Симметричная матрица

Эта статья о матрице, симметричной относительно своей диагонали. Чтобы узнать о матрице, симметричной относительно своего центра, см. Центросимметричную матрицу .

Для матриц с симметрией над полем комплексных чисел см. Эрмитову матрицу .

Симметрия матрицы 5×5

В линейной алгебре симметричной матрицей называется квадратная матрица , равная ее транспонированной . Формально,

$A{\text{ is symmetric}}\iff A=A^{\textsf {T}}.$

Поскольку равные матрицы имеют равные размеры, симметричными могут быть только квадратные матрицы.

Элементы симметричной матрицы симметричны относительно главной диагонали . Так что если $a_{ij}$ обозначает запись в $i$й ряд и $j$затем столбец

$A{\text{ is symmetric}}\iff {\text{ for every }}i,j,\quad a_{ji}=a_{ij}$

для всех индексов $i$ и $j.$

Каждая квадратная диагональная матрица симметрична, поскольку все недиагональные элементы равны нулю. Аналогично в характеристике, отличной от 2, каждый диагональный элемент кососимметричной матрицы должен быть равен нулю, поскольку каждый из них является отрицательным.

В линейной алгебре вещественная симметричная матрица представляет собой самосопряженный оператор. представлено в ортонормированном базисе над реальным пространством внутреннего продукта . Соответствующим объектом для комплексного пространства внутреннего продукта является эрмитова матрица с комплекснозначными элементами, которая равна ее сопряженному транспонированию . Поэтому в линейной алгебре комплексных чисел часто предполагается, что симметричная матрица относится к той, которая имеет элементы с действительными значениями. Симметричные матрицы естественным образом появляются во множестве приложений, и типичное программное обеспечение для численной линейной алгебры делает для них специальные приспособления.

Пример

Следующее $3\times 3$ матрица симметрична:

$$A={\begin{bmatrix}1&7&3\\7&4&5\\3&5&2\end{bmatrix}}$$

С $A=A^{\textsf {T}}$.

Свойства

Основные свойства

• Сумма и разность двух симметричных матриц симметричны.
• Это не всегда верно для произведения : учитывая симметричные матрицы $A$ и $B$, затем $AB$ симметричен тогда и только тогда, когда $A$ и $B$ ездить на работу , т. е. если $AB=BA$.
• Для любого целого числа $n$, $A^{n}$ симметричен, если $A$ является симметричным.
• Если $A^{-1}$ существует, то оно симметрично тогда и только тогда, когда $A$ является симметричным.
• Ранг симметричной матрицы $A$ равно числу ненулевых собственных значений $A$.

Разложение на симметричные и кососимметричные

Любую квадратную матрицу однозначно можно записать в виде суммы симметричной и кососимметричной матриц. Это разложение известно как разложение Теплица. Позволять ${\mbox{Mat}}_{n}$ обозначаем пространство $n\times n$матрицы. Если ${\mbox{Sym}}_{n}$ обозначает пространство $n\times n$ симметричные матрицы и ${\mbox{Skew}}_{n}$ пространство $n\times n$ кососимметричные матрицы тогда ${\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}+{\mbox{Skew}}_{n}$ и ${\mbox{Sym}}_{n}\cap {\mbox{Skew}}_{n}=\{0\}$, то есть

$${\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}\oplus {\mbox{Skew}}_{n},$$

где $\oplus$обозначает прямую сумму . Позволять $X\in {\mbox{Mat}}_{n}$ затем

$$X={\frac {1}{2}}\left(X+X^{\textsf {T}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(X-X^{\textsf {T}}\right).$$

Заметить, что ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(X+X^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Sym}}_{n}}$ и ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(X-X^{\textsf {T}}\right)\in \mathrm {Skew} _{n}}$. Это верно для любой квадратной матрицы. $X$ с записями из любого поля которого , характеристика отличается от 2.

Симметричный $n\times n$ матрица определяется ${\tfrac {1}{2}}n(n+1)$скаляры (количество элементов на главной диагонали или выше нее ). Аналогично, кососимметричная матрица определяется формулой ${\tfrac {1}{2}}n(n-1)$ скаляры (количество элементов над главной диагональю).

Матрица, конгруэнтная симметричной матрице

Любая матрица, конгруэнтная симметричной матрице, снова симметрична: если $X$ симметричная матрица, то так же $AXA^{\mathrm {T} }$ для любой матрицы $A$.

Симметрия

(Вещественнозначная) симметричная матрица обязательно является нормальной матрицей .

Действительные симметричные матрицы

Обозначим через $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ стандартный внутренний продукт на $\mathbb {R} ^{n}$. Реальность $n\times n$ матрица $A$ симметричен тогда и только тогда, когда

$$\langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle \quad \forall x,y\in \mathbb {R} ^{n}.$$

Поскольку это определение не зависит от выбора базиса , симметрия является свойством, которое зависит только от линейного оператора A и выбора скалярного произведения . Эта характеристика симметрии полезна, например, в дифференциальной геометрии , поскольку каждое касательное пространство к многообразию может быть наделено скалярным произведением, что приводит к так называемому риманову многообразию . Другая область применения этой формулировки — гильбертовы пространства .

Конечномерная спектральная теорема гласит, что любая симметричная матрица, элементы которой действительны, может быть диагонализирована ортогональной матрицей . Более подробно: для каждой реальной симметричной матрицы $A$ существует действительная ортогональная матрица $Q$ такой, что $D=Q^{\mathrm {T} }AQ$является диагональной матрицей . Таким образом, каждая вещественная симметричная матрица с точностью до выбора ортонормированного базиса является диагональной матрицей.

Если $A$ и $B$ являются $n\times n$ вещественные симметричные матрицы, которые коммутируют, то их можно одновременно диагонализировать ортогональной матрицей: существует основа $\mathbb {R} ^{n}$ такой, что каждый элемент базиса является собственным вектором для обоих $A$ и $B$.

Каждая вещественная симметричная матрица является эрмитовой , и, следовательно, все ее собственные значения вещественны. (Фактически собственные значения — это элементы диагональной матрицы $D$ (выше), и поэтому $D$ однозначно определяется $A$ вплоть до порядка ее записей.) По сути, свойство симметричности вещественных матриц соответствует свойству эрмитовой матрице комплексных матриц.

Комплексные симметричные матрицы

Комплексную симметричную матрицу можно «диагонализировать» с помощью унитарной матрицы : например, если $A$ — комплексная симметричная матрица, существует унитарная матрица $U$ такой, что $UAU^{\mathrm {T} }$— действительная диагональная матрица с неотрицательными элементами. Этот результат называется факторизацией Аутона-Такаги . Первоначально оно было доказано Леоном Отоном (1915) и Тейджи Такаги (1925) и заново открыто с различными доказательствами несколькими другими математиками. Фактически, матрица $B=A^{\dagger }A$ является эрмитовой и положительно полуопределенной , поэтому существует унитарная матрица $V$ такой, что $V^{\dagger }BV$является диагональным с неотрицательными вещественными элементами. Таким образом $C=V^{\mathrm {T} }AV$ является комплексно-симметричным с $C^{\dagger }C$настоящий. Письмо $C=X+iY$ с $X$ и $Y$ действительные симметричные матрицы, $C^{\dagger }C=X^{2}+Y^{2}+i(XY-YX)$. Таким образом $XY=YX$. С $X$ и $Y$ коммутируют, существует реальная ортогональная матрица $W$ такой, что оба $WXW^{\mathrm {T} }$ и $WYW^{\mathrm {T} }$являются диагональными. Параметр $U=WV^{\mathrm {T} }$ (унитарная матрица), матрица $UAU^{\mathrm {T} }$является комплексной диагональю. Предварительное умножение $U$ подходящей диагональной унитарной матрицей (которая сохраняет унитарность $U$), диагональные элементы $UAU^{\mathrm {T} }$можно сделать действительным и неотрицательным по желанию. Чтобы построить эту матрицу, мы выражаем диагональную матрицу как $UAU^{\mathrm {T} }=\operatorname {diag} (r_{1}e^{i\theta _{1}},r_{2}e^{i\theta _{2}},\dots ,r_{n}e^{i\theta _{n}})$. Матрица, которую мы ищем, просто задается формулой $D=\operatorname {diag} (e^{-i\theta _{1}/2},e^{-i\theta _{2}/2},\dots ,e^{-i\theta _{n}/2})$. Четко $DUAU^{\mathrm {T} }D=\operatorname {diag} (r_{1},r_{2},\dots ,r_{n})$ по желанию, поэтому вносим изменения $U'=DU$. Поскольку их квадраты являются собственными значениями $A^{\dagger }A$, они совпадают с сингулярными значениями $A$. (Заметим, что о собственном разложении комплексной симметричной матрицы $A$, жорданова нормальная форма $A$ может быть не диагональной, поэтому $A$ не может быть диагонализовано никаким преобразованием подобия.)

Разложение

Используя нормальную форму Жордана , можно доказать, что каждая квадратная действительная матрица может быть записана как произведение двух вещественных симметричных матриц, а каждая квадратная комплексная матрица может быть записана как произведение двух комплексных симметричных матриц.

Каждую действительную неособую матрицу можно однозначно разложить на множители как произведение ортогональной матрицы и симметричной положительно определенной матрицы , что называется полярным разложением . Сингулярные матрицы также можно факторизовать, но не однозначно.

Разложение Холецкого утверждает, что каждая действительная положительно определенная симметричная матрица $A$ является произведением нижнетреугольной матрицы $L$ и его транспонирование,

$$A=LL^{\textsf {T}}.$$

Если матрица симметрична и неопределенна, ее все равно можно разложить как $PAP^{\textsf {T}}=LDL^{\textsf {T}}$ где $P$ — матрица перестановок (возникающая из-за необходимости поворота ), $L$ треугольную матрицу с нижней единицей и $D$ является прямой суммой симметричных $1\times 1$ и $2\times 2$ блоков, которое называется разложением Банча – Кауфмана.

Общая (комплексная) симметричная матрица может быть дефектной и, следовательно, недиагонализуемой . Если $A$ диагонализуема, ее можно разложить как

$$A=Q\Lambda Q^{\textsf {T}}$$

где $Q$ является ортогональной матрицей $QQ^{\textsf {T}}=I$, и $\Lambda$ представляет собой диагональную матрицу собственных значений $A$. В частном случае, когда $A$ действительно симметричен, то $Q$ и $\Lambda$также реальны. Чтобы увидеть ортогональность, предположим, что $\mathbf {x}$ и $\mathbf {y}$ являются собственными векторами, соответствующими различным собственным значениям $\lambda _{1}$, $\lambda _{2}$. Затем

$$\lambda _{1}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle A\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,A\mathbf {y} \rangle =\lambda _{2}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle .$$

С $\lambda _{1}$ и $\lambda _{2}$ различны, мы имеем $\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =0$.

Гессен

Симметричный $n\times n$ матрицы действительных функций выглядят как гессианы дважды дифференцируемых функций $n$ реальные переменные (непрерывность второй производной не требуется, несмотря на распространенное мнение об обратном ).

Каждая квадратичная форма $q$ на $\mathbb {R} ^{n}$ можно однозначно записать в виде $q(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{\textsf {T}}A\mathbf {x}$ с симметричным $n\times n$ матрица $A$. На основании приведенной выше спектральной теоремы можно тогда сказать, что каждая квадратичная форма, с точностью до выбора ортонормированного базиса $\mathbb {R} ^{n}$, "выглядит как"

$$q\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}^{2}$$

с реальными числами $\lambda _{i}$. Это существенно упрощает изучение квадратичных форм, а также изучение множеств уровня $\left\{\mathbf {x} :q(\mathbf {x} )=1\right\}$ которые являются обобщениями конических сечений .

Это важно отчасти потому, что поведение второго порядка каждой гладкой функции многих переменных описывается квадратичной формой, принадлежащей гессиану функции; это следствие теоремы Тейлора .

Симметризуемая матрица

Ан $n\times n$ матрица $A$ называется симметризуемой, если существует обратимая диагональная матрица $D$ и симметричная матрица $S$ такой, что $A=DS.$

Транспонирование симметризуемой матрицы симметризуемо, поскольку $A^{\mathrm {T} }=(DS)^{\mathrm {T} }=SD=D^{-1}(DSD)$ и $DSD$является симметричным. Матрица $A=(a_{ij})$ симметризуемо тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1. $a_{ij}=0$ подразумевает $a_{ji}=0$ для всех $1\leq i\leq j\leq n.$
2. $a_{i_{1}i_{2}}a_{i_{2}i_{3}}\dots a_{i_{k}i_{1}}=a_{i_{2}i_{1}}a_{i_{3}i_{2}}\dots a_{i_{1}i_{k}}$ для любой конечной последовательности $\left(i_{1},i_{2},\dots ,i_{k}\right).$

См. также

Другие типы симметрии или узора в квадратных матрицах имеют специальные названия; см. например:

• Кососимметричная матрица (также называемая антисимметричной или антиметрической )
• Центросимметричная матрица
• Циркуляционная матрица
• Ковариационная матрица
• Матрица Кокстера
• матрица НОД
• Матрица Ханкеля
• Матрица Гильберта
• Персимметричная матрица
• Закон инерции Сильвестра
• Матрица Теплица
• Матричные транспозиции

См. также симметрию в математике .

Ссылки

• Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (2013), Матричный анализ (2-е изд.), Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-54823-6

Внешние ссылки

• «Симметричная матрица» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Краткое введение и доказательство свойств собственных значений вещественной симметричной матрицы.
• Как реализовать симметричную матрицу на C++