Колмогоровские микромасштабы

Визуализация результатов двумерного вычислительного моделирования гидродинамики, решающего уравнения Навье-Стокса со скалярным переносным членом. Поток инициализируется турбулентностью, генерируемой с использованием масштабирования Колмогорова, а затем поле скорости перемещается слева направо со скоростью 1 ячейка сетки в секунду. Точечный источник расположен с наветренной стороны для моделирования рассеивания скалярного шлейфа в этом поле скорости.

В гидродинамике колмогоровские микромасштабы представляют собой наименьшие масштабы в турбулентном потоке . В масштабе Колмогорова доминирует , и кинетическая энергия турбулентности рассеивается вязкость в тепловую энергию . Они определены ^[1] к

Колмогоровская шкала длины	$\eta =\left({\frac {\nu ^{3}}{\varepsilon }}\right)^{1/4}$
Колмогоровская шкала времени	$\tau _{\eta }={\sqrt {\frac {\nu }{\varepsilon }}}$
Колмогоровская шкала скоростей	$u_{\eta }=\left(\nu \varepsilon \right)^{1/4}$

где

$ε$ — средняя скорость диссипации кинетической энергии турбулентности на единицу массы,
$ν$ — кинематическая вязкость жидкости.

Типичные значения шкалы длины Колмогорова для движения атмосферы , при котором крупные вихри имеют масштаб длины порядка километров, составляют от 0,1 до 10 миллиметров; для меньших потоков, например, в лабораторных системах, $η$ может быть намного меньше. ^[2]

В 1941 году Андрей Колмогоров выдвинул гипотезу о том, что наименьшие масштабы турбулентности универсальны (аналогичны для любого турбулентного потока ) и зависят только от $ε$ и $ν$ . ^[3] Определения колмогоровских микромасштабов можно получить, используя эту идею и анализ размерностей . Поскольку размерностью кинематической вязкости является длина ²/время, а размерность скорости диссипации энергии на единицу массы равна длине ²/время ³, единственная комбинация, имеющая размерность времени, — это $\tau _{\eta }={\sqrt {\tfrac {\nu }{\varepsilon }}}$ что является временной шкалой Колмогорова. Точно так же шкала Колмогорова является единственной комбинацией $ε$ и $ν$ , имеющей размерность длины.

В качестве альтернативы определение временной шкалы Колмогорова может быть получено из обратного тензора среднеквадратичной скорости деформации , $\tau _{\eta }={\tfrac {1}{\sqrt {2\langle E_{ij}E_{ij}\rangle }}},$ что также дает $\tau _{\eta }={\sqrt {\tfrac {\nu }{\varepsilon }}}$ используя определение скорости диссипации энергии на единицу массы $\varepsilon =2\nu \langle E_{ij}E_{ij}\rangle .$ Тогда шкалу колмогоровских длин можно получить как масштаб, при котором число Рейнольдса ( $Re$ ) равно 1,

\mathrm {Re} ={\frac {UL}{\nu }}={\frac {(\eta /\tau _{\eta })\eta }{\nu }}=1.

Теория Колмогорова 1941 года представляет собой теорию среднего поля, поскольку она предполагает, что соответствующим динамическим параметром является средняя скорость диссипации энергии. При турбулентности жидкости скорость диссипации энергии колеблется в пространстве и времени, поэтому можно рассматривать микромасштабы как величины, которые также изменяются в пространстве и времени. Однако стандартной практикой является использование средних значений поля, поскольку они представляют собой типичные значения наименьших масштабов в данном потоке. В 1961 году Коломогоров опубликовал уточненную версию гипотезы подобия, объясняющую логарифмически нормальное распределение скорости диссипации. ^[4]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ М.Т. Ландал; Э. Молло-Кристенсен (1992). Турбулентность и случайные процессы в механике жидкости (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 10. ISBN 978-0521422130 .
^ Джордж, Уильям К. «Лекции по турбулентности 21 века». Кафедра термотехники и гидротехники, Технологический университет Чалмерса, Гетеборг, Швеция (2005). стр. 64 [онлайн] http://www.turbulence-online.com/Publications/Lecture_Notes/Turbulence_Lille/TB_16January2013.pdf
^ Колмогоров А. Н. (1941). «Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень высоких числах Рейнольдса». Докл. Акад. Наук СССР . 31 : 99–101.
^ Колмогоров А.Н. (1961). «Уточнение предыдущих гипотез относительно локальной структуры турбулентности в вязкой несжимаемой жидкости при высоких числах Рейнольдса». Журнал механики жидкости . 13 (1): 82–85. дои : 10.1017/S0022112062000518 .

[1] М.Т. Ландал; Э. Молло-Кристенсен (1992). Турбулентность и случайные процессы в механике жидкости (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 10. ISBN 978-0521422130 .

[2] Джордж, Уильям К. «Лекции по турбулентности 21 века». Кафедра термотехники и гидротехники, Технологический университет Чалмерса, Гетеборг, Швеция (2005). стр. 64 [онлайн] http://www.turbulence-online.com/Publications/Lecture_Notes/Turbulence_Lille/TB_16January2013.pdf

[3] Колмогоров А. Н. (1941). «Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень высоких числах Рейнольдса». Докл. Акад. Наук СССР . 31 : 99–101.

[4] Колмогоров А.Н. (1961). «Уточнение предыдущих гипотез относительно локальной структуры турбулентности в вязкой несжимаемой жидкости при высоких числах Рейнольдса». Журнал механики жидкости . 13 (1): 82–85. дои : 10.1017/S0022112062000518 .

[1]

[2]

[3]

[4]