Закон инерции Сильвестра

Закон инерции Сильвестра — это теорема матричной алгебры о некоторых свойствах матрицы коэффициентов действительной , квадратичной формы которые остаются инвариантными при изменении базиса . А именно, если $A$ — симметричная матрица , то для любой обратимой матрицы $S$ , количество положительных, отрицательных и нулевых собственных значений (называемых инерцией матрицы) $D=SAS^{\mathrm {T} }$ является постоянным. Этот результат особенно полезен, когда $D$ является диагональной, поскольку инерцию диагональной матрицы можно легко получить, взглянув на знак ее диагональных элементов.

Это свойство названо в честь Джеймса Джозефа Сильвестра , опубликовавшего его доказательство в 1852 году. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

Заявление

Позволять $A$ быть симметричной квадратной матрицей порядка $n$ с реальными записями. Любая невырожденная матрица $S$ говорят, что одного и того же размера преобразуют $A$ в другую симметричную матрицу ⁠ $B=SAS^{\mathrm {T} }$ ⁠ , тоже порядка ⁠ $n$ ⁠ , где $S^{\mathrm {T} }$ это транспонирование ⁠ $S$ ⁠ . Говорят также, что матрицы $A$ и $B$ конгруэнтны . Если $A$ - матрица коэффициентов некоторой квадратичной формы ⁠ $\mathbb {R} ^{n}$ ⁠ , тогда $B$ - матрица той же формы после смены базиса, определяемая ⁠ $S$ ⁠ .

Симметричная матрица $A$ всегда можно преобразовать таким образом в диагональную матрицу $D$ в котором есть только записи ⁠ $0$ ⁠ , ⁠ $+1$ ⁠ , ⁠ $-1$ ⁠ по диагонали. Закон инерции Сильвестра гласит, что количество диагональных элементов каждого вида является инвариантом ⁠. $A$ ⁠ , т.е. не зависит от матрицы $S$ использовал.

Количество ⁠ $+1$ ⁠ s, обозначается ⁠ $n_{+}$ ⁠ , называется показателем инерции ⁠ положительным $A$ ⁠ и количество ⁠ $-1$ ⁠ s, обозначается ⁠ $n_{-}$ ⁠ , называется отрицательным показателем инерции . Количество ⁠ $0$ ⁠ s, обозначается ⁠ $n_{0}$ ⁠ , — размерность пространства ⁠ нулевого $A$ ⁠ , известный как недействительность ⁠ $A$ ⁠ . Эти числа удовлетворяют очевидному соотношению

n_{0}+n_{+}+n_{-}=n.

Разница, ⁠ $\mathrm {sgn} (A)=n_{+}-n_{-}$ ⁠ называется подписью ⁠ обычно $A$ ⁠ . (Однако некоторые авторы используют этот термин для тройного $(n_{0},n_{+},n_{-})$ состоящий из нуля, а также положительных и отрицательных индексов инерции ⁠ $A$ ⁠ ; для невырожденной формы данного измерения это эквивалентные данные, но в целом тройка дает больше данных.)

Если матрица $A$ обладает тем свойством, что каждый главный верхний левый $k\times k$ незначительный $\Delta _{k}$ не равно нулю, то отрицательный показатель инерции равен числу смен знака в последовательности

\Delta _{0}=1,\Delta _{1},\ldots ,\Delta _{n}=\det A.

Утверждение в терминах собственных значений

Закон также можно сформулировать следующим образом: две симметричные квадратные матрицы одинакового размера имеют одинаковое количество положительных, отрицательных и нулевых собственных значений тогда и только тогда, когда они конгруэнтны. ^{[ 3 ]} ( ⁠ $B=SAS^{\mathrm {T} }$ ⁠ , для некоторого неособого ⁠ $S$ ⁠ ).

Положительные и отрицательные индексы симметричной матрицы $A$ также являются количеством положительных и отрицательных значений ⁠ собственных $A$ ⁠ . Любая симметричная действительная матрица $A$ имеет собственное разложение вида $QEQ^{\mathrm {T} }$ где $E$ - диагональная матрица, содержащая собственные значения ⁠ $A$ ⁠ и $Q$ — ортонормированная квадратная матрица, содержащая собственные векторы. Матрица $E$ можно написать $E=WDW^{\mathrm {T} }$ где $D$ диагональная с элементами ⁠ $0,+1,-1$ ⁠ и $W$ диагональна с ⁠ $W_{ii}={\sqrt {\vert E_{ii}\vert }}$ ⁠ . Матрица $S=QW$ трансформирует $D$ до ⁠ $A$ ⁠ .

Закон инерции для квадратичных форм

В контексте квадратичных форм действительная квадратичная форма $Q$ в $n$ переменные (или на $n$ -мерное действительное векторное пространство) может путем подходящей замены базиса (путем неособого линейного преобразования из $x$ до ⁠ $y$ ⁠ ) привести к диагональному виду

Q(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}^{2}

с каждым $a_{i}\in \{0,1,-1\}$ . Закон инерции Сильвестра гласит, что количество коэффициентов данного знака является инвариантом ⁠. $Q$ ⁠ , т. е. не зависит от конкретного выбора диагонализирующего базиса. Выражаясь геометрически, закон инерции говорит, что все максимальные подпространства, на которых ограничение квадратичной формы положительно определенное (соответственно, отрицательно определенное), имеют одинаковую размерность . Эти размеры являются положительными и отрицательными показателями инерции.

Обобщения

Закон инерции Сильвестра справедлив также, если $A$ и $B$ имеют сложные записи. В этом случае говорят, что $A$ и $B$ являются $*$ -конгруэнтна тогда и только тогда, когда существует неособая комплексная матрица $S$ такой, что ⁠ $B=SAS^{*}$ ⁠ , где $*$ обозначает сопряженное транспонирование . В сложном сценарии закон инерции Сильвестра можно сформулировать так: если $A$ и $B$ являются эрмитовыми матрицами , то $A$ и $B$ являются $*$ -конгруэнтны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую инерцию, определение которой по-прежнему справедливо, поскольку собственные значения эрмитовых матриц всегда являются действительными числами.

Островский доказал количественное обобщение закона инерции Сильвестра: ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} если $A$ и $B$ являются $*$ -соответствует ⁠ $B=SAS^{*}$ ⁠ , то их собственные значения $\lambda _{i}$ связаны $\lambda _{i}(B)=\theta _{i}\lambda _{i}(A),\quad i=1,\ldots ,n$ где $\theta _{i}$ таковы, что ⁠ $\lambda _{n}(SS^{*})\leq \theta _{i}\leq \lambda _{1}(SS^{*})$ ⁠ .

Теорема Икрамова обобщает закон инерции на любые нормальные матрицы. $A$ и ⁠ $B$ ⁠ : ^{[ 6 ]} Если $A$ и $B$ являются нормальными матрицами , то $A$ и $B$ конгруэнтны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое число собственных значений на каждом открытом луче из начала координат в комплексной плоскости.

См. также

Ссылки

^ Сильвестр, Джеймс Джозеф (1852). «Демонстрация теоремы о том, что каждый однородный квадратичный многочлен с помощью вещественных ортогональных замен можно привести к форме суммы положительных и отрицательных квадратов» (PDF) . Философский журнал . 4-я серия. 4 (23): 138–142. дои : 10.1080/14786445208647087 . Проверено 27 июня 2008 г.
^ Норман, CW (1986). Бакалавриат по алгебре . Издательство Оксфордского университета . стр. 360–361. ISBN 978-0-19-853248-4 .
^ Каррелл, Джеймс Б. (2017). Группы, матрицы и векторные пространства: теоретико-групповой подход к линейной алгебре . Спрингер. п. 313. ИСБН 978-0-387-79428-0 .
^ Островский, Александр М. (1959). «Количественная формулировка закона инерции Сильвестра» (PDF) . Труды Национальной академии наук . Количественная формулировка закона инерции Сильвестра (5): 740–744. Бибкод : 1959PNAS...45..740O . дои : 10.1073/pnas.45.5.740 . ПМК 222627 . ПМИД 16590437 .
^ Хайэм, Николас Дж.; Ченг, Шеунг Хун (1998). «Модификация инерции матриц, возникающей при оптимизации» . Линейная алгебра и ее приложения . 275–276: 261–279. дои : 10.1016/S0024-3795(97)10015-5 .
^ Икрамов, Х. Д. (2001). «О законе инерции для нормальных матриц». Доклады Математики . 64 : 141–142.

Гарлинг, DJH (2011). Алгебры Клиффорда. Введение . Тексты студентов Лондонского математического общества. Том. 78. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-1-107-09638-7 . Збл 1235.15025 .

Внешние ссылки

[syl852-1] Сильвестр, Джеймс Джозеф (1852). «Демонстрация теоремы о том, что каждый однородный квадратичный многочлен с помощью вещественных ортогональных замен можно привести к форме суммы положительных и отрицательных квадратов» (PDF) . Философский журнал . 4-я серия. 4 (23): 138–142. дои : 10.1080/14786445208647087 . Проверено 27 июня 2008 г.

[norm-2] Норман, CW (1986). Бакалавриат по алгебре . Издательство Оксфордского университета . стр. 360–361. ISBN 978-0-19-853248-4 .

[3] Каррелл, Джеймс Б. (2017). Группы, матрицы и векторные пространства: теоретико-групповой подход к линейной алгебре . Спрингер. п. 313. ИСБН 978-0-387-79428-0 .

[4] Островский, Александр М. (1959). «Количественная формулировка закона инерции Сильвестра» (PDF) . Труды Национальной академии наук . Количественная формулировка закона инерции Сильвестра (5): 740–744. Бибкод : 1959PNAS...45..740O . дои : 10.1073/pnas.45.5.740 . ПМК 222627 . ПМИД 16590437 .

[5] Хайэм, Николас Дж.; Ченг, Шеунг Хун (1998). «Модификация инерции матриц, возникающей при оптимизации» . Линейная алгебра и ее приложения . 275–276: 261–279. дои : 10.1016/S0024-3795(97)10015-5 .

[6] Икрамов, Х. Д. (2001). «О законе инерции для нормальных матриц». Доклады Математики . 64 : 141–142.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]