Тензор скорости деформации

Двумерный поток, который в выделенной точке имеет только компонент скорости деформации, без средней скорости или вращательного компонента.

В механике сплошных сред тензор скорости деформации или тензор скорости деформации — это физическая величина , которая описывает скорость изменения деформации (т. е . относительной деформации ) материала в окрестности определенной точки, в определенной момент времени. Его можно определить как производную тензора деформации по времени или как симметричную составляющую матрицы Якоби (производную по положению) скорости потока . В механике жидкости это также можно описать как градиент скорости , меру того, как скорость жидкости изменяется между различными точками внутри жидкости. Хотя этот термин может относиться к профилю скорости (изменение скорости в разных слоях потока в трубе), его часто используют для обозначения градиента скорости потока относительно его координат . Эта концепция имеет применение в различных областях физики и техники , включая магнитогидродинамику , горное дело и очистку воды.

Тензор скорости деформации — это чисто кинематическое понятие, описывающее макроскопическое движение материала. Следовательно, оно не зависит от природы материала или от сил и напряжений, которые могут на него действовать; и это применимо к любой сплошной среде , будь то твердая , жидкая или газообразная .

С другой стороны, для любой жидкости, кроме сверхтекучей , любое постепенное изменение ее деформации (т. е. ненулевой тензор скорости деформации) приводит к возникновению вязких сил внутри нее из -за трения между соседними элементами жидкости , которые имеют тенденцию противодействовать этому изменению. . В любой точке жидкости эти напряжения могут быть описаны тензором вязких напряжений , который почти всегда полностью определяется тензором скорости деформации и некоторыми внутренними свойствами жидкости в этой точке. Вязкие напряжения также возникают в твердых телах помимо упругих напряжений , наблюдаемых при статической деформации; когда он слишком велик, чтобы его можно было игнорировать, материал называют вязкоупругим .

Размерный анализ

Выполняя анализ размеров , можно определить размеры градиента скорости. Размеры скорости ${\mathsf {L^{1}T^{-1}}}$, а размеры расстояния равны ${\mathsf {L^{1}}}$. Поскольку градиент скорости можно выразить как ${\frac {\Delta {\text{velocity}}}{\Delta {\text{distance}}}}$. Поэтому градиент скорости имеет те же размеры, что и это отношение, т.е. ${\mathsf {T^{-1}}}$.

В механике сплошных сред

В трех измерениях градиент $\nabla \mathbf {v}$ скорости $\mathbf {v}$ второго порядка представляет собой тензор , который можно выразить в виде матрицы $\mathbf {L}$: $$\mathbf {L} =\nabla \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}&{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}&{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}\\{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}&{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}&{{\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}\ }\\{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}&{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}&{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\end{bmatrix}}$$$\mathbf {L}$ можно разложить в сумму симметричной матрицы ${\textbf {E}}$ и кососимметричная матрица ${\textbf {W}}$ следующее $${\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {L} +\mathbf {L} ^{\textsf {T}}\right)\\\mathbf {W} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {L} -\mathbf {L} ^{\textsf {T}}\right)\end{aligned}}$$${\textbf {E}}$ называется тензором скорости деформации и описывает скорость растяжения и сдвига. ${\textbf {W}}$ называется тензором спина и описывает скорость вращения.

Связь между напряжением сдвига и полем скоростей

Сэр Исаак Ньютон предположил, что напряжение сдвига прямо пропорционально градиенту скорости: $$\tau =\mu {\frac {\partial u}{\partial y}}.$$

Константа пропорциональности , $\mu$, называется динамической вязкостью .

Формальное определение

Рассмотрим материальное тело, твердое или жидкое, которое течет и/или движется в пространстве. Пусть v — скорости поле внутри тела; то есть гладкая функция из R ³ × R такой, что v ( p , t ) — макроскопическая скорость материала, проходящего через точку p в момент времени t .

Скорость v ( p + r , t ) в точке, смещенной от p небольшим вектором r, можно записать в виде ряда Тейлора : $$\mathbf {v} (\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)=\mathbf {v} (\mathbf {p} ,t)+(\nabla \mathbf {v} )(\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} )+{\text{higher order terms}},$$где ∇ v - градиент поля скорости, понимаемый как линейное отображение , которое переносит вектор смещения r в соответствующее изменение скорости.

Общее поле v ( p + r ) .

Постоянная часть v ( p ) .

Линейная часть (∇ v )( п , т )( р ) .

Нелинейный остаток.

Поле скорости v ( p + r , t ) произвольного потока вокруг точки p (красная точка) в некоторый момент времени t и члены его аппроксимации Тейлора первого порядка относительно p . Третья компонента скорости (за пределами экрана) везде полагается равной нулю.

В произвольной отсчета системе ∇ v связана с матрицей Якоби поля, а именно в 3-х измерениях это матрица 3 × 3 $$\left(\nabla \mathbf {v} \right)^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}\partial _{1}v_{1}&\partial _{2}v_{1}&\partial _{3}v_{1}\\\partial _{1}v_{2}&\partial _{2}v_{2}&\partial _{3}v_{2}\\\partial _{1}v_{3}&\partial _{2}v_{3}&\partial _{3}v_{3}\end{bmatrix}}=\mathbf {J} .$$где v _i — это компонент v, параллельный оси i , а ∂ _j f обозначает частную производную функции f по пространственной координате x _j . Обратите внимание, что J является функцией p и t .

В этой системе координат приближение Тейлора для скорости вблизи p равно $$v_{i}(\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)=v_{i}(\mathbf {p} ,t)+\sum _{j}J_{ij}(\mathbf {p} ,t)r_{j}=v_{i}(\mathbf {p} ,t)+\sum _{j}\partial _{j}v_{i}(\mathbf {p} ,t)r_{j};$$или просто $$\mathbf {v} (\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)=\mathbf {v} (\mathbf {p} ,t)+\mathbf {J} (\mathbf {p} ,t)\mathbf {r}$$

если v и r рассматриваются как матрицы 3 × 1.

Симметричные и антисимметричные части

Симметричная часть E ( p , t )( r ) (скорость деформации) линейного члена примерного потока.

Антисимметричная часть R ( p , t )( r ) (вращение) линейного члена.

Любую матрицу можно разложить на сумму симметричной и антисимметричной матриц . Применяя это к матрице Якобиана с симметричными и антисимметричными компонентами E и R соответственно: $${\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {J} +\mathbf {J} ^{\textsf {T}}\right)&\mathbf {R} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {J} -\mathbf {J} ^{\textsf {T}}\right)\\E_{ij}&={\frac {1}{2}}\left(\partial _{j}v_{i}+\partial _{i}v_{j}\right)&R_{ij}&={\frac {1}{2}}\left(\partial _{j}v_{i}-\partial _{i}v_{j}\right)\end{aligned}}$$

Это разложение не зависит от системы координат и поэтому имеет физический смысл. Тогда поле скоростей можно аппроксимировать как $$\mathbf {v} (\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)\approx \mathbf {v} (\mathbf {p} ,t)+\mathbf {E} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} )+\mathbf {R} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} ),$$то есть, $${\begin{aligned}v_{i}(\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)&=v_{i}(\mathbf {p} ,t)+\sum _{j}E_{ij}(\mathbf {p} ,t)r_{j}+\sum _{j}R_{ij}(\mathbf {p} ,t)r_{j}\\&=v_{i}(\mathbf {p} ,t)+{\frac {1}{2}}\sum _{j}\left(\partial _{j}v_{i}(\mathbf {p} ,t)+\partial _{i}v_{j}(\mathbf {p} ,t)\right)r_{j}+{\frac {1}{2}}\sum _{j}\left(\partial _{j}v_{i}(\mathbf {p} ,t)-\partial _{i}v_{j}(\mathbf {p} ,t)\right)r_{j}\end{aligned}}$$

Антисимметричный член R представляет собой жесткое вращение жидкости вокруг точки p . Его угловая скорость ${\vec {\omega }}$ является $${\vec {\omega }}={\frac {1}{2}}\nabla \times \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}\partial _{2}v_{3}-\partial _{3}v_{2}\\\partial _{3}v_{1}-\partial _{1}v_{3}\\\partial _{1}v_{2}-\partial _{2}v_{1}\end{bmatrix}}.$$

Произведение ∇ × v называется завихренностью векторного поля. Жесткое вращение не меняет взаимного положения элементов жидкости, поэтому антисимметричный член R градиента скорости не способствует скорости изменения деформации. Таким образом, фактическая скорость деформации описывается симметричным членом E , который представляет собой тензор скорости деформации .

Скорость сдвига и степень сжатия

Сферическая часть S ( p , t )( r ) (скорость равномерного расширения или сжатия) тензора скорости деформации E ( p , t )( r ) .

Девиаторная часть D ( p , t )( r ) (скорость сдвига) тензора скорости деформации E ( p , t )( r ) .

Симметричный член E (тензор скорости деформации) можно разбить на сумму скаляра, умноженного на единичный тензор, который представляет собой постепенное изотропное расширение или сжатие; и бесследовый симметричный тензор, который представляет собой постепенную сдвиговую деформацию без изменения объема: $$\mathbf {E} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} )=\mathbf {S} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} )+\mathbf {D} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} ).$$

То есть, $$E_{ij}=\underbrace {{\frac {1}{3}}\left(\sum _{k}\partial _{k}v_{k}\right)\delta _{ij}} _{{\text{rate-of-expansion tensor }}S_{ij}}+\underbrace {\overbrace {{\frac {1}{2}}\left(\partial _{i}v_{j}+\partial _{j}v_{i}\right)} ^{E_{ij}}-S_{ij}} _{{\text{rate-of-shear tensor }}D_{ij}},$$

Здесь δ — единичный тензор , такой, что δ _ij равен 1, если i = j , и 0, если i ≠ j . Это разложение не зависит от выбора системы координат и поэтому является физически значимым.

След тензора скорости расширения представляет собой дивергенцию поля скорости: $$\nabla \cdot \mathbf {v} =\partial _{1}v_{1}+\partial _{2}v_{2}+\partial _{3}v_{3};$$это скорость, с которой увеличивается объем фиксированного количества жидкости в этой точке.

Тензор скорости сдвига представлен симметричной матрицей 3 × 3 и описывает поток, который объединяет потоки сжатия и расширения вдоль трех ортогональных осей, так что изменение объема не происходит. Этот тип течения возникает, например, когда резиновую полоску растягивают, потянув за концы, или когда мед падает с ложки гладкой непрерывной струей.

Для двумерного потока дивергенция v имеет только два члена и количественно определяет изменение площади, а не объема. Коэффициент 1/3 в термине скорости расширения следует заменить на ⁠ 1/2 ⁠ в таком . случае

Примеры

Исследование градиентов скорости полезно при анализе материалов, зависящих от траектории движения, и при последующем изучении напряжений и деформаций; , Пластическая деформация металлов например . Пристеночный градиент скорости несгоревших реагентов, вытекающих из трубы, является ключевым параметром для характеристики стабильности пламени. Градиент скорости плазмы может определять условия решения фундаментальных уравнений магнитной гидродинамики.

Жидкость в трубе

Рассмотрим поле скоростей жидкости, текущей по трубе . Слой жидкости, контактирующий с трубой, стремится к покою относительно трубы. Это называется условием прилипания . Если разница скоростей между слоями жидкости в центре трубы и по бокам трубы достаточно мала, то течение жидкости наблюдается в виде сплошных слоев. Этот тип течения называется ламинарным течением .

Разницу скоростей потока между соседними слоями можно измерить с помощью градиента скорости, определяемого выражением $\Delta u/\Delta y$. Где $\Delta u$ это разница в скорости потока между двумя слоями и $\Delta y$ это расстояние между слоями.

См. также

• Тензор напряжений (значения)
• Теория конечной деформации § Производная по времени градиента деформации , градиента пространственной и материальной скорости из механики сплошной среды