K_{0}+K}$. Он представляет собой обобщение второго закона Фика (см. Законы диффузии Фика ) при наличии турбулентной диффузии и адвекции средним потоком. По этой причине модели вихревой диффузии с нисходящим градиентом часто называют «фиковскими», подчеркивая это математическое сходство. Обратите внимание, что вихревая диффузия ${\textstyle K}$ вообще может быть функцией пространства и времени, поскольку его значение определяется характером водоворотов, которые могут развиваться во времени и меняться от места к месту. Различные предположения, сделанные о ${\textstyle K({\vec {x}},t)}$ может привести к различным моделям с различными компромиссами между наблюдениями и теорией.

Иногда термин диффузия Фика применяется исключительно для случая, когда ${\textstyle K}$ является истинной константой. ${\textstyle K}$ должно быть хотя бы пространственно однородным, чтобы можно было написать: $${\frac {\partial \langle \phi \rangle }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\langle {\vec {u}}\rangle \langle \phi \rangle \right)=(K_{0}+K)\nabla ^{2}\langle \phi \rangle$$ В этом случае сумму молекулярного и вихревого коэффициентов диффузии можно рассматривать как новую эффективную вязкость, действующую качественно аналогично молекулярному коэффициенту диффузии, но существенно увеличенную по величине.

В контексте этой статьи прилагательное «Фикиан» также может использоваться как эквивалент градиентной модели. поэтому более общая форма, например ${\textstyle K({\vec {x}},t)}$ допустимо. Терминология в научных статьях в этом отношении не всегда единообразна.

Недостатки и контрпримеры градиентной модели

Градиентные модели исторически были первыми моделями вихревой диффузии. Они просты и математически удобны, но лежащее в их основе предположение о чисто градиентном диффузионном потоке не является универсальным. Вот несколько экспериментальных контрпримеров:

1. Для простого случая однородного турбулентного сдвигового течения угол между ${\textstyle -\nabla \langle \phi \rangle }$ и ${\textstyle \langle \phi '{\vec {u}}'\rangle }$ оказалось 65 градусов. Диффузия Фика предсказывает 0 градусов.
2. В море поверхностные дрифтеры, первоначально расположенные дальше друг от друга, имеют более высокую вероятность увеличения своего физического расстояния на большую величину, чем те, кто изначально находится ближе друг к другу. Напротив, диффузия Фика предсказывает, что изменение взаимного расстояния (т.е. начального расстояния, вычтенного из конечного расстояния) двух дрифтеров не зависит от самих их начальных или конечных расстояний. Это наблюдал Стоммель в 1949 году.
3. Вблизи точечного источника (например, дымохода) эволюция оболочки диффузионного облака водяного пара во времени обычно линейна во времени. Диффузия Фика предсказывала бы зависимость от квадратного корня во времени.

Эти наблюдения показывают, что существуют механизмы, отличные от чисто градиентной диффузии, и что качественная аналогия между молекулярной и вихревой диффузией не идеальна. В следующем разделе, посвященном статистическим моделям, представлен другой взгляд на вихревую диффузию.

Статистическая теория диффузии

Duration: 37 seconds.0:37

Пример лагранжевой системы отсчета. Наблюдатель следует за частицей на ее пути.

Статистическая теория турбулентности жидкости содержит большой объем литературы, а ее результаты применяются во многих областях исследований — от метеорологии до океанографии.

Статистическая теория диффузии возникла в статье Дж. Тейлора (1921) под названием «Диффузия посредством непрерывных движений». и позже развитый в его статье «Статистическая теория турбулентности». Статистический подход к диффузии отличается от теорий, основанных на градиенте, поскольку вместо изучения пространственного переноса в фиксированной точке пространства используется лагранжева система отсчета, прослеживается за движением частиц через жидкость и пытается определить на основе этих статистические свойства для отражения диффузии.

Тейлор, в частности, утверждал, что при высоких числах Рейнольдса пространственным переносом за счет молекулярной диффузии можно пренебречь по сравнению с конвективным переносом средним потоком и турбулентными движениями. Пренебрегая молекулярной диффузией, ${\textstyle \phi }$ затем сохраняется вслед за частицей жидкости и, следовательно, за эволюцией среднего поля ${\textstyle \left\langle \phi \right\rangle }$ можно определить из статистики движения частиц жидкости.

Лагранжева формулировка

Источник:

Рассмотрим неограниченный турбулентный поток, в котором источник в момент времени ${\textstyle t_{0}}$ определяет скалярное поле до некоторого значения: $$\phi ({\vec {x}},t_{0})=\phi _{0}({\vec {x}})$$${\textstyle {\vec {X}}(t,{\vec {Y}})}$ это позиция в момент времени ${\textstyle t_{0}}$ частицы жидкости, исходящей из положения ${\textstyle {\vec {Y}}}$ во время т.

Если пренебречь молекулярной диффузией, ${\textstyle \phi }$ сохраняется после жидкой частицы. Тогда значение ${\textstyle \phi }$ в начальной и конечной точках траектории частицы жидкости одинаковы: $$\phi ({\vec {X}}(t,{\vec {Y}}),t)=\phi ({\vec {Y}},t_{0})=\phi _{0}({\vec {Y}})$$Вычисление математического ожидания последнего уравнения дает

$$\left\langle \phi ({\vec {x}},t)\right\rangle =\left\langle \phi _{0}({\vec {Y}}(t,{\vec {x}})\right\rangle =\int f_{X}({\vec {x}};t|{\vec {Y}})\phi _{0}({\vec {Y}})d{\vec {Y}}$$

где ${\textstyle f_{X}}$ — прямая функция плотности вероятности положения частицы.

Рассеяние от точечного источника

Для случая единичного точечного источника, зафиксированного в местоположении ${\textstyle {\vec {Y_{0}}}}$, то есть, ${\textstyle \phi _{0}({\vec {x}})=\delta ({\vec {x}}-{\vec {Y_{0}}})}$, математическое ожидание ${\textstyle \phi ({\vec {x}},t)}$ является $$\left\langle \phi ({\vec {x}},t)\right\rangle =f_{X}({\vec {x}};t|Y_{0})$$Это означает, что среднее сохраняющееся скалярное поле, возникающее в результате точечного источника, определяется функцией плотности вероятности положения частицы. ${\textstyle f_{X}}$ частиц жидкости, которые возникают в источнике.

Самый простой случай, который следует рассмотреть, — это дисперсия от точечного источника, расположенного в начале координат ( ${\textstyle Y_{0}=0}$), в статистически стационарной изотропной турбулентности. В частности, рассмотрим эксперимент, в котором изотропное поле турбулентной скорости имеет нулевое среднее.

В этой ситуации можно получить следующие результаты:

• 

  Примеры траекторий частиц жидкости, заданных уравнением Ланжевена, для времен, намного меньших лагранжевой шкалы времени. Обратите внимание, что ожидание развивается линейно. (Обе оси выражаются в подходящих безразмерных величинах).

  

  Примеры траекторий частиц жидкости, заданных уравнением Ланжевена, для времен, намного превышающих лагранжеву шкалу времени. Обратите внимание, что ожидание развивается как квадратный корень из времени. (Обе оси выражаются в подходящих безразмерных величинах).

  Учитывая, что изотропное поле турбулентной скорости имеет нулевое среднее значение, частицы жидкости расходятся от начала координат изотропно, а это означает, что среднее значение и ковариация положения участка жидкости соответственно равны $$\left\langle {\vec {X}}(t,0)\right\rangle =\int _{0}^{t}\left\langle {\vec {U}}(s,0)\right\rangle ds=0$$$$\left\langle X_{i}(t,0)X_{j}(t,0)\right\rangle =\sigma _{X}^{2}(t)\delta _{ij}$$ где ${\textstyle \sigma _{x}(t)}$ стандартное отклонение и ${\textstyle \delta _{ij}}$ Кронекера дельта .
• Стандартное отклонение смещения частицы выражено в терминах скорости . лагранжевой автокорреляции ${\textstyle \rho (s)}$ следующий за $$\sigma _{X}^{2}(t)=2u'^{2}\int _{0}^{t}(t-s)\rho (s)ds$$где ${\textstyle u'}$ – среднеквадратическая скорость . Этот результат соответствует результату, первоначально полученному Тейлором.
• Во все времена дисперсию можно выразить через коэффициент диффузии. ${\textstyle {\hat {\Gamma }}_{T}(t)}$ как

$${\hat {\Gamma }}_{T}(t)={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}\sigma _{X}^{2}=u'^{2}\int _{0}^{t}\rho (s)ds$$

• Количество $T_{L}=\int _{0}^{\infty }\rho (s)ds$ определяет временную характеристику турбулентности, называемую лагранжевой интегральной временной шкалой.
• За достаточно малые промежутки времени ( ${\textstyle t\ll T_{L}}$), так что ${\textstyle \rho (s)}$ можно аппроксимировать с помощью ${\textstyle \rho (0)=1}$прямолинейное движение жидкости приводит к линейному увеличению стандартного отклонения ${\textstyle \sigma _{X}\approx u't}$ что, по сути, соответствует зависящему от времени коэффициенту диффузии ${\textstyle {\hat {\Gamma }}_{T}(t)\approx u'^{2}t}$. Это проливает свет на один из приведенных выше экспериментальных контрпримеров градиентной диффузии, а именно на наблюдение линейной скорости распространения дыма возле дымохода.
• За достаточно большие времена ( ${\textstyle t\gg T_{L}}$), дисперсия соответствует диффузии с постоянным коэффициентом диффузии ${\textstyle \Gamma _{T}=u'^{2}T_{L}}$ так что стандартное отклонение увеличивается как квадратный корень из времени после $$\sigma _{X}(t)\approx {\sqrt {2u'^{2}T_{L}t}}$$
• Это тот же тип зависимости, который был получен для простого случая градиентной диффузии. Такое согласие между двумя подходами предполагает, что для достаточно больших периодов времени градиентная модель работает хорошо и вместо этого не может предсказать поведение частиц, недавно выброшенных из своего источника.

Уравнение Ланжевена

Простейшей стохастической моделью Лагранжа является уравнение Ланжевена , которое обеспечивает модель скорости движения частицы жидкости. В частности, уравнение Ланжевена для скорости частиц жидкости дает полное предсказание турбулентной дисперсии. Согласно уравнению, автокорреляционная функция скорости Лагранжа представляет собой экспоненциальную функцию $\rho (s)=\exp(-|s|/T_{L})$. С помощью этого выражения для $\rho (s)$, стандартное отклонение смещения частицы можно проинтегрировать, чтобы получить $$\sigma _{X}^{2}(t)=2u^{2}T_{L}[t-T_{L}(1-\exp(-t/T_{L}))]$$Согласно уравнению Ланжевена, каждая составляющая скорости частицы жидкости представляет собой процесс Орнштейна-Уленбека . Отсюда следует, что положение частицы жидкости (т. е. интеграл процесса Орнштейна-Уленбека) также является гауссовским процессом. Таким образом, среднее скалярное поле, предсказываемое уравнением Ланжевена, представляет собой распределение Гаусса $$\left\langle \phi ({\vec {x}},t)\right\rangle =(\sigma _{X}{\sqrt {2\pi }})^{-3}\exp(-x_{i}x_{i}/2\sigma _{X}^{2})$$с $\sigma _{X}(t)$ заданное предыдущим уравнением.

Вихревая диффузия в естественных науках

Вихревая диффузия в океане

Молекулярная диффузия незначительна для целей переноса материалов через океанские бассейны. Однако наблюдения показывают, что океаны находятся в состоянии постоянного перемешивания. Этому способствуют океанские водовороты, размер которых варьируется от колмогоровских микромасштабов до круговоротов, охватывающих целые бассейны. Вихревая активность, которая обеспечивает такое перемешивание, постоянно рассеивает энергию, которую она теряет при малейших масштабах движения. Это уравновешивается главным образом приливами и ветром, которые действуют как источники энергии, постоянно компенсирующие рассеиваемую энергию.

Вертикальный транспорт: опрокидывающая циркуляция и вихревой апвеллинг

За исключением слоев, находящихся в непосредственной близости от поверхности, большая часть массы океана устойчиво стратифицирована. В нескольких узких спорадических регионах высоких широт поверхностные воды становятся достаточно нестабильными, чтобы погрузиться глубоко и составить глубокую южную ветвь опрокидывающейся циркуляции. (см., например, AMOC ). Вихревая диффузия, главным образом в Антарктическом циркумполярном течении , затем обеспечивает обратный восходящий поток этих водных масс. Апвеллинг также имеет прибрежный компонент из-за переноса Экмана , но Антарктическое циркумполярное течение считается доминирующим источником апвеллинга, ответственным примерно за 80% его общей интенсивности. Следовательно, эффективность турбулентного перемешивания в субантарктических регионах является ключевым элементом, определяющим скорость опрокидывающей циркуляции и, следовательно, переноса тепла и соли через глобальный океан.

Вихревая диффузия также контролирует подъем атмосферного углерода, растворенного в верхних слоях океана тысячи лет назад, и, таким образом, играет важную роль в климатической системе Земли. В контексте глобального потепления , вызванного увеличением содержания углекислого газа в атмосфере , подъем этих древних (следовательно, менее богатых углеродом) водных масс при одновременном растворении и опускании нынешнего богатого углеродом воздуха вызывает чистое накопление выбросов углерода в океане. Это, в свою очередь, смягчает изменение климата, но вызывает такие проблемы, как закисление океана .

Горизонтальная транспортировка: пластмассы

Примером горизонтального транспорта, который вызвал значительный исследовательский интерес в 21 веке, является транспортировка плавающего пластика . На большие расстояния наиболее эффективным механизмом транспортировки является ветровая циркуляция . Конвергентный перенос Экмана в субтропических круговоротах превращает их в регионы повышенной концентрации плавающего пластика (например, Большое Тихоокеанское мусорное пятно ).

В дополнение к крупномасштабным ( детерминистическим ) циркуляциям, многие более мелкие процессы размывают общую картину транспортировки пластика. Подсеточная турбулентная диффузия придает движению стохастический характер. Численные исследования часто проводятся с участием большого ансамбля плавающих частиц, чтобы преодолеть эту присущую им стохастичность .

Кроме того, существуют и более макроскопические водовороты, которые разрешаются в ходе моделирования и лучше понимаются. Например, мезомасштабные вихри важную роль играют . Мезомасштабные вихри представляют собой медленно вращающиеся вихри диаметром в сотни километров, характеризующиеся числами Россби, намного меньшими единицы. Антициклонические вихри (против часовой стрелки в северном полушарии) имеют направленную внутрь радиальную составляющую потока, что вызывает суммарное накопление плавающих частиц в их центре. Мезомасштабные вихри способны не только удерживать мусор, но и переносить его на большие расстояния благодаря дрейфу на запад. Это было показано для поверхностных дрифтеров, маркеров радиоактивных изотопов, планктон, медузы, тепла и соли. Субмезомасштабные вихри и океанские фронты также важны, но они обычно не учитываются в численных моделях и вносят вклад в вышеупомянутый стохастический компонент переноса.

Атмосфера

Источник:

Задачу диффузии в атмосфере часто сводят к решению исходного уравнения диффузии на основе градиента при соответствующих граничных условиях. Эту теорию часто называют теорией K, где название происходит от коэффициента диффузии K, введенного в теорию, основанную на градиенте.

Например, если K считается постоянным, его можно рассматривать как измерение потока пассивной скалярной величины. ${\textstyle \phi }$, например, дым через атмосферу.

Для стационарной среды ${\textstyle \phi }$, в котором коэффициенты диффузии, которые не обязательно равны, могут меняться в зависимости от трех пространственных координат, более общее уравнение диффузии, основанное на градиенте, утверждает: $${\frac {\partial \phi }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(K_{x}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left(K_{y}{\frac {\partial \phi }{\partial y}}\right)+{\frac {\partial }{\partial z}}\left(K_{z}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}\right)$$Учитывая точечный источник, граничные условия таковы: $${\begin{aligned}(1)\quad &\phi \rightarrow 0\quad {\text{as}}\quad t\rightarrow \infty \quad {\text{for}}\quad -\infty <x<\infty \\(2)\quad &\phi \rightarrow 0\quad {\text{as}}\quad t\rightarrow 0\quad {\text{for}}\quad x\neq 0\end{aligned}}$$где ${\textstyle \phi \rightarrow \infty }$ такой, что ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\phi dx=\Phi }$, где ${\textstyle \Phi }$ — мощность источника (общее количество $\phi$ выпущенный).

Решением этой проблемы является функция Гаусса. В частности, решение для мгновенного точечного источника ${\textstyle \phi }$, с силой ${\textstyle \Phi }$, атмосферы, в которой ${\textstyle {\overline {u}}}$ является постоянным, ${\textstyle v=w=0}$ и для которой мы рассматриваем лагранжеву систему отсчета, движущуюся со средним ветром ${\textstyle {\overline {u}}}$: $${\frac {\phi }{\Phi }}={\frac {1}{(4\pi Kt)^{1/2}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4Kt}}\right)$$Интегрирование этого решения для мгновенного точечного источника относительно пространства дает уравнения для источников мгновенного объема (например, взрывов бомб). Интегрирование уравнения мгновенного точечного источника по времени дает решения для непрерывного точечного источника.

Пограничный слой атмосферы

Теория K применялась при изучении динамики скалярной величины. $\phi$ через пограничный слой атмосферы . Предположение о постоянной вихревой диффузии здесь редко может быть применено, и по этой причине невозможно просто применить теорию K, как это было представлено ранее.

Не теряя общности, рассмотрим установившееся состояние, т.е. ${\textstyle \partial \phi /\partial t=0}$и бесконечный источник линии бокового ветра, для которого при ${\textstyle z=0}$$${\frac {\partial }{\partial y}}\left(K_{y}{\frac {\partial \phi }{\partial y}}\right)=0$$Предполагая, что ${\textstyle \partial (K_{x}\partial \phi /\partial x)/\partial x\ll {\overline {u}}\partial \phi /\partial x}$, т. е. перенос x средним потоком значительно превышает вихревой поток в этом направлении, уравнение диффузии на основе градиента для потока неподвижной среды ${\textstyle q}$ становится $${\overline {u}}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left(K_{z}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}\right)$$Это уравнение вместе со следующими граничными условиями $${\begin{aligned}(1)\quad &\phi \rightarrow 0\quad {\text{as}}\quad z\rightarrow \infty \\(2)\quad &\phi \rightarrow 0\quad {\text{as}}\quad x\rightarrow 0\quad {\text{for all}}\quad z>0\quad {\text{but}}\quad \phi \rightarrow \infty \quad {\text{as}}\quad x\rightarrow 0,\quad z\rightarrow 0\quad {\text{such that}}\quad \lim _{x\rightarrow 0}\int _{0}^{\infty }{\overline {u}}\phi dz=\Phi \\(3)\quad &K_{z}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}\quad {\text{as}}\quad z\rightarrow 0\quad {\text{for all}}\quad x>0\end{aligned}}$$где, в частности, последнее условие подразумевает нулевой поток у земли. Это уравнение послужило основой для многих исследований. Различные предположения о форме ${\textstyle K_{z}}$ дают разные решения.

Пример изогнутого шлейфа, описанного с использованием теории K в книге Мортона Л. Барада «Диффузия дымовых газов в очень стабильной атмосфере».

Например, теория K широко используется в атмосферной турбулентной диффузии (теплопроводность от земной поверхности, распределение импульса), поскольку используемое фундаментальное дифференциальное уравнение можно значительно упростить, исключив одну или несколько пространственных координат. Однако в теплопроводности планетарных пограничных слоев источником является синусоидальная функция времени, поэтому математическая сложность некоторых из этих решений значительна.

Недостатки и преимущества

В целом теория К имеет некоторые недостатки. Колдер изучил применимость уравнения диффузии к случаю атмосферы и пришел к выводу, что стандартная форма теории K не может быть общедействительной. Монин называет теорию К полуэмпирической теорией диффузии и указывает, что необходимо помнить об основной природе теории К, поскольку цепочка выводов из исходного уравнения становится все длиннее и сложнее.

При этом теория К дает множество полезных практических результатов. Одним из них является исследование Барада где он является К-теорией сложной проблемы диффузии изогнутого шлейфа дымовой трубы в очень стабильной атмосфере.

Примечание по перемешиванию и смешиванию

Глагол «перемешивать» имеет значение, отличное от «смешивания». Первое означает более крупномасштабное явление, такое как вихревая диффузия, а второе иногда используется для более микроскопических процессов, таких как молекулярная диффузия. Они часто используются как взаимозаменяемые, включая некоторую научную литературу. «Смешивание» часто используется для обозначения результата того и другого, особенно в менее формальном повествовании. На анимации во вводном разделе можно увидеть, как перемешивание, вызванное вихрями, разбивает черную область на более мелкие и более хаотичные пространственные узоры, но нигде не появляется какой-либо оттенок серого. Две жидкости все сильнее переплетаются, но не смешиваются за счет вихревой диффузии. В действительности, по мере того, как их поверхность раздела становится больше, молекулярная диффузия становится все более эффективной и завершает гомогенизацию фактическим смешиванием молекул через границы. Это действительно микроскопически необратимый процесс. Но даже без молекулярной диффузии на последнем этапе можно обоснованно утверждать, что пространственная концентрация изменяется из-за вихревой диффузии. На практике концентрация определяется с использованием очень небольшого, но конечного контрольного объема, в котором подсчитываются частицы соответствующих видов. Усреднение по такому небольшому контрольному объему дает полезную меру концентрации. Эта процедура хорошо фиксирует действие всех вихрей, размер которых меньше контрольного объема. Это позволяет формулировать уравнения, описывающие вихревую диффузию и ее влияние на концентрацию, без необходимости явного рассмотрения молекулярной диффузии.